佘緯，安智，田莎莎，張相來(lái)

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074；2 中南民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，武漢430074)

徑流是陸地上水量最直觀的反映，為了能夠更好地利用和保護(hù)水資源，我們不僅要了解徑流的長(zhǎng)期變化規(guī)律，還要做好徑流的預(yù)測(cè)工作，來(lái)指導(dǎo)人們的生產(chǎn)和生活[1,2].由于地理位置偏僻或者自然災(zāi)害，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)水文站水文數(shù)據(jù)缺失的現(xiàn)象，這就需要我們能夠根據(jù)鄰近站點(diǎn)的水文數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)出缺失水文站的水文數(shù)據(jù).由于水文環(huán)境和水文現(xiàn)象的復(fù)雜性，單變量的水文分析已經(jīng)不能滿足工程設(shè)計(jì)和人們生產(chǎn)生活的需要，在進(jìn)行水文分析時(shí)，往往會(huì)涉及到多個(gè)參數(shù)，而Copula函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)正是可以描述變量間的相關(guān)性，而且可以通過(guò)連接每個(gè)變量的邊緣分布，得到這些變量的聯(lián)合分布函數(shù).因此，Copula函數(shù)得到了水文學(xué)家的青睞，越來(lái)越多的用于水文學(xué)的相關(guān)分析和預(yù)測(cè)問(wèn)題中.近年來(lái)很多學(xué)者將Copula函數(shù)應(yīng)用于多變量水文頻率分析中[3,4].2007年，《Journal of Hydrologic Engineering》雜志對(duì)Copula函數(shù)在水文學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了?？榻B[5-7].SONG利用三變量Plackett copula函數(shù)模擬了干旱持續(xù)時(shí)間、嚴(yán)重程度和到達(dá)時(shí)間的聯(lián)合概率分布，結(jié)果表明Plackett copula能夠產(chǎn)生相關(guān)干旱變量的雙變量和三變量概率分布[8].CHEN采用多變量Copula方法對(duì)干旱期進(jìn)行量化，以中國(guó)漢江上游流域?yàn)槔?，研究了各干旱狀態(tài)下的依賴結(jié)構(gòu)，計(jì)算并分析了各干旱狀態(tài)下的干旱概率和恢復(fù)周期[9].REDDY研究了兩種元啟發(fā)式算法在Copula模型參數(shù)估計(jì)和干旱嚴(yán)重持續(xù)頻率曲線推導(dǎo)中的應(yīng)用[10].MASUD通過(guò)Copula函數(shù)建立二維分布，對(duì)加拿大Saskatchewan流域的干旱風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了分析[11].YUE利用混合Gumbel模型建立了相關(guān)洪峰和洪量的聯(lián)合概率分布，以及相關(guān)洪峰和洪峰持續(xù)時(shí)間的聯(lián)合概率分布[12].REQUENA利用二元Copula模型得到洪峰與洪量的二元聯(lián)合分布，模擬了大壩溢流的回歸周期，為大壩設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)提供了參考[13].JEONG研究了氣候變化對(duì)加拿大東北部21個(gè)流域春季(3 -6月)洪峰、洪量和洪峰持續(xù)時(shí)間的影響，對(duì)各洪水特征進(jìn)行常規(guī)的單變量頻率分析，對(duì)相互關(guān)聯(lián)的洪水特征對(duì)(峰量、峰時(shí)、量時(shí))進(jìn)行基于Copula的雙變量頻率分析[14].JEONG將Copula模型與PMC模型相結(jié)合，提出了一種可行的間歇月流時(shí)間序列模擬方法[15].

單一的Copula函數(shù)只能描述變量間某一方面的相關(guān)性，為了全面的描述變量之間的相關(guān)性，本文構(gòu)建了混合Copula函數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)鄰近水文站點(diǎn)的年徑流量.構(gòu)建混合Copula函數(shù)的關(guān)鍵是參數(shù)的尋優(yōu)問(wèn)題，為此深入研究了通用性強(qiáng)、模型簡(jiǎn)單，搜索速度快的布谷鳥搜索算法.布谷鳥搜索算法是YANG等通過(guò)模擬布谷鳥的產(chǎn)卵習(xí)性而提出的一種與萊維飛行結(jié)合的智能搜索算法[16].該算法在算法運(yùn)行前期搜索速度較快，但是由于其完全依賴于隨機(jī)游走機(jī)制，所以算法的局部搜索精度不高，容易陷入早熟收斂，收斂速度較慢.為了改進(jìn)布谷鳥搜索算法的性能，很多學(xué)者對(duì)該算法進(jìn)行了研究.為了進(jìn)行混沌系統(tǒng)的估計(jì)和連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，LI等人利用正交學(xué)習(xí)策略提高了布谷鳥搜索算法的挖掘能力[17].OUAARAB等人提出了一種改進(jìn)的離散CS算法來(lái)求解著名的旅行商問(wèn)題[18].本文提出了自適應(yīng)搜索平衡布谷鳥搜索算法(Adaptive Search Balanced Cuckoo Search，ASBCS)來(lái)進(jìn)行混合Copula函數(shù)的參數(shù)尋優(yōu)，并使用該混合Copula函數(shù)，以漢口水文站的年徑流量為因變量，對(duì)宜昌水文站的年徑流量進(jìn)行了預(yù)測(cè).

1 Copula函數(shù)

本文要研究的是兩變量的水文頻率分析和預(yù)測(cè)問(wèn)題，主要使用的是二元Copula函數(shù)，所以這里只敘述二元Copula函數(shù)的Sklar定理.

二元Copula函數(shù)Sklar定理：令H(X,Y)為具有邊緣分布F(X)和G(X)的二元聯(lián)合分布函數(shù)，則存在一個(gè)Copula函數(shù)C(u,v)，滿足

H(X,Y)=C[F(X),G(Y)].

其中u,v均服從[0,1]上的均勻分布；H(X,Y)是具有邊緣分布F(X)和G(X)的二元聯(lián)合分布函數(shù)；C(u,v)對(duì)每一個(gè)變量而言，都是單調(diào)非降的，若一個(gè)變量保持不變，則C(u,v)將隨另一個(gè)變量的增大(減小、不變)而增大(減小、不變).

在實(shí)際應(yīng)用中，常見的二維Copula函數(shù)有三種：二維Clayton Copula函數(shù)、二維Gumbel Copula函數(shù)和二維Frank Copula函數(shù).它們的表達(dá)式分別如式(1)、(2)和(3)所示，式中的θ是與Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)性相關(guān)的一個(gè)重要參數(shù).

(1)

(2)

(3)

在圖1的(a)、(b)和(c)三個(gè)子圖中，分別展示了三個(gè)函數(shù)的概率密度圖，從圖1中可以看出Clayton Copula函數(shù)的尾部特征不對(duì)稱，其密度函數(shù)很像一個(gè)“L”，上尾低下尾高， 所以它善于敏銳地捕捉尾部不對(duì)稱的數(shù)據(jù)在下尾處的變化，得到下尾處的相關(guān)性特征.Gumbel Copula函數(shù)的尾部特征也不對(duì)稱，其密度函數(shù)很像一個(gè)“丁”，下尾低上尾高， 所以它善于敏銳地捕捉尾部不對(duì)稱的數(shù)據(jù)在上尾處的變化，得到上尾處的相關(guān)性特征.Frank Copula函數(shù)的尾部特征是對(duì)稱的，所以無(wú)法捕捉到數(shù)據(jù)尾部不對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系，反而對(duì)于對(duì)稱的尾部關(guān)系很敏感.

(a) Clayton (b) Gumbel (c) Frank Copula圖1 三個(gè)函數(shù)的概率密度圖Fig.1 Probability density graph of three functions

通過(guò)上述分析可知，三種函數(shù)分別對(duì)對(duì)稱的、上尾高和下尾高的數(shù)據(jù)之間尾部相關(guān)關(guān)系比較敏感，所以它們分別有不同的應(yīng)用場(chǎng)景.然而，現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)都是復(fù)雜的，單一的Copula函數(shù)往往無(wú)法全面的描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系，基于此，本文將根據(jù)三個(gè)函數(shù)的特性，設(shè)計(jì)混合Copula函數(shù)，來(lái)應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜多樣的數(shù)據(jù).

2 標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥搜索算法

布谷鳥搜索算法必須滿足如下3個(gè)假設(shè)：①布谷鳥每次產(chǎn)一枚卵，并隨機(jī)將其放入一個(gè)鳥巢；②最好的巢才能被保留到下一代；③布谷鳥可以搜索的巢的數(shù)量是固定的， 宿主鳥巢主人發(fā)現(xiàn)外來(lái)卵的發(fā)現(xiàn)概率是P， 鳥蛋如果被發(fā)現(xiàn)，宿主將移除該蛋或直接遺棄該鳥巢.基于上述假設(shè)，布谷鳥尋找鳥巢位置的更新公式為：

xt+1,i=xt,i+α?levy(β),i=1,2,…，n.

(4)

其中xt,i表示經(jīng)過(guò)t代更新之后第i個(gè)鳥巢的位置；?表示點(diǎn)乘；levy(β)表示Levy飛行隨機(jī)游走的路線，可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的冪律公式表示為levy(β)～μ=t-1-β；α表示步長(zhǎng)因子，設(shè)α0是一個(gè)常數(shù)，xbest是全局最優(yōu)位置，步長(zhǎng)因子可以用式(5)來(lái)表示：

α=α0?(xt,i-xbest),

(5)

位置更新之后，對(duì)每一個(gè)xt+1,i，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)0到1之間的數(shù)r，與P進(jìn)行比較，如果P大于r，令xi=xt+1,i，將xt+1,i丟棄，然后根據(jù)式(6)的隨機(jī)游走策略求得一個(gè)新的位置對(duì)它進(jìn)行替換：

xt+1,i=xi+q(xt+1,k-xt+1,j),

(6)

其中，q是0到1之間的隨機(jī)數(shù)，xt+1,k和xt+1,j是位置更新之后的任意兩個(gè)位置.

標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥搜索算法的偽代碼如下所示.

Algorithm 1 Cuckoo search algorithm via Levy flightsInput: Objective function f(x)Output: the optimal solution Randomly initialize population of n host nests xiwhile (t

3 ASBCS算法

3.1 標(biāo)準(zhǔn)CS算法性能分析

標(biāo)準(zhǔn)的CS算法是一種模型簡(jiǎn)單，算法前期搜索速度較快的群智能算法，它具有如下的幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

(1)CS算法中的位置更新是基于Levy飛行策略的.在Levy飛行策略中，短距離的探索和偶爾較長(zhǎng)距離的開發(fā)是相間的.這種位置更新策略能有效的擴(kuò)大搜索范圍，易于跳出局部最優(yōu)點(diǎn)，增加種群的多樣性；

(2)相比于其他的智能算法(例如遺傳算法、粒子群算法)，CS算法參數(shù)少，除了種群規(guī)模，只有1個(gè)參數(shù)P，且算法的收斂速度對(duì)P不敏感，因此其操作簡(jiǎn)單，通用性更強(qiáng).

同時(shí)，經(jīng)過(guò)深入研究，標(biāo)準(zhǔn)的CS算法也具有如下一些缺點(diǎn)：

(1)Levy飛行策略執(zhí)行全局搜索，隨機(jī)游走策略執(zhí)行局部搜索，發(fā)現(xiàn)概率P用于調(diào)節(jié)二者之間的平衡，但是在算法執(zhí)行的后期，由于個(gè)體差異的縮小，算法將比較偏重于局部搜索，從而很容易令算法陷入局部最優(yōu)；

(2)發(fā)現(xiàn)概率P和步長(zhǎng)α都不能根據(jù)算法收斂的程度而自適應(yīng)變化，因此標(biāo)準(zhǔn)算法的收斂速度慢，且個(gè)體的多樣性差.

1.2 ASBCS算法

基于上述分析，本文提出了ASBCS算法，就如下幾個(gè)方面對(duì)布谷鳥搜索算法進(jìn)行了改進(jìn).

(1)對(duì)步長(zhǎng)因子進(jìn)行了改進(jìn)，令步長(zhǎng)因子隨著算法的迭代次數(shù)自適應(yīng)的變化.

標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥搜索算法的步長(zhǎng)公式如式(5)所示， 其中α0是一個(gè)常數(shù)，步長(zhǎng)因子只能隨著位置的更新而發(fā)生不規(guī)律的變化，不能隨著算法迭代次數(shù)的增加而自適應(yīng)調(diào)整，因此，本文在步長(zhǎng)公式里增加了迭代次數(shù)因子，具體如式(7)所示，其中α0max和α0min是根據(jù)實(shí)際情況給出的步長(zhǎng)的最大值和最小值，T是總的迭代次數(shù)，t是本次的迭代次數(shù).

(7)

(2)在算法后期，對(duì)全局搜索和局部搜索進(jìn)行了平衡.

在標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥搜索算法的迭代后期，因?yàn)閭€(gè)體之間的差距變小，造成搜索偏向于局部搜索，容易令算法陷入局部最優(yōu)，為了改善標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥搜索算法的這一缺點(diǎn)，對(duì)公式(7)進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)之后的步長(zhǎng)公式如式(8)所示.

(8)

3.3 ASBCS算法的性能分析

相對(duì)于CS算法，ASBCS算法在兩個(gè)方面進(jìn)行了改進(jìn)，提高了算法的性能，主要表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

首先，步長(zhǎng)因子的調(diào)整，令算法中解的跳躍，不止依賴于當(dāng)前解和全局最優(yōu)解，還與迭代次數(shù)成反比，隨著迭代次數(shù)的增加，令算法更加趨向于局部搜索，對(duì)局部的解區(qū)間進(jìn)行深度挖掘，提高了算法的收斂速度.

其次，在提高收斂速度的同時(shí)，為了提高解的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)，在算法迭代的后期采用了全局搜索和局部搜索的平衡策略，以一定的概率P1來(lái)平衡兩種搜索方式，一方面加快了收斂速度，另一方面又令算法不斷的跳出局部最優(yōu)，增加解的多樣性，令算法在全局和局部搜索之間靈活的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到兩種搜索的平衡.

3.4 ASBCS算法與CS算法的性能比較

為了比較標(biāo)準(zhǔn)CS算法和本文所提出的ASBCS算法的性能，分別采用兩種算法對(duì)一個(gè)經(jīng)典函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，該函數(shù)如式(9)所示，它在(0，0)處取最小值.

(9)

用兩種算法對(duì)該函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.從圖中可以看出，ASBCS算法比CS算法具有更快的收斂速度和更好的精確度.

圖2 標(biāo)準(zhǔn)CS算法和ASBCS算法性能比較Fig.2 Comparison of performance between standard CS algorithm and ASBCS algorithm

4 基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)

通過(guò)深入分析二維Clayton Copula函數(shù)、二維Gumbel Copula函數(shù)和二維Frank Copula函數(shù)的概率密度圖，發(fā)現(xiàn)這三種函數(shù)分別適合的是下尾相關(guān)、上尾相關(guān)和尾部對(duì)象的兩變量相關(guān)關(guān)系，利用它們各自的優(yōu)勢(shì)，可以將它們?nèi)诤显谝黄?，設(shè)計(jì)成混合Copula函數(shù)，從而令Copula函數(shù)適合描述各種復(fù)雜的兩變量關(guān)系.混合之后Copula函數(shù)可以描述為式(10)：

C=ω1CFrank(u,v,α)+ω2CGumbel(u,v,β)+

ω3CClayton(u,v,γ),

(10)

將式(1)、(2)和(3)式代入，可以得到具體的混合Copula函數(shù)表達(dá)式如式(11)所示.

(11)

式中α、β、γ、ω1、ω2、ω3由改進(jìn)的布谷鳥搜索算法尋優(yōu)得到.

尋優(yōu)時(shí)改進(jìn)的布谷鳥搜索算法的適應(yīng)度函數(shù)為式(12)所示：

(12)

5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

本文以漢口站的年徑流量作為自變量，宜昌站的年徑流數(shù)據(jù)作為因變量，以它們1952-2000年的數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，以漢口站2001-2010年的數(shù)據(jù)作為自變量，來(lái)預(yù)測(cè)宜昌站2001-2010年的年徑流量.分別采用Clayton Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)以及本文所提出的混合Copula函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的比較如圖3、圖4、圖5和圖6所示.

圖3 Clayton Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.3 Comparison between the predicted annual runoff calculated by Clayton Copula function and the measured annual runoffin Yichang station

圖4 Gumbel Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.4 Comparison between the predicted annual runoff calculated by Gumbel Copula function and the measured annual runoffin Yichang station

從圖3、圖4和圖5中可以看出單一的Copula函數(shù)在某些年份預(yù)測(cè)的精度非常高，實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值基本重合，但是在另一些年份預(yù)測(cè)精度又很低，極大一部分原因是由于氣候、人為引流或者建造工程等因素造成的，但是也有一部分原因是由于Copula函數(shù)的性能造成.

圖5 Frank Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.5 Comparison between the predicted annual runoff calculated by Frank Copula function and the measured annual runoffin Yichang station

比較圖6和圖3、圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，相比Clayton、Gumbel和Frank三個(gè)單一的Copula函數(shù)，基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)具有更高的預(yù)測(cè)精度.

為了更好地比較四個(gè)Copula函數(shù)，將四個(gè)Copula函數(shù)預(yù)測(cè)宜昌站2001-2010年的年徑流量的相對(duì)誤差全部列于表1中，從表1可以看出，混合Copula函數(shù)可以彌補(bǔ)三個(gè)單一Copula函數(shù)的缺陷，比如在2001年Clayton的預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于Gumbel和Frank函數(shù)，但是在2002年Gumbel和Frank函數(shù)的相對(duì)誤差又遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于Clayton函數(shù)，而混合Copula函數(shù)因?yàn)閷⑷齻€(gè)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，取其優(yōu)點(diǎn)，所以很好的融合了三種函數(shù)，在2001年和2002都取得了更好的預(yù)測(cè)效果.比較四個(gè)預(yù)測(cè)方法的平均相對(duì)誤差，發(fā)現(xiàn)基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)具有更好的預(yù)測(cè)精度.

圖6 基于ASBCS算法的混合Copula函數(shù)求取的宜昌站年徑流預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.6 Comparison between the predicted annual runoff calculated by hybrid Copula function based on ASBCS algorithm and themeasured annual runoff in Yichang station

表1 四個(gè)函數(shù)預(yù)測(cè)宜昌站2001-2010年的年徑流量的相對(duì)誤差比較Tab.1 The relative error comparison of the annual runoff in Yichang station from 2001 to 2010 predicted by four functions

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出了基于自適應(yīng)搜索平衡的布谷鳥搜索算法，對(duì)混合Copula函數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，以漢口水文站和宜昌水文站的歷史數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，以10年間的漢口水文站的年徑流量為自變量，對(duì)宜昌水文站10年間的年徑流量進(jìn)行了預(yù)測(cè).本文所構(gòu)建的混合Copula函數(shù)是在深入研究了三種二元Copula函數(shù)，詳細(xì)分析了三種函數(shù)的參數(shù)設(shè)置以及適合應(yīng)對(duì)的變量關(guān)系之后所構(gòu)建的.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了ASBCS算法收斂速度快，尋優(yōu)精度高，用于混合Copula函數(shù)尋優(yōu)之后，對(duì)宜昌水文站10年間的年徑流量的預(yù)測(cè)精度明顯高于三個(gè)單一的Copula函數(shù).本文所提出ASBCS算法對(duì)其他應(yīng)用中的參數(shù)尋優(yōu)具有重要的參考意義，該鄰近水文站的年徑流量預(yù)測(cè)方法可以推廣至任何兩個(gè)地域上較鄰近水文站的年徑流預(yù)測(cè).在今后的研究中，將進(jìn)一步混合Copula函數(shù)，研究更優(yōu)的群智能算法來(lái)進(jìn)行混合Copula函數(shù)的參數(shù)尋優(yōu).