(南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院 江西南昌 330063)

齒輪機(jī)構(gòu)廣泛用于航空航天與機(jī)械工程等領(lǐng)域。作為機(jī)械裝備傳動(dòng)系統(tǒng)，齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的性能直接關(guān)系到眾多機(jī)械裝備的動(dòng)力傳動(dòng)性能及其穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)。因此，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性直接影響機(jī)械裝備的性能。

裂紋是引發(fā)齒輪輪齒折斷的主要原因之一[1]。EWING和HUMFREY可能是最早研究齒輪機(jī)構(gòu)裂紋擴(kuò)展問(wèn)題的學(xué)者，他們研究了材料組織演變與裂紋擴(kuò)展的關(guān)系，進(jìn)而探討了裂紋變化對(duì)齒輪性能的作用[2]。早期研究齒輪機(jī)構(gòu)輪齒裂紋擴(kuò)展問(wèn)題的方法集中在理論分析和試驗(yàn)研究方面。比如GLODEZ等[3]通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段探索了輪齒的疲勞斷裂和裂紋擴(kuò)展特性。許德濤等[4]研制了基于擴(kuò)展有限元方法的齒輪裂紋擴(kuò)展計(jì)算程序，提出了以裂紋擴(kuò)展路徑與齒輪中心距作為輪齒/輪緣斷裂的評(píng)判指標(biāo)。 劉鑫博等[5]以漸開(kāi)線圓柱齒輪為研究對(duì)象，將齒輪嚙合過(guò)程的動(dòng)態(tài)過(guò)程近似為多個(gè)靜態(tài)嚙合位置，得到不同位置的應(yīng)力強(qiáng)度因子;采用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則確定裂紋的擴(kuò)展角度，得到整個(gè)計(jì)算周期的應(yīng)力強(qiáng)度因子、疲勞裂紋擴(kuò)展路徑及疲勞壽命，討論了初始裂紋的大小、位置和加載變化對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的影響。許德濤等[6]基于ABAQUS平臺(tái)，探究了齒根萌生裂紋大小、角度和位置對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展行為的影響機(jī)制，研究發(fā)現(xiàn)齒根裂紋均為先朝深入輪緣的方向擴(kuò)展，后朝齒根位置方向擴(kuò)展。基于有限元方法，孫智甲和李有堂[7]仿真了輪齒齒根裂紋擴(kuò)展規(guī)律，研究了裂紋擴(kuò)展傾角對(duì)輪齒中疲勞裂紋擴(kuò)展路徑及其輪齒裂紋擴(kuò)展壽命的影響。趙國(guó)平等[8]以斜齒輪為研究對(duì)象，綜合考慮混合潤(rùn)滑狀態(tài)下摩擦動(dòng)力學(xué)特性對(duì)齒面應(yīng)力分布的影響以及滲碳表層硬度梯度和殘余應(yīng)力的非均勻分布特征，完成了齒輪接觸區(qū)裂紋萌生及擴(kuò)展過(guò)程全壽命的預(yù)估。針對(duì)高速列車(chē)齒輪的齒根裂紋擴(kuò)展特性，李剛等人[9]基于ABAQUS軟件建立了齒輪副模型，并通過(guò)靜力學(xué)確定裂紋萌生位置，分析了裂紋尖端不同位置的應(yīng)力強(qiáng)度因子大小，討論了齒根裂紋擴(kuò)展演變行為及路徑，探究了載荷等因素對(duì)裂紋擴(kuò)展壽命及軌跡的影響規(guī)律。肖俊峰和李建蘭[10]建立了隨機(jī)風(fēng)速下風(fēng)力機(jī)傳動(dòng)鏈齒輪齒根疲勞裂紋擴(kuò)展剩余壽命計(jì)算模型，計(jì)算了不同風(fēng)速下的齒根彎曲應(yīng)力，分析了隨機(jī)載荷下裂紋擴(kuò)展速率。運(yùn)用有限元手段，李潤(rùn)方等[11]分析了齒輪副輪齒裂紋位置的應(yīng)力，構(gòu)建了分析輪齒裂紋問(wèn)題的有限元基礎(chǔ)；LIU等[12]研究了接觸壓力對(duì)齒輪副裂紋擴(kuò)展行為的影響程度；WU等[13]開(kāi)發(fā)了漸開(kāi)線齒輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元模型，預(yù)測(cè)齒輪副輪齒裂紋擴(kuò)展路徑。在計(jì)算裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子值的基礎(chǔ)上，CAI等[14]探討了裂紋深度大小、載荷大小以及齒輪幾何參數(shù)等對(duì)輪齒裂紋擴(kuò)展規(guī)律的作用機(jī)制。

綜上，現(xiàn)有的研究大多數(shù)是從計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值或從分析裂紋擴(kuò)展軌跡等問(wèn)題出發(fā)，探究齒輪幾何參數(shù)及裂紋形態(tài)對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展的影響，且研究視角是各類(lèi)因素對(duì)齒根裂紋擴(kuò)展指標(biāo)規(guī)律的判斷，對(duì)各指標(biāo)的實(shí)際運(yùn)用較少。齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)實(shí)際中，齒根位置是彎曲應(yīng)力最大、裂紋萌生的主要位置之一。與此同時(shí)，分度圓位置附近的接觸應(yīng)力最大，也是裂紋萌生的重要位置。因此，循環(huán)載荷作用下，齒輪副的分度圓和齒根圓部位都可能是疲勞裂紋萌生位置，但是裂紋擴(kuò)展速率不一樣。而針對(duì)這一種情況，很少有研究者考慮。本文作者以含雙裂紋齒輪副為對(duì)象，研究相鄰輪齒同時(shí)含分度圓裂紋或齒根裂紋齒輪副的裂紋擴(kuò)展規(guī)律，探索分度圓裂紋和齒根裂紋擴(kuò)展壽命的關(guān)系，為齒輪副的抗振動(dòng)疲勞設(shè)計(jì)提供理論支撐。

1 裂紋擴(kuò)展理論

如圖1所示的齒輪嚙合模型，齒輪嚙合過(guò)程中，只有當(dāng)含裂紋的輪齒參與嚙合時(shí)，裂紋才可能擴(kuò)展，并對(duì)齒輪副的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生作用。

圖1 齒輪副嚙合模型Fig 1 Meshing model of gear pair

針對(duì)單個(gè)嚙合周期內(nèi)疲勞裂紋對(duì)齒輪動(dòng)力特性的影響，研究了分度圓裂紋及齒根裂紋疲勞擴(kuò)展壽命。同一嚙合周期內(nèi)，如果相鄰兩齒均出現(xiàn)裂紋，齒輪副的動(dòng)力學(xué)特性變得更加復(fù)雜。假設(shè)裂紋均發(fā)生在主動(dòng)輪的輪齒上，圖2提出了3種可能的相鄰輪齒含裂紋的齒輪副模型。3種模型中，aA和aB分別表示齒根裂紋深度和分度圓裂紋深度，αA和αB分別表示齒根裂紋傾角和分度圓裂紋傾角。

在中低應(yīng)力、平均應(yīng)力很小且裂紋徑直擴(kuò)展的情況下，Paris方程可近似地描述輪齒裂紋深度、循環(huán)加載次數(shù)與裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系。假設(shè)輪齒裂紋擴(kuò)展細(xì)分為m個(gè)階段，NA和NB分別表示齒根裂紋擴(kuò)展與分度圓裂紋擴(kuò)展至確定裂紋長(zhǎng)度時(shí)所需的加載次數(shù)，ΔKA和ΔKB表示第i裂紋擴(kuò)展階段對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，得到輪齒裂紋擴(kuò)展的近似計(jì)算公式

(1)

式中：C和n代表齒輪材料裂紋擴(kuò)展常數(shù)。

圖2 含雙裂紋齒輪副模型Fig 2 Models of gear pair with double cracks (a) a gear pair with a root crack in neighbour tooth;(b) a gear pair with a root crack and a reference crack in neighbour tooth;(c) a gear pair with a reference crack in neighbour tooth

2 含雙裂紋齒輪副有限元模型

考慮圖1所示的齒輪機(jī)構(gòu)，假定齒輪為漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪，基本參數(shù)見(jiàn)表1，主從齒輪材料相同，彈性模量E=206 MPa、泊松比ν=0.3。不考慮疲勞裂紋的幾何初始角對(duì)裂紋擴(kuò)展壽命的影響，假定疲勞裂紋傾角αB=90°、αA=60°。

因?yàn)橐粚?duì)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的重合度通常為1～2，即齒輪嚙合過(guò)程中最多有兩對(duì)輪齒同時(shí)參與嚙合。不失一般性，建立圖3所示的只含3齒的齒輪副有限元模型以提高計(jì)算效率。

圖3 齒輪副有限元網(wǎng)格模型Fig 3 Finite element modelof gear pair (a) mesh model of gear pair;(b) local magnify diagram of mesh model

因?yàn)榱鸭y對(duì)齒輪嚙合有影響，劃分齒輪嚙合模型網(wǎng)格時(shí)，選取八節(jié)點(diǎn)C3D8I六面體單元考慮到輪齒間的非線性接觸，同時(shí)細(xì)分輪齒接觸部分及裂紋區(qū)網(wǎng)格。以兩齒輪的幾何中心為約束控制點(diǎn)，將控制點(diǎn)與兩齒輪內(nèi)徑表面進(jìn)行耦合，效果如圖4所示。在約束控制點(diǎn)上施加力矩，并設(shè)置邊界條件便可仿真齒輪嚙合時(shí)的力學(xué)情況。因?yàn)辇X輪嚙合過(guò)程中，配對(duì)輪齒間為非線性接觸，齒輪副表面定義為面-面接觸。

圖4 齒輪副耦合約束Fig 4 Coupling constraint of gear pair

3 裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子

3.1 最大主應(yīng)力

圖5示出了控制點(diǎn)加載1×105N·mm力矩，裂紋深度aB=1 mm、aA=1 mm時(shí)不同嚙合情況下裂尖的彎曲應(yīng)力與剪切應(yīng)力變化規(guī)律。

圖5中σ1與σa為彎曲應(yīng)力，σ2和σ3、σb和σc為兩方向的剪切應(yīng)力。結(jié)果表明，彎曲應(yīng)力與剪切應(yīng)力均隨著嚙合發(fā)生變化；齒輪副處于單齒嚙合時(shí)，應(yīng)力明顯增大；齒根裂紋與分度圓裂紋的彎曲應(yīng)力明顯大于剪切應(yīng)力。從應(yīng)力分析來(lái)看，分度圓裂紋和齒根裂紋均以I型裂紋為主。

圖5 裂紋尖端應(yīng)力分量Fig 5 Stress components near crack tip (a) stress components near root crack tip;(b) stress components near reference crack tip

圖6示出了嚙合周期內(nèi)裂紋深度對(duì)輪齒裂紋尖端應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，齒根裂紋與分度圓裂紋尖端的應(yīng)力最大值均出現(xiàn)在齒輪從單齒嚙合進(jìn)入雙齒嚙合時(shí)刻。輪齒嚙合過(guò)程中，非嚙合期間裂紋尖端應(yīng)力為最小值σmin=0。因此，輪齒裂紋位置的應(yīng)力特性為脈動(dòng)循環(huán)特性，即r=0。最大應(yīng)力強(qiáng)度因子Kmax出現(xiàn)在最大應(yīng)力時(shí)刻。因此，一個(gè)周期內(nèi)應(yīng)力強(qiáng)度因子的振幅ΔK等于最大應(yīng)力強(qiáng)度因子。

圖6 深度對(duì)裂紋尖端主應(yīng)力的影響Fig 6 Effects of crack depths on stress at crack tip (a) principal stress near root crack tip;(b) principal stress near reference crack tip

3.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子

基于最大主應(yīng)力分析，通過(guò)J積分可計(jì)算裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值。為了獲得精確的計(jì)算結(jié)果，對(duì)裂紋尖端的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)分，分度圓裂紋及齒根裂紋尖端附近的網(wǎng)格如圖7所示。之后，計(jì)算裂紋尖端的第二環(huán)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

圖7 裂紋區(qū)域網(wǎng)格模型Fig 7 Mesh models near crack zone (a) mesh model of root crack zone;(b) mesh model of reference crack zone

因?yàn)镮型裂紋是齒輪裂紋擴(kuò)展中的主要擴(kuò)展形式，下面著重研究I型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子及其影響因素。建立分度圓裂紋及齒根裂紋，裂紋深度aB=0.25 mm、aA=0.25 mm。對(duì)接觸面施加初始力矩4.8×104N·mm，力矩增量為1.2×104N·mm。

圖8示出了不同加載下應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)隨裂紋擴(kuò)展的變化規(guī)律。結(jié)果表明，相同裂紋深度時(shí)，齒根裂紋尖端SIF值與分度圓裂紋尖端SIF值均隨外載荷的增大而增大。齒根裂紋與分度圓裂紋尖端SIF值與載荷近似線性關(guān)系;載荷一定情況下，齒根裂紋尖端SIF值與分度圓裂紋尖端SIF值均隨著裂紋擴(kuò)展而增大，增長(zhǎng)速率逐步減小;同一載荷同一裂紋深度下，齒根裂紋尖端SIF值大于分度圓裂紋尖端SIF值;隨著裂紋擴(kuò)展，齒根裂紋尖端SIF值與分度圓裂紋尖端SIF值的比值逐漸縮小。

圖8 載荷對(duì)裂紋應(yīng)強(qiáng)度因子的影響Fig 8 Effects of loading on SIF near crack tip (a) effects of loading on SIF of root crack;(b) effects of loading on SIF of reference crack

4 輪齒裂紋擴(kuò)展壽命

結(jié)合Paris方程和裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子可估算裂紋擴(kuò)展壽命。假設(shè)分度圓裂紋和齒根裂紋的初始深度均為0.25 mm。輪齒材料的裂紋擴(kuò)展常數(shù)C=4.77×10-9、n=2.06。

圖9所示的裂紋擴(kuò)展壽命計(jì)算結(jié)果表明，在相同載荷下，分度圓裂紋的擴(kuò)展壽命大于齒根裂紋的擴(kuò)展壽命，增大載荷會(huì)減小齒根裂紋與分度圓裂紋疲勞擴(kuò)展壽命的差距。圖10所示的裂紋擴(kuò)展深度比計(jì)算結(jié)果顯示，隨著裂紋擴(kuò)展，裂紋大小比值呈下降趨勢(shì)，從35降至16。分析表明，齒根裂紋和分度圓裂紋深度的比值非定值，而且齒根裂紋的擴(kuò)展速率明顯大于分度圓裂紋的擴(kuò)展速率。但是，兩者差距隨著疲勞裂紋擴(kuò)展的推進(jìn)不斷縮小。對(duì)于相鄰齒同時(shí)含齒根裂紋或同時(shí)含分度圓裂紋的齒輪，因?yàn)辇X根裂紋和分度圓裂紋擴(kuò)展特性相同，且獨(dú)立于不同輪齒上，初始尺度相等時(shí)，其裂紋深度比為1。

圖9 裂紋擴(kuò)展壽命曲線Fig 9 Crack growth life curves (a) crack growth life curve of root crack;(b) crack growth life curve of reference crack

圖10 裂紋擴(kuò)展深度比Fig 10 Crack growth depth ratio

5 結(jié)論

(1)輪齒裂紋尖端的彎曲應(yīng)力與剪切應(yīng)力均隨嚙合發(fā)生變化，單齒嚙合時(shí)的應(yīng)力大于雙齒嚙合時(shí)的應(yīng)力，而且裂紋尖端的彎曲應(yīng)力大于剪切應(yīng)力，最大應(yīng)力值出現(xiàn)在單齒嚙合進(jìn)入雙齒嚙合位置。

(2)相同加載與同一裂紋深度時(shí)，齒根裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子大于分度圓裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，應(yīng)力強(qiáng)度因子均隨裂紋擴(kuò)展而增大，但是齒根裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值與分度圓裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值之比不斷縮小。

(3)同一加載時(shí)，同一齒輪上的分度圓裂紋擴(kuò)展壽命大于齒根裂紋擴(kuò)展壽命，隨著裂紋擴(kuò)展的推進(jìn)，齒根裂紋的深度與分度圓裂紋的深度之比值不斷增大，而且深度比與載荷無(wú)關(guān)。