方自奮

(廈門合立道工程設計集團有限公司 福建廈門 361004)

0 引言

橋梁是當今社會最重要的社會基礎設施之一，地震來臨時，橋梁能否保證其正常使用功能直接影響著抗震救災行動。近幾年，我國不少地方發(fā)生了幾次大地震，因為在地震來臨之時沒有辦法保證橋梁的抗震性能，交通樞紐受到了破壞，導致我國經(jīng)濟受到了嚴重的損失，這種次生災難產(chǎn)生也使很多無辜生命受到牽連。因此，人們在建設橋梁時都必須考慮其抗震能力，以減少災害損失的程度[1]。而在橋梁抗震分析中，基于磁流變阻尼器的半主動振動控制，因其所需較少能源便能發(fā)揮較大功用的特性，且兼具被動和主控制的優(yōu)點，成為目前最具發(fā)展前景的科研型課題之一[2-5]。但是，在半主動控制中，不同的控制算法對控制設計系統(tǒng)影響較大，所設計出來的控制力控制特性也有較大區(qū)別。因此，本文以浙江嘉紹大橋為例，在基于ANSYS與MATLAB相互調(diào)用的基礎上數(shù)值仿真浙江嘉紹大橋的有限元基準模型，并且對其進行了LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制兩種不同控制算法的半主動振動控制分析，討論這兩種不同控制算法對于該橋梁半主動振動控制的影響。

1 基本理論公式

1.1 受控系統(tǒng)的數(shù)學狀態(tài)描述

假定嘉紹大橋結(jié)構模型自由度為n，控制裝置產(chǎn)生的控制力為U(t)，受到外界環(huán)境干擾力為F(t)，則該系統(tǒng)的受控運動方程[6]為：

(1)

式中X(t)為結(jié)構位移向量；

M、K和C分別為結(jié)構質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；

Ds、Bs分別為環(huán)境干擾力和控制力位置矩陣。

(2)

其中，In∈Rn×n為單位矩陣；0n為維零矩陣。

1.2 LQR經(jīng)典最優(yōu)控制

定義系統(tǒng)的二次型性能泛函為：

(3)

式中，Q是系統(tǒng)狀態(tài)矢量的權矩陣，為半正定矩陣；R是結(jié)構控制力的權矩陣，為正定矩陣。

大橋整體系統(tǒng)狀態(tài)控制的任務為：在控制系統(tǒng)受到外界因素影響而偏離平衡狀態(tài)時，能夠施加以較小能量的控制輸入，使得系統(tǒng)趨近于平衡狀態(tài)。那么，LQR經(jīng)典最優(yōu)控制的問題就是在[t0,∞]范圍內(nèi)，求解最優(yōu)控制力U(t)，將系統(tǒng)由Z0狀態(tài)向零狀態(tài)附近轉(zhuǎn)移，并且使得性能泛函J取得最小值。

根據(jù)Riccati方程及變分法原理求解，可以得出最優(yōu)控制力為：

U(t)=-GZ(t)

(4)

G=R-1BTP

1.3 獨立模態(tài)控制算法

將運動方程(1)轉(zhuǎn)化為廣義坐標方程，令系統(tǒng)的無阻尼陣型(模型)矩陣為Φ，可以通過模態(tài)變換[7]

X(t)=Φq(t)

(5)

式中，q(t)為體系的廣義模態(tài)坐標向量。

聯(lián)立(1)、(5)方程式，并且左乘ΦT，可以得出廣義模態(tài)坐標向量運動方程：

(6)

式中：

U*(t)=ΦTBsU(t)=LU(t)

(7)

(8)

其中，L=ΦTBs為n×p維矩陣，p為控制器數(shù)目。

則對于式(6)，總可以采用其他算法求出體系的方程最優(yōu)控制力U*(t)，表示為：

(9)

(10)

由式(5)、(7)和(10)聯(lián)立可得：

(11)

其中：

(12)

1.4 限界Hrovat最優(yōu)控制算法

基于MR阻尼器的限界Hrovat最優(yōu)控制算法，可以通過以下公式表達[6]：

(13)

當磁流變液阻尼器所安裝的位置的振動方向與最優(yōu)主動控制力方向相反時，且|u|≥udmax，通過調(diào)整參數(shù)施加阻尼器的最大阻尼出力；當振動方向與最優(yōu)主動控制力方向相反時且|u|

2 MR阻尼器控制系統(tǒng)設計

2.1 斜拉橋基本控制原理

磁流變阻尼器控制系統(tǒng)，由傳感器(包括數(shù)據(jù)采集儀器)、控制器和磁流變阻尼器作動器三部分組成，具體流程為[8]：首先，通過傳感器測量嘉紹大橋在地震作用的結(jié)構響應，反饋到控制器電腦當中；然后，控制器電腦按照設計好的LQR經(jīng)典最優(yōu)控制，或獨立模態(tài)控制，結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制算法，計算出半主動控制力，再根據(jù)半主動控制力由針對于MRD的算法計算出所需施加在磁流變阻尼器上的電壓；最后，將所計算電壓施加到磁流變阻尼器上，驅(qū)動磁流變阻尼器產(chǎn)生所需要的控制力，實現(xiàn)結(jié)構的半主動控制，如圖1所示。

圖1 半主動控制流程

橋梁在地震作用下的外部控制力可以表示為：

(14)

式中，G1和G2分別為控制力對位移和速度的反饋增益矩陣。

將式(14)代入式(1)即可得到運動方程為：

(15)

從式(15)可以看出，斜拉橋半主動振動控制的原理，即通過對結(jié)構施加控制力，改變結(jié)構自身剛度和阻尼等動力特性，控制結(jié)構在地震作用下振動響應。

2.2 控制目標

該控制系統(tǒng)磁流變液桿系阻尼器作為作動器，是建立在結(jié)構具有相對位移的前提下才能發(fā)揮其功用。經(jīng)過對嘉紹大橋有限元基準模型的進一步分析，可以知道，模型里面僅有從左側(cè)起1塔、3塔、4塔、6塔塔梁結(jié)合處及墩梁結(jié)合處具有縱向相對位移。本文將磁流變液阻尼器沿縱向施加在1塔、3塔、4塔、6塔塔梁結(jié)合處，即在該塔梁結(jié)合處施加縱向控制力，塔梁結(jié)合處的控制力同時作用在主塔及主梁上，作用的主梁及主塔上的控制力大小相等，方向相反。因為主梁為柔性構件，施加在主梁上的縱向控制力，除了可以減少主梁縱向響應以外，還可能對主梁豎向響應起到控制效果；而主塔為剛性構件，施加在主塔的縱向控制力幾乎對主塔的橫向響應沒有控制效果。

綜上所述，可以得出本文針對嘉紹大橋主要振動控制目標為：主梁縱向位移、主梁豎向位移、主塔縱向位移、主塔縱向剪力、主塔縱向彎矩以及塔(墩)梁結(jié)合處相對位移。

2.3 MR阻尼器控制算法

通常主動及半主動振動控制，只需要建立起輸出響應與控制力之間的反饋關系即可，而基于磁流變阻尼器的半主動振動控制還需求解出施加在磁流變阻尼器上的電壓，因為施加在阻尼器上的電壓并不與阻尼力成線性關系。目前主要求解磁流變阻尼器控制電壓的算法，有Bing-Bang控制算法、基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的控制算法及Clipped-Optimal剪切形最優(yōu)控制算法等[9]。本文求解磁流變阻尼器控制電壓的算法為基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的控制算法。

通過以上原理，采用Lyapunov函數(shù)設計磁流變阻尼器控制器，如式(16)所示[10]：

(16)

式中：

(17)

ATP+PA=-QP

(18)

對式(16)求導，可以得出：

(19)

vi=VmaxH((-z)TPBifi)

(20)

式中,Vmax為磁流變阻尼器上可施加的最大電壓值；

Bi為控制力位置矩陣B的第i列；

fi為控制器計算出來第i個磁流變阻尼器所貢獻的阻尼力；

vi為計算所需施加在磁流變阻尼器上的控制電壓；

H為權函數(shù)。

表達式為：

(21)

3 數(shù)值模擬

3.1 背景工程

浙江嘉紹大橋自紹興上虞起，跨越錢塘江水域至嘉興海寧，采用的是典型的六塔獨柱四索面鋼箱梁斜拉橋設計方案，橋跨跨徑布置為70+200+5×428+200+70m，主橋由連續(xù)的五跨六塔斜拉橋所組成，每跨428m，寬度為55.6m，全橋長度為10.137km，結(jié)構形式為兩個三塔一聯(lián)對稱結(jié)構，兩個三塔之間采用一抽屜型剛性鉸相連接。橋梁設計基準期為100年，抗震設防烈度為6度，場地土類別為Ⅳ類，如圖2所示。

圖2 嘉紹大橋結(jié)構布置詳圖(單位：cm)

根據(jù)嘉紹大橋橋址的地質(zhì)條件，在太平洋地震研究中心選取3條適應該工程的地震波，并將此3條地震波加速度時程曲線峰值調(diào)為0.1392g，表1為所選取3條地震波初始參數(shù)，圖3為調(diào)整后的加速度時程曲線。

表1 選取地震波參數(shù)

(a)DZ1 (b)DZ2 (c)DZ3

圖3 地震波加速度時程曲線

3.2 控制效果分析

將所選取的地震波按1(縱橋向)+0.65(豎橋向)模式輸入嘉紹大橋有限元模型當中，進行兩種不同控制算法的半主動振動控制模擬。其中，令模型沒有采取任何控制措施為方案0；對模型進行LQR半主動控制為方案1；對模型進行獨立模態(tài)半主動控制為方案2。選取3條地震波計算結(jié)果最大值分析，圖4為嘉紹大橋控制效果對比圖。

由圖4可以看出：

(1)未施加控制前，主梁縱向位移形狀近似為兩個相近的V字形，鋼性餃部位及墩跨位置幅值最大，主梁豎向位移形狀近似為余弦函數(shù)形，除左墩跨跨中幅值較小外，各跨跨中幅值較為接近，塔(墩)梁結(jié)合處相對位移形狀近似為W形，墩跨位置幅值最大。

(a)主梁縱向位移控制效果圖

(b)主梁豎向位移控制效果圖

(c)塔(墩)梁結(jié)合處相對位移控制效果圖圖4 主梁控制效果對比圖

(2)基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制的兩種半主動振動控制，針對主梁地震響應均有較好的控制效果，其中，方案1針對主梁的縱向位移控制效果最大可達28.5%，針對主梁的豎向位移控制效果最大可達30.6%，針對塔(墩)梁結(jié)合處相對位移控制效果最大可達30.6%；獨立模態(tài)半主動控制，針對主梁的縱向位移控制效果最大可達29.3%；方案2針對主梁的豎向位移控制效果最大可達32.7%，針對塔(墩)梁結(jié)合處相對位移控制效果最大可達29.1%。

(3)主梁地震響應，除較少區(qū)域采用LQR經(jīng)典半主動控制控制效果更好外，其余區(qū)域均是采用獨立模態(tài)半主動控制效果更優(yōu)。如，主梁右邊跨跨中的縱向位移，方案1控制效果為14.8%，而方案2控制效果為28.8%；主梁中跨跨中的豎向位移，方案1控制效果為20.8%，而方案2控制效果為32.7%；左側(cè)墩梁結(jié)合處的相對位移主梁，方案1控制效果為3.5%，而方案2控制效果為12.8%。即主梁地震響應整體上采用獨立模態(tài)半主動控制，控制效果相對于LQR經(jīng)典半主動控制更優(yōu)。

圖5是主塔(墩)控制效果對比圖，由圖5可以看出：

(a)塔(墩)頂縱向位移控制效果圖

(b)塔(墩)底縱向剪力控制效果圖

(c)塔(墩)底縱向彎矩控制效果圖圖5 主塔(墩)控制效果對比圖

(1)未施加控制前，主塔塔頂縱向位移6塔最大，3塔其次，其余各塔較為接近；主塔縱向剪力及彎矩分布趨勢相似，除2、5塔較大外，其余各塔較為接近。

(2)基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制的兩種半主動振動控制，針對主塔地震響應均有較好的控制效果，其中，方案1針對主塔塔頂?shù)目v向位移控制效果最大可達30.4%，針對主塔塔底的縱向剪力控制效果最大可達28.1%，針對主塔塔底的縱向彎矩控制效果最大可達31.4%；方案2針對主塔塔頂?shù)目v向位移控制效果最大可達27.4%，針對主塔塔底的縱向剪力控制效果最大可達35.7%，針對主塔塔底的縱向彎矩控制效果最大可達35.2%。

(3)主塔地震響應，除較5塔采用LQR經(jīng)典半主動控制，控制效果更好；4塔采用兩種控制方案，控制效果幾乎一樣外，其余區(qū)域均是采用獨立模態(tài)半主動控制效果更優(yōu)。如2塔塔頂?shù)目v向位移，方案1控制效果為18.8%，而方案2控制效果為25.7%；2塔塔頂?shù)目v向剪力，方案1的控制效果為23.7%，而方案2的控制效果為35.7%；2塔塔頂?shù)目v向彎矩，方案1的控制效果為18.9%，而方案2的控制效果為35.2%。即主塔地震響應，整體上采用獨立模態(tài)半主動控制的控制效果，相對于LQR經(jīng)典半主動控制更優(yōu)。

(4)由于墩梁結(jié)合處釋放縱向位移約束，且沒有施加磁流變液阻尼器，橋墩在縱向自由度上類似于獨立懸臂梁結(jié)構，橋墩的地震響應不受控制影響。

3.3 控制力對比

本文在對嘉紹大橋有限元模型進行基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨立模態(tài)控制分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制的兩種半主動振動控制進行模擬的時候，調(diào)整控制參數(shù)，使兩種半主動控制的控制出力盡量相近。以下分別給出兩種方案中，1塔塔梁結(jié)合處作用在主梁上的控制力時程，及所有阻尼器施加位置上的最大控制出力，如圖6～圖7所示。

圖6 方案1控制力時程曲線

圖7 方案2控制力時程曲線

表2是各塔半主動控制最大出力(×107N)。

表2 半主動控制最大出力(×107N)

基于目前國際上磁流變阻尼器500kN的最大阻尼出力及表2可知：要完全實現(xiàn)計算所得的控制最大出力LQR經(jīng)典半主動控制至少需要162(48+35+37+42)個磁流變阻尼器，而獨立模態(tài)半主動控制至少需要159(47+36+35+41)個磁流變阻尼器。即采用獨立模態(tài)半主動控制所需的控制代價低于LQR經(jīng)典半主動控制所需的控制代價。

4 結(jié)論

本文將所選取地震波按考慮地震波剪切波速為1000，且輸入方式為1(縱橋向)+0.65(豎橋向)模式輸入嘉紹大橋有限元模型當中，然后再針對嘉紹大橋的地震響應，進行基于LQR經(jīng)典最優(yōu)控制與獨立模態(tài)控制，分別結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制兩種不同控制算法的半主動振動控制模擬，最后對這兩種不同控制方案進行了控制出力、主梁控制效果及主塔控制效果三方面的對比分析。

通過本文前面的對比分析可以發(fā)現(xiàn)，采用獨立模態(tài)半主動控制相對于LQR經(jīng)典半主動控制具有：(1)控制所需的磁流變阻尼器個數(shù)更少；(2)針對主梁地震響應(主梁縱向位移、主梁豎向位移及塔(墩)梁相對位移)控制效果更優(yōu)；(3)針對主塔地震響應(主塔縱向位移、主塔縱向剪力及主塔縱向彎矩)控制效果更優(yōu)。即采用獨立模態(tài)半主動控制相對于LQR經(jīng)典半主動控制，可以在較少控制代價的前提下取得更優(yōu)的控制效果，驗證了本文所選獨立模態(tài)控制算法，結(jié)合限界Hrovat最優(yōu)控制算法，作為主要半主動振動控制算法，針對嘉紹大橋這一實際工程項目具有較好的優(yōu)越性與適用性。