周文利, 馮永平

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

隨著數(shù)值分析方面計(jì)算機(jī)軟件和硬件發(fā)展, 出現(xiàn)了許多涉及具體物理和工程問題的計(jì)算方法. 但對于具有小周期微觀結(jié)構(gòu)問題的計(jì)算, 用有限元方法求解時(shí), 由于復(fù)合材料的不均勻性, 需要非常精細(xì)地劃分有限元網(wǎng)格, 這就導(dǎo)致了最后在求解線性方程組時(shí)的巨大計(jì)算量, 即使是大型甚至是超級計(jì)算機(jī)也無法完成對應(yīng)的計(jì)算工作. 針對這類問題, 多尺度方法和均勻化方法發(fā)展了起來， 首先, 文獻(xiàn)[1]給出了均勻化理論并構(gòu)造了橢圓型方程雙尺度的漸近展開式，文獻(xiàn)[2]對小周期橢圓混合邊值問題作了雙尺度有限元分析. 然后, 文獻(xiàn)[3]研究了二階橢圓邊值問題的特征值和特征函數(shù)的雙尺度漸近展開, 并給出數(shù)值算法. 還有一些文獻(xiàn)用雙尺度方法研究了小周期橢圓問題, 如文獻(xiàn) [4-6]. 此外, 用雙尺度方法還可以解決具有小周期結(jié)構(gòu)的熱彈性耦合問題, 文獻(xiàn)[7]創(chuàng)新性地建立了這個(gè)問題中位移場和溫度場的雙尺度漸近展開式.

由于某些材料或問題具有多尺度特性, 用雙尺度方法處理這些問題時(shí)會有一定的局限性, 因此，非常有必要在雙尺度方法的基礎(chǔ)上發(fā)展三尺度方法. 通過三尺度方法, 文獻(xiàn)[8]預(yù)測了纖維混凝土的力學(xué)性能, 文獻(xiàn)[9]討論了材料的熱傳導(dǎo)性能. 隨后, 文獻(xiàn)[10]在三尺度展開的基礎(chǔ)上加入高階校正項(xiàng), 即用高階三尺度方法分析了復(fù)合材料的力學(xué)性能.

本文用文獻(xiàn)[10]中的思想方法在三個(gè)不同尺度上分析帶有阻尼項(xiàng)小周期橢圓邊值問題解的高階三尺度漸近展開. 微結(jié)構(gòu)層次下包括兩種不同的單胞, 分別是帶有微觀尺度ε2的微觀單胞ε2Z和帶有介觀尺度ε1的介觀單胞ε1Y, 其中ε2?ε1?1. 帶有阻尼項(xiàng)的橢圓第一邊值問題為

(1)

設(shè)x表示Ω中的宏觀尺度坐標(biāo)系,y表示ε1Y中的介觀尺度坐標(biāo)系,z表示ε2Z中的微觀尺度坐標(biāo)系,它們之間有如下關(guān)系：

(2)

定義關(guān)于x的微分算子

(3)

由于系數(shù)的多尺度性, 問題(1)的解析解一般得不到. 用常規(guī)的數(shù)值方法計(jì)算時(shí)需要對網(wǎng)格做精細(xì)剖分, 運(yùn)算量非常大. 易證明問題(1)存在唯一解, 本文主要討論問題(1)的形式三尺度解.

1 uε1ε2(x)的高階三尺度漸近展開

為使文章簡潔和運(yùn)算方便, 引入下面的記號

D1=Dx,x,D2=Dx,y+Dy,x,D3=Dy,y,

D4=Dx,z+Dz,x,D5=Dy,z+Dz,y,D6=Dz,z

(4)

由式(1)和(3),

duε1ε2

(5)

基于已知結(jié)果[11]和復(fù)雜的求導(dǎo)過程, 經(jīng)過不斷的校正分析, 可以建立uε1ε2(x)的高階三尺度漸近展開式, 即

(6)

其中

(7)

這里的u0(x)只反映問題(1)解的宏觀性質(zhì), 并稱之為定義在Ω上問題(1)解的均勻化解.Bp(y)、Bpq(y)、Hs(z)、Hst(y,z)、Gs(y,z)、Hspq(y,z)、Hstpq(y,z)、Kp(y,z)、Mst(y,z)和Np(y,z)是定義在單胞Y、Z上的函數(shù), 稱為單胞函數(shù).

把式(6)代入式(5), 整理, 則有

ε1(D1uI+D2uII+D4uIV+D5uVI+D6uVII+duI)+

O(ε2)=-f

(8)

由于系數(shù)ε1和ε2是任意的, 所以得到下面一串等式:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

D6uV+du0=0

(17)

(18)

ε1:D1uI+D2uII+D4uIV+D5uVI+D6uVII+duI=0

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

下面將對式(9)～(23)逐一分析以確定均勻化問題和單胞函數(shù)所滿足的單胞問題. 由于u0(x)不依賴于y和z,uI(x,y)和uII(x,y)不依賴于z, 根據(jù)式(4)可知式(9)～(13)成立.

由式(14)、(7)和(4), 可得

(24)

又由式(15)、(7)和(4), 可得

從式(24)可知上述等式成立.

再由式(16)、(7)和(4), 可得

(25)

定義與微觀尺度鄰域Z相關(guān)的體積平均算子

(26)

把體積平均算子(26)作用到式(25)的兩邊, 根據(jù)Green公式, 則有

(27)

其中

(28)

(29)

類似地, 由式(17)、(7)和(4), 可得

ψ1=-f-du0

(30)

其中

(31)

把體積平均算子(26)作用到式(30)的兩邊, 利用Green公式, 則有

-f-dZu0

(32)

再定義與介觀尺度鄰域Y相關(guān)的體積平均算子

(33)

并把體積平均算子(33)作用到式(32)的兩邊, 根據(jù)Green公式, 可以得到宏觀尺度上的均勻化方程

(34)

其中

(35)

(36)

(37)

根據(jù)式(32)和(34), 可得

(38)

于是可以定義Bpq(y)滿足的單胞問題

(39)

此外, 把式(32)代入式(30), 可得

(40)

其中

根據(jù)式(29)、(37)和(39)可知ψ2與ψ3不等于零, 為使式(40)保持等號成立, 可以構(gòu)造Gs(y,z),Hst(y,z)滿足的單胞問題分別是

(41)

(42)

由式(18)、(7)和(4), 可得

(43)

從式(24)可知上述等式成立.

類似于上面的分析和運(yùn)算, 從式(19)～(23)、(7)和(4), 可以定義Hspq(y,z),Hstpq(y,z),Kp(y,z),Mst(y,z)和Np(y,z)滿足的單胞問題分別為

(44)

(45)

(46)

(48)

綜上所述, 可以得到以下定理:

(1)問題(1)的解uε1ε2(x)具有形式漸近三尺度解(6);

(2)問題(1)解的均勻化解u0(x)由問題(37)確定;

(3)問題(1)的均勻化系數(shù)由式(28)、式(35)和式(36)確定;

(4)局部單胞函數(shù)Hs(z)、Bp(y)、Bpq(y)、Gs(y,z)、Hst(y,z)、Hspq(y,z)、Hstpq(y,z)、Kp(y,z)、Mst(y,z)和Np(y,z)分別由問題(24)、(29)、(39)、(41)、(42)、(44)～(48)確定.

在上面的討論中, 定義了在單胞Y和Z上的單胞函數(shù), 這些單胞函數(shù)反映了uε1ε2(x)的某種局部性質(zhì). 需要指出的是, 定義在介觀單胞上的局部單胞問題附帶的是周期性邊界條件, 定義在微觀單胞上的局部單胞問題附帶的是Dirichlet邊界條件.

2 uε1ε2(x)的誤差分析

基于前面的討論, 分別定義如下不同的多尺度近似解

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

從式(52)～(54)可知，二階雙尺度解和低階三尺度解產(chǎn)生的誤差較大, 高階三尺度解產(chǎn)生的誤差較小, 因此，尋找問題的高階三尺度解在實(shí)際計(jì)算中是非常有必要的, 它提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度.

3 總 結(jié)

由于某些材料或問題具有多尺度特性, 用雙尺度方法處理這些問題時(shí)會有一定的局限性, 因此，很有必要在雙尺度方法的基礎(chǔ)上發(fā)展三尺度方法以及精確度更高的高階三尺度方法.

本文首先在高階三尺度方法的理論框架下, 通過逐步構(gòu)造和分析, 得到了帶有阻尼項(xiàng)小周期橢圓邊值問題解的三尺度漸近展開式. 在此過程中, 均勻化系數(shù)和均勻化方程通過均勻化方法來獲得. 均勻化方程所確定的均勻化解對高階三尺度近似解起決定性作用, 反映了高階三尺度近似解的宏觀性質(zhì), 而單胞函數(shù)反映的是高階三尺度近似解的局部性質(zhì). 最后基于構(gòu)造的高階三尺度漸近展開式, 定義了二階雙尺度解、低階三尺度解和高階三尺度解, 分析了它們與高階三尺度近似解之間的誤差, 由此表明高階三尺度解產(chǎn)生的誤差較小, 為進(jìn)一步建立高階三尺度有限元數(shù)值算法提供了理論依據(jù).