龍 佳，吳維新，苗子旭，庫建剛

(福州大學(xué)紫金礦業(yè)學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

在礦物加工領(lǐng)域，顆粒沉降廣泛存在于磨礦、分級(jí)、選別及精礦和尾礦濃縮作業(yè)中，而且顆粒的沉降速度對(duì)這些作業(yè)影響較大[1].在尾礦濃縮作業(yè)中，尾礦沉降是一個(gè)極其復(fù)雜的物理化學(xué)過程，其中顆粒的沉降速度是影響尾礦濃縮及廢水利用效率的重要因素[2-5].對(duì)于大多數(shù)尾礦來說，80%的顆粒粒徑小于74 μm，77%小于45 μm[6]，尾礦的平均密度約為2 722 kg·m-3[7]，因此對(duì)微細(xì)顆粒沉降動(dòng)力學(xué)的研究具有十分重要的意義.國內(nèi)外學(xué)者通過直接數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)顆粒沉降動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了大量的研究.

Feng等[8]通過有限元方法模擬兩個(gè)相同的圓形顆粒在牛頓流體中的沉降過程，發(fā)現(xiàn)典型的DKT(拖曳-碰撞-翻滾)沉降現(xiàn)象.在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)者發(fā)現(xiàn)在沉降過程中不同條件下兩個(gè)顆粒容易出現(xiàn)DKT現(xiàn)象的位置不同[9-10]，只有當(dāng)沉降顆粒尺寸差異很小時(shí)，兩個(gè)顆粒才會(huì)重復(fù)進(jìn)行DKT現(xiàn)象[11].同時(shí)，在顆粒沉降過程中，顆粒自身特性和外部沉降環(huán)境是影響顆粒沉降的關(guān)鍵所在,不同雷諾數(shù)流體中顆粒沉降特性不同[12-13].陳榮前等[14]研究發(fā)現(xiàn)側(cè)向力的振動(dòng)頻率與雷諾數(shù)Re呈二次關(guān)系；胡平等[15]研究不同傾斜角度通道內(nèi)的3個(gè)剛體圓形顆粒的沉降特性，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Re越大或3個(gè)顆粒的直徑大小不均勻時(shí)，均能促使顆粒加快聚集.常建忠等[16]采用粒子圖像測速儀研究球形顆粒的沉降特性，發(fā)現(xiàn)顆粒沉降受Re和沉降初始釋放位置的影響.此外，查露等[17]對(duì)三維懸浮顆粒群進(jìn)行全解析直接數(shù)值模擬，詳細(xì)分析1 000數(shù)量級(jí)的顆粒沉降規(guī)律.劉漢濤等[18]對(duì)熱對(duì)流條件下雙顆粒沉降進(jìn)行了直接數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)雙顆粒在等溫、熱流體和冷流體中運(yùn)動(dòng)形式是不同的.孫銘陽等[19]通過比較液固分選流化床內(nèi)顆粒所受到的各種力，簡化了顆粒動(dòng)力學(xué)方程；并發(fā)現(xiàn)梯度力、虛擬質(zhì)量力、流體阻力及慣性力在LSFBS主分選區(qū)內(nèi)量級(jí)相同，而Magnus力、Saffman力和Basset力可以忽略不計(jì).綜上所述，目前很少有公開的文獻(xiàn)討論兩個(gè)微細(xì)顆粒(d≤74 μm)在不同構(gòu)型下沉降過程的相互作用.本文通過有限元方法對(duì)顆粒的沉降過程進(jìn)行直接數(shù)值模擬，研究兩個(gè)微細(xì)球形顆粒的密度、大小、初始間距和相對(duì)角度對(duì)沉降過程的影響，分析各種參數(shù)對(duì)顆粒-流體和顆粒-顆粒相互作用的影響，為礦物加工中尾礦的濃縮等作業(yè)提供理論依據(jù).

1 單個(gè)顆粒沉降實(shí)驗(yàn)

1.1 材料與試劑

單個(gè)顆粒的沉降實(shí)驗(yàn)采用的流體為Brookfield粘度標(biāo)準(zhǔn)液，流體粘度μ=4.87 Pa·s，流體密度ρf=969.19 kg·m-3.沉降使用的顆粒為不銹鋼圓珠筆鋼珠,顆粒直徑d=0.5 mm,顆粒密度ρs=7 890 kg·m-3.

1.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

沉降實(shí)驗(yàn)所用的容器為有機(jī)玻璃制成的方形毛細(xì)管，毛細(xì)管高度為80 mm，內(nèi)徑3 mm，外徑4 mm，即沉降通道的寬度為6d.顆粒釋放采用KDS-100微流注射泵.拍攝采用MacroVisEosens-300高速相機(jī)，最高拍攝速度可達(dá)285 000 fps，放大倍數(shù)可達(dá)40倍;單目顯微鏡(相機(jī)配套)，放大倍數(shù)可達(dá)100倍.XD-300-250W型冷光源，能提供最大光通量1 000 lm.實(shí)驗(yàn)過程采用的裝置示意圖如圖1所示.

圖1 試驗(yàn)裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of test device

1.3 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)在室溫條件下進(jìn)行，工作流體采用Brookfield粘度標(biāo)準(zhǔn)液(具有優(yōu)良的溫度穩(wěn)定性，確定的粘度，可在模擬中作為固定參數(shù)使用).實(shí)驗(yàn)開始前將流體緩慢加入容器中并靜置，避免產(chǎn)生氣泡而影響沉降過程.開啟相機(jī)、相機(jī)控制軟件和光源，對(duì)沉降容器的側(cè)面進(jìn)行照射，調(diào)整高速相機(jī)的鏡頭中心對(duì)準(zhǔn)光源的中心，形成拍攝平面，調(diào)節(jié)相機(jī)，使相機(jī)成像清晰.調(diào)整完成后相機(jī)開始拍攝，開啟微流注射泵，以接近0的速度將顆粒推入沉降容器的中心位置，顆粒在重力的作用下開始下沉，相機(jī)記錄下顆粒的沉降過程，輸出圖片，并通過PS軟件處理分析圖片，獲得顆粒在豎直方向上的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律.

1.4 物理模擬

通過COMSOL Multiphysics有限元模擬軟件，建立了顆粒沉降模型.雙顆粒沉降過程的模擬所用的物理模型如圖2所示，計(jì)算區(qū)域?yàn)閘x×ly，兩球中心連線與水平面的夾角為θ，小球直徑為d，球心連線的距離為l.在物理模型中將邊界約束設(shè)置為滑移壁，以避免壁面對(duì)顆粒沉降的影響，同時(shí)為了便于描述，引入無量綱參數(shù)l/d(取K=l/d)作為兩小球之間的相對(duì)距離.表1為模擬過程中設(shè)定各參數(shù).

圖2 物理模型Fig.2 Physical model

表1 模擬參數(shù)Tab.1 Parameters of simulation

2 動(dòng)力學(xué)模型

納維-斯托克斯方程是用于描述流體運(yùn)動(dòng)的方程，可以看作是流體運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律.對(duì)于不可壓縮的牛頓流體，可以得到：

(1)

式中：ρ是流體密度；u是流體速度；▽是漢密頓算子；p是流體壓力；μ是流體動(dòng)力粘度.

顆粒運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

式中：v是顆粒速度；X是顆粒位移矢量；F是作用在顆粒上的力；M是作用在顆粒上的力矩.

采用有限元法對(duì)空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，在網(wǎng)格劃分過程中對(duì)流體流動(dòng)方程采用歐拉描述，而固體顆粒則采用拉格朗日描述，同時(shí)在采用ALE(任意拉格朗日-歐拉描述)處理顆粒運(yùn)動(dòng)時(shí)顆粒表面節(jié)點(diǎn)隨顆粒一起運(yùn)動(dòng)，流體內(nèi)部的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置通過修正的Laplace方程計(jì)算出來.

3 結(jié)果與討論

3.1 模型驗(yàn)證結(jié)果

采用高速相機(jī)記錄單個(gè)顆粒沉降的動(dòng)態(tài)過程，將所獲得的結(jié)果與數(shù)值模擬所獲得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，來驗(yàn)證計(jì)算模型的可靠性,結(jié)果如圖3所示.圖3中每張照片間的時(shí)間間隔為5 s，由圖可得小球在每段時(shí)間內(nèi)的位移，將其與數(shù)值模擬所得的數(shù)據(jù)共同繪制成圖4.

圖3 單個(gè)球形顆粒沉降軌跡圖Fig.3 Settlement trajectory of single spherical particle

圖4 顆粒沉降方向的位移隨時(shí)間的變化Fig.4 Displacement of particle settling direction changes with time

由圖4可看出數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎一致,表明試驗(yàn)和模擬的吻合度很高，可以用模擬對(duì)顆粒沉降的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究，進(jìn)而通過模擬不同粒徑的球形顆粒在水中的沉降過程，探討其粒徑對(duì)雙顆粒沉降過程的影響.

3.2 雙顆粒在水中沉降模擬結(jié)果及討論3.2.1 初始取向角對(duì)相同兩顆粒沉降過程的影響

首先考察θ對(duì)兩個(gè)相同的顆粒沉降相互作用的影響.兩顆粒的K=4、ρs=3 500 kg·m-3及d=45 μm固定，改變兩顆粒初始取向角θ(0°、30°、45°、60°、75°、80°、85°、90°)，結(jié)果如圖5所示.可看出隨著θ增大，兩顆粒的運(yùn)動(dòng)過程大概可以總結(jié)為3種狀態(tài)：相互遠(yuǎn)離(θ=0°、30°、45°)、先靠近后遠(yuǎn)離未發(fā)生碰撞(θ=60°、75°、80°、85°)、靠近接近碰撞并然后遠(yuǎn)離(θ=90°).可以看出θ的減小，兩顆粒的相互作用越趨向于相互遠(yuǎn)離的狀態(tài).

3.2.2初始間距對(duì)相同兩顆粒沉降過程的影響

為考察K對(duì)兩個(gè)相同的顆粒沉降相互作用的影響，取θ=75°、ρs=3 500 kg·m-3及d=45 μm，改變顆粒的初始間距K=2、3、4，計(jì)算兩顆粒的沉降過程，結(jié)果如圖6所示.可看出在一定范圍內(nèi)改變K的大小并不會(huì)改變兩個(gè)顆粒的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢，即兩顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一直為先靠近后遠(yuǎn)離未發(fā)生碰撞.

圖5 不同θ條件下K隨時(shí)間的變化Fig.5 Change of K with time under different θ

圖6 不同初始K條件下K隨時(shí)間的變化Fig.6 Change of K with time under different initial K

3.2.3密度對(duì)相同的兩顆粒沉降過程的影響

通過同時(shí)改變兩顆粒的密度ρs(2 500、3 500、4 500 kg·m-3)，但d=45 μm、K=4固定不變，分別計(jì)算θ=90°及θ=75°時(shí)兩顆粒的沉降過程，考察顆粒密度對(duì)相同兩顆粒沉降過程的影響，結(jié)果如圖7所示.可看出同時(shí)增大或減小兩顆粒的密度并不能改變兩顆粒的總體運(yùn)動(dòng)趨勢，只是當(dāng)密度增大時(shí)，會(huì)加快兩顆粒的靠近速度.

圖7 不同ρs條件下K隨時(shí)間的變化Fig.7 Change of K with time under different ρs

3.2.4同時(shí)增大兩顆粒粒徑時(shí)對(duì)沉降過程的影響

圖8 不同顆粒d條件下K隨時(shí)間的變化Fig.8 Change of K with time under different particle d

考察同時(shí)增大相同兩顆粒的粒徑對(duì)它們相互作用的影響.兩顆粒的初始取向角θ=75°、初始間距K=4及密度ρs=3 500 kg·m-3固定，同時(shí)增大或減小兩顆粒的粒徑，結(jié)果如圖8所示.由圖可看出兩種情況下K隨時(shí)間的變化趨勢相似，只是粒徑較大的兩顆粒相互靠近所用的時(shí)間較短，同時(shí)相互遠(yuǎn)離的所用的時(shí)間也較短.

3.2.5粒徑相同密度不同和密度相同粒徑不同的兩顆粒的沉降過程

首先考察了兩顆粒粒徑相同時(shí)，改變其中一個(gè)顆粒的密度大小對(duì)兩顆粒沉降過程的影響.固定θ=90°、d=45 μm及K=4，改變位于上方顆粒的密度ρs(2 500、3 000和3 500 kg·m-3)，結(jié)果如圖9(a)所示.由圖可看出，隨著兩顆粒密度差的減小，K隨時(shí)間的變化，兩顆粒的相互作用方式出現(xiàn)了3種狀態(tài)：保持相互遠(yuǎn)離、先遠(yuǎn)離后靠近和保持相互靠近.兩顆粒密度分別為3 000和3 500 kg·m-3時(shí)，兩顆粒的相互作用方式為一種新的作用方式，即先遠(yuǎn)離后靠近.

在兩顆粒的初始取向角θ=75°時(shí)，固定兩顆粒的初始間距K=4和顆粒密度ρs=3 500 kg·m-3，保持其中一個(gè)的粒徑d=45 μm，改變另一個(gè)顆粒的粒徑(45、50、60 μm)，考察了單個(gè)顆粒粒徑的變化對(duì)兩顆粒沉降過程的影響,結(jié)果如圖9(b)所示.由圖可以看出兩顆粒的相互作用方式出現(xiàn)了3種方式：先靠近后遠(yuǎn)離、先遠(yuǎn)離后靠近再遠(yuǎn)離、先遠(yuǎn)離后靠近.當(dāng)兩顆粒的粒徑d分別為45 μm和50 μm時(shí)，在計(jì)算時(shí)間內(nèi)，觀察到新的一種兩顆粒的作用關(guān)系，即先遠(yuǎn)離后靠近再遠(yuǎn)離的過程，且首次遠(yuǎn)離所經(jīng)歷的時(shí)間極短.

圖9 不同初始條件下K隨時(shí)間的變化Fig.9 Change of K with time under different initial condition

3.2.6粒徑和密度都不同的兩顆粒的相互作用關(guān)系

考察同時(shí)改變顆粒的粒度和密度對(duì)它們相互作用的影響.固定兩顆粒的初始取向角θ=75°和兩顆粒間的初始間距K=4，結(jié)果如圖10所示.

圖10 兩顆粒的無量綱間距K隨時(shí)間的變化Fig.10 Change of dimensionless spacing K between two particles with time

由圖10可看出大粒徑、小密度和小密度、大粒徑的兩顆粒的沉降過程的變化趨勢大不相同，減小大粒徑顆粒的密度可以促進(jìn)兩顆粒的相互靠近過程.

4 結(jié)語

1)單顆粒在沉降方向上位移的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致，計(jì)算模型較為準(zhǔn)確.

2)兩微細(xì)顆粒沉降時(shí)的相互作用可以歸結(jié)為四種狀態(tài)：保持相互遠(yuǎn)離、先靠近并接近碰撞然后再遠(yuǎn)離、先靠近后遠(yuǎn)離不發(fā)生碰撞和先遠(yuǎn)離后靠近再遠(yuǎn)離不發(fā)生碰撞.對(duì)于兩個(gè)微細(xì)粒顆粒的相互作用，顆粒-顆粒之間難以發(fā)生碰撞現(xiàn)象，在顆粒-顆粒接近碰撞時(shí)顆粒會(huì)受流體的作用而相互分離.

3)對(duì)于完全相同的兩顆粒，在其他條件不變的條件下，兩顆粒的初始取向角θ越小，兩顆粒的相互作用方式就越趨向于相互遠(yuǎn)離.在初始取向角θ不變的條件下，同時(shí)改變兩顆粒的無量綱間距K或顆粒粒徑d或顆粒密度ρs，并不能改變他們的總體運(yùn)動(dòng)趨勢，但是單獨(dú)改變其中一個(gè)顆粒的粒徑d和顆粒密度ρs時(shí)，兩顆粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可能發(fā)生變化.