李淵科 指導(dǎo)教師:班春虹
(天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué) 300000)
畢達(dá)哥拉斯定理一般指勾股定理,是一個(gè)基本的幾何定理.雖然我們?cè)诔踔芯蛯?duì)它有一定的了解,但很多同學(xué)對(duì)它的認(rèn)知只限于a2+b2=c2,但畢達(dá)哥拉斯定理所涉及的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些.在中國(guó),周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例;在西方,最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,對(duì)于這個(gè)發(fā)展悠久的定理,作為中學(xué)生的我們有許多的知識(shí)要從中汲取.
在平面內(nèi)的一個(gè)直角三角形中,兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方.如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b,斜邊長(zhǎng)度是c,那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá):
a2+b2=c2.
畢達(dá)哥拉斯定理現(xiàn)約有500種證明方法,是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一.下面介紹其中2種方法:
1.趙爽弦圖
《九章算術(shù)》中,趙爽描述此圖:“勾股各自乘,并之為玄實(shí).開(kāi)方除之,即玄.案玄圖有可以勾股相乘為朱實(shí)二,倍之為朱實(shí)四…其倍玄為廣袤合.令勾股見(jiàn)者自乘為其實(shí).四實(shí)以減之,開(kāi)其余,所得為差.以差減合半其余為廣.減廣于玄即所求也.”
2.歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明.
設(shè)△ABC為一直角三角形,其中A為直角.從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊,使其垂直于對(duì)邊.延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等.
在這個(gè)定理的證明中,我們需要如下四個(gè)輔助定理:
如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等.(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半.
任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積.
任意一個(gè)矩形的面積等于其二鄰邊長(zhǎng)的乘積.
證明的思路為:從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊,使其垂直于對(duì)邊.延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,把上方的兩個(gè)正方形,通過(guò)等高同底的三角形,以其面積關(guān)系,轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形.
在以上畢達(dá)哥拉斯定理的證明中,都用到同一個(gè)思想:數(shù)形結(jié)合思想.作為一種數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形:或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性,或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系,即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面:第一種情形是“以數(shù)解形”,而第二種情形是“以形助數(shù)”.對(duì)于剛上高一的我來(lái)說(shuō),數(shù)形結(jié)合思想在新知識(shí)中有許多應(yīng)用.
1.集合問(wèn)題
(1)與數(shù)軸結(jié)合
例1己知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x2-4x-5>0}.
(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;
(2)若A∪B=B,求a的取值范圍.
分析在數(shù)軸上標(biāo)出集合A、B所含元素的范圍,利用A、B的位置關(guān)系確定參數(shù)a的取值范圍.
(2)由A∪B=B知A?B,利用數(shù)軸得到滿足A∪B=B的不等式a+3<-1,或a>5,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a<-4,或a>5}.
(2)與Venn圖結(jié)合例:
這個(gè)Venn圖表示全集U,陰影部分表示A與B的交集關(guān)于U的補(bǔ)集.
2.方程與不等式
例2x2-4x+3=0為一個(gè)一元二次方程,相應(yīng)函數(shù)y=x2-4x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程x2-4x+3=0的根.
x2-4x+3>0為一個(gè)一元二次不等式,從函數(shù)圖象上可看出,不等式的解集為{x|x<1或x>3}.
x2-4x+3<0為一個(gè)一元二次不等式,從函數(shù)圖象上可看出,不等式的解集為{x|1 畢達(dá)哥拉斯定理的證明是論證幾何的發(fā)端;是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理.這條定理在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠,被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”.本文對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理以及其中用到的數(shù)形結(jié)合思想在高一數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了淺要的研究,由于專業(yè)性較強(qiáng),一些工作并未做到完美,研究比較粗糙,這是作者今后努力的方向.