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        提升高中數(shù)學(xué)解題效率的幾個方法

        2019-12-19 02:43:14孫壽駿指導(dǎo)教師李昌成
        數(shù)理化解題研究 2019年34期
        關(guān)鍵詞:動點常數(shù)定點

        孫壽駿 指導(dǎo)教師:李昌成

        (新疆烏魯木齊市第八中學(xué)高三2班 830002)

        數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),不是簡簡單單地重復(fù)計算、學(xué)習(xí)公式,而是提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鍛煉我們的思維方式、數(shù)理邏輯、空間想象.我們可以從最基礎(chǔ)的分類討論中學(xué)習(xí)到考慮問題時,需要有耐心、全面地剖析問題.很多同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),都覺得較為困難,很難學(xué)好,不容易獲得高分,是因為很多同學(xué)思維能力、計算能力不夠,解題速度較慢造成的.我將學(xué)習(xí)過程中總結(jié)的一些解題方法分享如下.

        一、回歸課本,找到支撐

        數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的最重要的材料,它是數(shù)學(xué)工作者集體智慧的結(jié)晶,不僅具備完整的知識體系,更具有權(quán)威性.

        現(xiàn)在,很多同學(xué)忽視課本,甚至丟掉課本,悶頭做題.比如在學(xué)圓錐曲線時,大家以為橢圓只有一個定義:平面內(nèi),到定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(該常數(shù)大于|F1F2|)的動點P的軌跡叫橢圓.其實在書中的例題提到了另外的兩個定義,其一是動點到定點F的距離與它到直線l的距離之比等于一個常數(shù)e(定點F不在定直線l上,且該常數(shù)e滿足0

        在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這條康莊大路上,我認(rèn)為課本中課后的探究與發(fā)現(xiàn)、閱讀與思考是值得我們?nèi)ネ魄米聊サ?,雖然其中的內(nèi)容老師可能草草帶過或不講,但其中的內(nèi)容詳實有趣.比如:在選修2 -3的課本中,推導(dǎo)的必修3中的線性回歸方程,雖然最后有幾步難以理解是如何轉(zhuǎn)化的,但正因為自己還不會,才應(yīng)更加努力地去學(xué)習(xí),來豐富自我.

        二、靈活變換思路,分步求解

        一些立體幾何問題因思考的角度不同,導(dǎo)致認(rèn)識不一定準(zhǔn)確,只有多變換思路,才能發(fā)現(xiàn)其本質(zhì).

        例1 已知三棱錐P-ABC的四個頂點,均在球面O上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別為PA、PB的中點,∠CEF=90°,求球O的體積.

        解∵∠CEF=90°,

        ∴CE⊥EF.

        ∵EF∥PB,∴CE⊥PB.

        取AC中點O,∵O為AC中點,且BC=BA,PC=PA,

        ∴BO⊥AC,PO⊥AC.

        又∵BO∩PO=O,

        ∴AC⊥平面POB,∴PB⊥AC.

        ∵PB⊥AC,CE⊥PB,CE∩AC=C,

        ∴PB⊥平面PAC.

        根據(jù)我們所計算出的結(jié)果,我們可以重新畫出圖,如圖2,方便解題.

        不妨設(shè)球O的半徑為R,則可得:

        三、數(shù)形結(jié)合,突破難點

        在數(shù)學(xué)解題過程中,我們經(jīng)常會不知所措,這時我們不僅可以多讀題目,提取有用信息,也可以畫個圖來幫助理解和解題.尤其是在解導(dǎo)數(shù)題、函數(shù)題、圓錐曲線、平面幾何、立體幾何中,畫個較為準(zhǔn)確的草圖,會使解題思路更加清晰,解題事半功倍.

        首先繪圖,分析圖形,我們很容易發(fā)現(xiàn)四個面是全等的三角形,如此規(guī)則的圖形,我們可以猜測它是切割出來的,并且是以相同方式切割出的,在我們所學(xué)過的知識當(dāng)中,正四面體是由正方體以同一種方式所切割出來的,那么我們可以猜測該圖形是由長方體以某種方式切割出來的.

        四、依托特殊值,提高解題速度

        特殊值和固定的結(jié)論對于解題大有裨益,所以我們在學(xué)習(xí)時應(yīng)當(dāng)留心去記憶他們.如lg2=0.3,lg5=0.7,e=2.7,1rad=57.30°,比如一條拋物線y2=2px(p>0),存在A、B兩點在拋物線上,且∠AOB=90°,則直線AB必過定點(2p,0).如果我們能將它們記住,在小題的解題中會又快又準(zhǔn).

        解因為a=21.2>20.2=b>1,c=2log52=log54∈(0,1),所以a>b>c.

        五、巧設(shè)方程,破解難題

        在解析幾何中為了解題簡捷,我認(rèn)為首先,應(yīng)當(dāng)熟記直線方程的各種形式及其使用范圍,并進(jìn)行恰當(dāng)選擇:

        1.點斜式:y-y0=k(x-x0)(k存在);

        2.斜截式:y=kx+b(k存在);

        5.一般式:Ax+By+C=0;

        6.直徑式:(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0(其中((x1,y1)、(x2、y2)是圓中直徑的端點);

        7.斜截式變式:x=ty+a(直線斜率不為0);

        以直線方程與圓錐曲線結(jié)合時為例,如果我們恰當(dāng)選擇了方程,如其中斜截式和斜截式的變式解題便可以由繁入簡.例如如果直線傾斜角不為0,但卻存在α=90°時,我們可以使用x=ty+a,這會使我們運算簡便,避免未分類討論的失誤.

        例4 圓x2+y2=4切線交y2=8x于A、B兩點,∠AOB=90°,求切點的橫坐標(biāo).

        因為∠AOB=90°,所以直線必過點(8,0).

        六、特值驗證,估算取勝

        在我們學(xué)習(xí)到了冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)后,我們經(jīng)常會遇到一些令人難以琢磨的無理數(shù),在做題過程中,有時我們無法判斷他們的具體數(shù)值,此時我們可以估算求解.還有的題求解十分困難,譬如2019年高考全國二卷中的12題,這時我們便可使用大膽代值的技巧.

        例5 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)=x·(x-1),若對任意x∈(-,m)都有則m的取值范圍為( ).

        解由題可知f(x+1)=2f(x),即將(0,1]的圖象向左移一個單位并將其值域縮小一半,將(0,1]的圖象向右移一個單位并將值域擴大到兩倍.示意圖如圖3.

        總而言之,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,要不斷地總結(jié)、歸納,將課本上的知識,老師傳授的解題方法技巧,同學(xué)們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗變?yōu)樽约旱臇|西,才能讓自己在解題能力上不斷進(jìn)步,從而加快解題速度,在考試中取得更好的成績.

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