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        學(xué)習(xí)使我進(jìn)步 創(chuàng)新使我快樂(lè)
        ——記一個(gè)導(dǎo)數(shù)填空題的解決與拓廣探究

        2019-12-19 02:42:46李嘉杭指導(dǎo)教師許銀伙鄒洪旺
        數(shù)理化解題研究 2019年34期
        關(guān)鍵詞:思路探究

        李嘉杭 指導(dǎo)教師:許銀伙 鄒洪旺

        (福建省泉州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三8班 362000)

        一、由一道填空題引發(fā)的思考

        上學(xué)期期末復(fù)習(xí)時(shí),老師在某個(gè)周末所分發(fā)的練習(xí)卷中有一個(gè)填空把關(guān)題, 讓我百思不得其解,其問(wèn)題是:設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,若對(duì)任意的x∈(e2,+),關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立,則λ的最小值為_(kāi)___. 第二天上午,我請(qǐng)教許銀伙老師,許老師對(duì)這個(gè)問(wèn)題認(rèn)真審閱,沉思良久,然后說(shuō):這個(gè)問(wèn)題的解答探索,可以借鑒他所發(fā)表的兩篇文章《投石問(wèn)路,巧解難題》和《解壓軸題之:特值代入,減少討論》里所含的思路,回家先自行學(xué)習(xí)和探究下,下次再一起交流.回到家里,經(jīng)過(guò)對(duì)文章的學(xué)習(xí),我明白了對(duì)參數(shù)范圍的探求,可以通過(guò)特殊值代入嘗試,壓縮討論范圍.在本題中,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=λeλx-lnx的圖象在定義域上是連續(xù)不斷的,既然要對(duì)任意的x∈(e2,+),關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立,則首先必須有f(e2)≥0,也就是λeλe2-2≥0,此時(shí)λ的最小值怎么求出來(lái)呢?經(jīng)過(guò)思考我看出式子λeλe2-2的值關(guān)于λ∈(0,+)單調(diào)遞增,因此只要尋找到使λeλe2-2=0的λ值就可以了.因?yàn)棣薳λe2-2=0可化為觀(guān)察得出它是所要求的結(jié)果嗎?我嘗試證明如下:

        帶著問(wèn)題我拜訪(fǎng)鄒老師.鄒老師詳細(xì)看了問(wèn)題解答,幫我分析說(shuō):從解題過(guò)程看,可以對(duì)條件x∈(e2,+)作一下改變,看看能不能構(gòu)造出新題來(lái)或者總結(jié)一般性的規(guī)律來(lái).

        依照這個(gè)思路,如果把條件x∈(e2,+)改成x∈(e,+)或者x∈(e3,+),情況會(huì)怎么樣呢?

        拓廣問(wèn)題1設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,若對(duì)任意的x∈(e,+),關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立,則λ的最小值為_(kāi)___.

        拓廣問(wèn)題2設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,若對(duì)任意的x∈(e3,+),關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立,則λ的最小值為_(kāi)___.

        觀(guān)察上面研究結(jié)果,我就想:由原來(lái)的問(wèn)題是否可以歸納出一般性的結(jié)論呢?由此嘗試得出下列兩個(gè)問(wèn)題.

        拓廣問(wèn)題3設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,k∈N*,若對(duì)任意的x∈(ek,+),關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立,則λ的最小值為_(kāi)___.

        拓廣問(wèn)題4設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,k≥1,若對(duì)任意的x∈(ek,+),關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立,則λ的最小值為_(kāi)___.

        拓廣問(wèn)題5設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,k≥1,a≥e,若對(duì)任意的x∈(ak,+),關(guān)于x的不等式λaλx-logax≥0恒成立,則λ的最小值為_(kāi)___.

        由以上解答過(guò)程看出,條件實(shí)數(shù)λ>0,k≥1,a≥e是個(gè)整體,似乎是不能改變的.果真不能變動(dòng)嗎?如果硬要變動(dòng),又應(yīng)該有什么結(jié)論?在鄒老師和許老師的協(xié)助下,我們又得出新的結(jié)論.

        限于篇幅,證明過(guò)程略.

        二、總結(jié)

        一個(gè)練習(xí)題,我從無(wú)從下手,經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)文章,悟出訣竅,然后在老師的指點(diǎn)下,得出一般性的結(jié)論,又繼續(xù)擴(kuò)展思路,把問(wèn)題進(jìn)一步改變,得出另外的結(jié)論.學(xué)習(xí)文章,請(qǐng)教老師,使我增加知識(shí),打開(kāi)思路;通過(guò)鉆研和探究,我又獲得創(chuàng)新性成果.通過(guò)這個(gè)事例,使我明白:學(xué)習(xí)是創(chuàng)新的基礎(chǔ),創(chuàng)新又促進(jìn)學(xué)習(xí),研究是學(xué)習(xí)與創(chuàng)新的橋梁.作為學(xué)生,作為新時(shí)代青年,我熱愛(ài)學(xué)習(xí),追求創(chuàng)新,對(duì)于學(xué)習(xí)和創(chuàng)新我永遠(yuǎn)在路上.

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