陳 靜，陳友軍

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

一、引言

鄧聚龍教授創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小數(shù)據(jù)”“貧信息”為研究對象，已被廣泛應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)、軍事、工程技術(shù)等領(lǐng)域[1-3]。GM(1，1)模型是灰色預(yù)測模型中的核心模型之一，被眾多學(xué)者廣泛研究與應(yīng)用，但GM(1，1)模型是在原始序列滿足等間距條件的基礎(chǔ)上建立的，對于現(xiàn)實(shí)中大量存在的非等間距的數(shù)據(jù)序列是不適用的，因此構(gòu)建非等間距的灰色預(yù)測模型具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。近幾年，學(xué)者們針對非等間距的GM(1，1)模型的應(yīng)用與研究有以下幾個方面：(1)數(shù)據(jù)變換[4]；(2)模型改進(jìn)[5-11]；(3)背景值優(yōu)化[7-9]；(4)初始條件優(yōu)化[7，12-14]；(5)模型的參數(shù)估計(jì)[15-16]。通過分析上述優(yōu)化模型中白化方程解的表達(dá)式累減還原后的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)關(guān)于原始數(shù)據(jù)序列的表達(dá)式具有齊次指數(shù)或近似非齊次指數(shù)的特征，而上述文獻(xiàn)中的實(shí)例表明了具有近似非齊次指數(shù)規(guī)律的非等間距模型具有更理想的模擬和預(yù)測效果。在工程技術(shù)領(lǐng)域，存在大量的近似非齊次指數(shù)特征的非等間距序列，因此，針對非等間距GM(1，1)模型中的數(shù)據(jù)序列滿足近似非齊次指數(shù)特征，學(xué)者們做了以下研究：Kong Xinhai在針對近似非齊次指數(shù)序列的DGM(1，1)模型基礎(chǔ)上根據(jù)對稱變換提出了基于凸序列的非等間距DGM(1，1)模型，并把基于凸序列的非等間距DGM(1，1)模型用于預(yù)測中國人均天然氣消費(fèi)[4]；姜愛平提出利用非齊次指數(shù)序列來擬合非等間距原始序列的灰色建模方法，并將建立的模型應(yīng)用于腐蝕體系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)模擬和大壩沉降觀測數(shù)據(jù)的預(yù)測中[8]；張鍇等構(gòu)造了一個用非齊次指數(shù)序列來擬合原始數(shù)據(jù)序列的非等間距灰色模型，以原始數(shù)據(jù)序列的觀測值與模擬值的相對誤差平方和最小為目標(biāo)，推導(dǎo)出新模型參數(shù)的最小二乘解及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式，改進(jìn)的這一模型被用于福雷斯研究鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化實(shí)驗(yàn)的模擬預(yù)測中[9]。

縱觀上述非等間距序列的灰色模型研究，盡管優(yōu)化的灰色模型在建模精度上有一定程度的提高，但建模效果仍然不盡如人意，主要原因有：(1)數(shù)據(jù)序列類型不適合模型構(gòu)建；(2)模型中的灰色微分方程和白化微分方程不匹配導(dǎo)致模型本身存在誤差；(3)模型需要對白化微分方程解的時(shí)間響應(yīng)式作累減還原后才能進(jìn)行模擬和預(yù)測；(4)對于非等間距模型中的一次累加生成序列的兩種定義形式，存在使用不同定義下的一次累減生成序列建立非等間距模型時(shí)產(chǎn)生計(jì)算誤差。

為了提高建模精度，綜合分析上述導(dǎo)致建模效果不理想的因素后，本文提出利用原始序列與其對應(yīng)的一次累減序列直接建立灰色微分方程和白化微分方程匹配且符合近似非齊次指數(shù)規(guī)律的非等間距IANGM(1，1，k)模型，結(jié)合最小二乘方法估計(jì)出模型的參數(shù)，然后通過模型的白化微分方程直接解出關(guān)于原始序列的時(shí)間響應(yīng)式，最后將估計(jì)的參數(shù)值代入時(shí)間響應(yīng)式后就能直接進(jìn)行模擬和預(yù)測。通過將提出的近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型分別用于高層建筑累計(jì)沉降觀測數(shù)據(jù)的模擬、預(yù)測和P.G福雷斯對鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，建模結(jié)果驗(yàn)證了近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型具有較高的模擬和預(yù)測精度，同時(shí)說明了本文模型在工程技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用使得非等間距的灰色預(yù)測模型得到進(jìn)一步拓展，本研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

二、非等間距NGM(1，1，k)模型的建模機(jī)理

針對近似非齊次指數(shù)特征的非等間距序列，崔杰提出非等間距NGM(1，1，k)模型[17]：

定義1設(shè)非負(fù)序列X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}，若間距Δki=ki-ki-1不為常量，則稱X(0)為非等間距序列。

x(0)(ki)+az(1)(ki)=kib，i=2，3，…，n

通過非等間距NGM(1，1，k)模型可以看出：(1)模型中的灰色微分方程與白化微分方程是不相匹配的，這會使模型本身存在誤差；(2)上面建模過程中所用一次累加序列是王鐘羨等人定義的一次累加生成序列[18]，若使用鄧聚龍教授給出的一次累加序列生成算法進(jìn)行建模，必然會因?yàn)閮煞N不同形式的一次累加算法產(chǎn)生不同的計(jì)算結(jié)果；(3)由模型的累減還原結(jié)果可知原始序列滿足非齊次指數(shù)形式，但實(shí)際應(yīng)用中存在大量近似非齊次指數(shù)形式的數(shù)據(jù)序列。

為了減少非等間距灰色模型建模過程中的模型誤差，使模型適用于現(xiàn)實(shí)中大量存在的近似非齊次指數(shù)序列，本文在上述非等間距灰色模型的建模機(jī)理基礎(chǔ)上，提出了基于原始數(shù)據(jù)序列與其對應(yīng)的一次累減序列建立灰色微分方程與白化微分方程相匹配的近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型。

三、非等間距IANGM(1，1，k)模型的構(gòu)建

(1)

其中z(0)(ti)為x(0)(t)在區(qū)間[ti-1，ti]上的背景值，且z(0)(ti)=[x(0)(ti)+x(0)(ti-1)]/2，模型(1)為離散的非等間距灰色模型。

證明：

(2)

將式(2)兩邊同時(shí)積分化簡得：

(3)

(4)

四、實(shí)證分析

(一)實(shí)例1

隨著中國城市建設(shè)的不斷發(fā)展，公眾對高層建筑的安全性要求也越來越高，對高層建筑的沉降觀測是保證建筑質(zhì)量不可或缺的工程設(shè)計(jì)。因此，對沉降觀測數(shù)據(jù)的分析成為了重要的環(huán)節(jié)?，F(xiàn)將符合近似非齊次指數(shù)特征的非等間距數(shù)據(jù)序列——某高層建筑累計(jì)沉降觀測數(shù)據(jù)(遞增序列，原始數(shù)據(jù)如表1所示)的前8個數(shù)據(jù)用于建模，后兩個數(shù)據(jù)用于預(yù)測。分別將張鍇、熊萍萍、奚雷等提出的優(yōu)化模型與本文模型進(jìn)行比較，學(xué)者們提出的模型為模型(1)、模型(2)、模型(3)[11，13-14]，比較結(jié)果如表2、表3所示。

表1 某高層建筑累計(jì)沉降觀測值

1.建模步驟

Step 1：由觀測值的前8個數(shù)據(jù)建模，后兩個做預(yù)測，由ki=[1 25 53 83 116 147 177 237]，觀測值序列x(0)(ki)=[9.28 10.71 11.31 11.64 12 12.23 13.05 13.16]，計(jì)算對應(yīng)的Δki=[24 28 30 33 31 30 60]，x(-1)(ki)Δki=[1.43 0.60 0.33 0.36 0.23 0.82 0.11]及緊鄰均值序列z(0)(ki)=[9.995 11.010 11.475 11.820 12.115 12.640 13.105]。

計(jì)算出參數(shù)a=0.043 5，b=0.000 4，c=0.483 6。

2.結(jié)果分析

由表2可知，四種模型對于某高層建筑累計(jì)沉降數(shù)據(jù)的模擬和預(yù)測誤差均在6%以內(nèi)，模型的建模精度較高，說明了非等間距模型在高層建筑沉降觀測中的適用性。模型(1)、模型(2)、模型(3)的平均相對誤差為：1.365 5%、1.969%、0.936 9%。本文模型是基于近似非齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)序列建立的，模型的模擬平均相對誤差為0.924 1%，模擬精度較熊萍萍等的模型明顯提高。

表2 四種模型的模擬值及相對誤差比較

注：表2中各模型的模擬預(yù)測數(shù)據(jù)來源于張鍇、熊萍萍、奚雷的建模結(jié)果[11，13-14]。下表同。

表3 四種模型的預(yù)測值及相對誤差比較

由表3可知，本文模型的一步預(yù)測相對誤差為0.147 0%，模型(1)～模型(3)一步預(yù)測的相對誤差分別為1.498 7%、0.659 3%、1.542 9%；本文模型兩步預(yù)測的相對誤差為3.658 5%，模型(1)、模型(2)、模型(3)兩步預(yù)測的相對誤差分別為5.397 1%、4.540 9%、3.729 2%，顯然本文模型的預(yù)測精度顯著優(yōu)于模型(1)、模型(2)、模型(3)，說明本文提出的近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型可應(yīng)用于實(shí)際問題的短期預(yù)測。本文提出的近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型的模擬精度和預(yù)測精度相比張鍇、熊萍萍、奚雷等提出的優(yōu)化模型具有更理想的建模效果，說明了模型在實(shí)際建模中的有效性[11，13-14]。

(二)實(shí)例2

鈦合金一直是航空航天工業(yè)的重要材料，因其具有強(qiáng)度高、耐腐蝕性好、耐高溫等優(yōu)點(diǎn)，鈦合金在石油、化工、生物科學(xué)等領(lǐng)域也得到了廣泛應(yīng)用。由于鈦合金在高溫下與其它材料的化學(xué)反應(yīng)性差，迫使其精煉、熔融和鑄造技術(shù)不同，這成為了鈦合金價(jià)格十分昂貴的主要原因，因此研究鈦合金在高溫狀態(tài)下的疲勞強(qiáng)度十分必要。P.G福雷斯發(fā)現(xiàn)鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(遞減序列，如表4所示)符合近似非齊次指數(shù)序列的非等間距灰色預(yù)測模型建模要求，現(xiàn)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用于本文提出的IANGM(1，1，k)模型中，并與胡大紅、姜愛平、張鍇、丁松提出的優(yōu)化模型進(jìn)行比較[7-10]，胡大紅等學(xué)者提出的模型分別為模型(4)、模型(5)、模型(6)、模型(7)，比較結(jié)果如表5所示。

表4 鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

1.建模步驟

2.結(jié)果分析

由表5中的結(jié)果可知，模型(4)模擬值的平均相對誤差為0.42%，模型(5)模擬值的平均相對誤差為0.33%，模型(6)模擬值的相對誤差為0.304 4%，模型(7)模擬值的平均相對誤差為0.35%，而本文提出的非等間距IANGM(1，1，k)模型的模擬值平均相對誤差為0.298 8%，建模精度更高，建模效果也更理想，體現(xiàn)了本文模型的實(shí)用性。

表5 五種模型的模擬精度比較結(jié)果

注：表中各模型的模擬值來源于胡大紅、姜愛平、張鍇、丁松等的建模結(jié)果[7-10]，為了比較方便，模擬值和相對誤差均保留兩位小數(shù)。

五、結(jié)束語

近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型，其灰色微分方程和白化微分方程在積分理論基礎(chǔ)上互相匹配，避免了傳統(tǒng)灰色模型因灰色微分方程和白化微分方程不匹配而產(chǎn)生誤差。模型的建立是基于原始序列與其對應(yīng)的一次累減生成序列，因此由白化微分方程解得的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式不需要累減還原過程，就能直接進(jìn)行模擬和預(yù)測，較傳統(tǒng)模型建模后還原簡化。通過將非等間距IANGM(1，1，k)模型用于工程技術(shù)領(lǐng)域中高層建筑累計(jì)沉降觀測數(shù)據(jù)的模擬和預(yù)測及P.G福雷斯研究鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的模擬中，并分別與有背景值優(yōu)化、初始條件優(yōu)化及模型改進(jìn)的優(yōu)化非等間距模型進(jìn)行比較，結(jié)果表明近似非齊次指數(shù)序列的非等間距IANGM(1，1，k)模型具有較高的模擬精度和預(yù)測精度，這也說明本文模型適用于非等間距的近似非齊次指數(shù)序列的短期預(yù)測，在拓寬灰色預(yù)測模型的適用范圍上具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。