王興忠

（寧波財經(jīng)學(xué)院，浙江寧波315175）

任何算符（可展開成位置或動量算符乘方之和）的期望值，都可以利用分布函數(shù)進(jìn)行計算。其中Husimi分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)較為簡單，對物理意義的詮釋比其他分布函數(shù)更具優(yōu)勢[1]。用一個壓縮的高斯波包（最小不確定波包）對Wigner分布函數(shù)進(jìn)行濾波可產(chǎn)生Husimi分布函數(shù)，此時，Wigner分布函數(shù)中的精細(xì)結(jié)構(gòu)被消除，但物理上有意義的信息不會缺失[2-4]。Husimi分布函數(shù)的這種特性在研究復(fù)雜系統(tǒng)的量子動力學(xué)時具有特殊重要性[5-6]。

在一般混合態(tài)中，物理量算符的平均值須考慮量子力學(xué)平均和統(tǒng)計物理平均[7]，即

其中，ρ稱為混合態(tài)的密度算符，

如取pi=δiα，即得純態(tài)

另一方面，又可利用分布函數(shù)F(q,p,t)來計算物理量算符的平均值[8]：

1 Husimi分布函數(shù)

真實的概率分布是非負(fù)的。用一個高斯波包對Wigner分布函數(shù)進(jìn)行濾波，可得到一個非負(fù)分布，此分布通常指的就是Husimi分布函數(shù)，因此，Husimi分布函數(shù)可定義為[7]

其中κ為任意正常數(shù)。若令κ等于頻率ω，則Husimi分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為反常順序的Q函數(shù)，用來描述諧振子或輻射場。當(dāng)然，從基本關(guān)系式（4）出發(fā)，也可以定義Husimi分布函數(shù)。

Husimi分布函數(shù)是密度算符在壓縮態(tài)表象的表現(xiàn)形式[9]，

其中，

與β對應(yīng)的算符

算符的本征態(tài)就是最小不確定壓縮態(tài)。當(dāng)κ=ω，壓縮態(tài)就變成通常的相干態(tài)。

在(q,p)相空間，式（6）可表示為

對于純態(tài)，式（9）變?yōu)?/p>

2 非對易相空間中物理量的表述

在非對易相空間中，函數(shù)的自變量是算子，可將算子作為希爾伯特空間的算符。對于由Heisenberg-Weyl代數(shù)描述的非對易相空間，有關(guān)系式[10]：

物理量在非對易相空間中可用2種方法來表述：（1）將非對易相空間中的函數(shù)看作普通函數(shù)，即其中的坐標(biāo)和動量可交換，將函數(shù)之間的乘法改為Moyal星乘法。（2）將坐標(biāo)和動量作為算子，即非對易相空間中的函數(shù)自變量是算子，函數(shù)本身就成了一個算子，此時，函數(shù)之間的乘積為普通乘積。

在非對易相空間中，物理量和物理方程都將發(fā)生變化[11]。利用Bopp變換[12-13]，可將非對易相空間中的算符參量用普通空間中的參量來表示，從而將普通空間中的力學(xué)量變換到非對易相空間中，使非對易相空間中的星乘法轉(zhuǎn)換為普通乘法。

3 普通空間中的輻射場

相干態(tài)、真空態(tài)和壓縮態(tài)均滿足Heisenberg不等式的下限，為最小不確定態(tài)。區(qū)別在于相干態(tài)與真空態(tài)各向不確定性均相等，其中真空態(tài)平均強度為零，相干態(tài)平均強度不為零。而壓縮態(tài)各向不確定性不同，被壓縮的方向不確定性減小，與其正交的方向不確定性放大[14-15]。

在相干態(tài)中的輻射場等效于最小不確定高斯波包，此波包的中心點在q0，寬度Δq=并隨平均動量p0在簡諧勢中運動。其波函數(shù)為

其Wigner分布函數(shù)為[16]

由式（5）對式（15）進(jìn)行高斯濾波，即得到高斯波包的Husimi分布函數(shù)[17]

對于輻射場，取m=1，κ=ω，有

在相干態(tài)中的輻射場，滿足最小不確定條件:

得

將式（16）或（18）與式（15）進(jìn)行比較，可知一個高斯分布的高斯濾波在q和p空間產(chǎn)生了都變寬的高斯分布。

對式（18）進(jìn)行進(jìn)一步推廣，得到三維普通空間中相干態(tài)輻射場的Husimi分布函數(shù)

4 非對易相空間中的相干態(tài)輻射場的Husimi分布函數(shù)

將普通對易空間中的三維相干態(tài)輻射場Husimi分布函數(shù)式（19）進(jìn)一步推廣到三維非對易相空間。以非對易相空間中的自變量為算子，即作代換

有

利用Bopp變換:

其中，θij和ij為完全反對稱矩陣，α為對稱矩陣。

取完全反對稱矩陣∈為

最后就得到非對易相空間中的三維相干態(tài)輻射場的Husimi分布函數(shù)用對易空間中的參數(shù)來表示時的表達(dá)式：

5 討 論

對照式（19）與（24）可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)典的對易空間中，由于坐標(biāo)與坐標(biāo)、動量與動量之間是對易的，所以三維相干態(tài)輻射場的Husimi分布函數(shù)的各個維度是獨立的，沒有出現(xiàn)各維度參數(shù)互相影響的情況。而在非對易相空間中，由于坐標(biāo)與坐標(biāo)、動量與動量之間不再對易，此時，各個維度的參數(shù)就有了聯(lián)系，而聯(lián)系的強度取決于輻射場的能量（θ值的大?。?，每個維度的情況與其他2個維度的參數(shù)有關(guān)，為3個維度參數(shù)的函數(shù)。

Husimi分布函數(shù)是Q函數(shù)的一般形式，具有非負(fù)性，適合描述系統(tǒng)的概率分布。此函數(shù)通過對Wigner分布函數(shù)進(jìn)行高斯濾波得到。通過高斯濾波，可除去原函數(shù)中的精細(xì)部分，不影響對物理性質(zhì)的描述。所以在復(fù)雜系統(tǒng)的表述中，Husimi分布函數(shù)具有一定優(yōu)勢。相干態(tài)輻射場是物理系統(tǒng)的基本組成單元，是研究復(fù)雜系統(tǒng)的基本出發(fā)點，所以，在研究非對易相空間中的物理現(xiàn)象時，對輻射場的研究至關(guān)重要的，而Husimi分布函數(shù)是其最基本的表述之一。因此，對非對易相空間中的相干態(tài)輻射場的Husimi分布函數(shù)進(jìn)行研究具有基礎(chǔ)性意義。