劉巾杰，許琪琪，扶山川，竇天恒

(西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，海南 文昌 571300)

0 引言

煤油作為目前液體火箭的主要推進劑之一，其溫度波動會引起物性參數(shù)變化，對火箭發(fā)動機的性能產(chǎn)生影響。煤油加注系統(tǒng)是大推力運載火箭動力系統(tǒng)的重要組成部分，其主要功能是連續(xù)、可靠、準確地向箭上貯箱加注煤油[1]。在加注過程中，受到環(huán)境溫度、加注管路、加注泵工作狀態(tài)等因素的影響，煤油溫度會發(fā)生顯著變化[2-3]。因此，需要對煤油初始溫度進行調(diào)整，控制煤油進箭溫度。

采用準確的溫升參數(shù)，建立科學的溫升模型，才能對煤油溫升過程進行精確模擬，進而根據(jù)最終溫度要求反算出最優(yōu)的煤油初始溫度[2]。目前靶場采用的溫升參數(shù)，皆為確定的經(jīng)驗參數(shù)。然而以往試驗任務與新型運載火箭靶場實際加注設(shè)備、停放環(huán)境等差別較大，若仍然使用經(jīng)驗參數(shù)進行計算，會致使計算溫度與煤油經(jīng)過加注溫升后的實際溫度之間存在不可忽略的相對誤差。因此有必要根據(jù)靶場實測溫度數(shù)據(jù)，對煤油加注溫升參數(shù)進行估計。目前，我國靶場進行液體火箭飛行試驗的次數(shù)極少，如何利用僅有的幾次實測數(shù)據(jù)樣本，設(shè)計更為有效的估計方法，對溫升參數(shù)進行估計，使煤油溫度更好地滿足發(fā)動機工作要求，對提升火箭發(fā)動機整體性能有著重要意義。

1 加注溫升模型

常溫煤油主要采用泵壓式加注[1]。加注溫升是指加注結(jié)束時火箭貯箱中的煤油溫度(不考慮溫度分層)與加注前庫區(qū)儲罐中煤油溫度之差，其計算模型為

Tj=Tk+f1(Ta-Tk)+f0+ε

(1)

式中：Tj為煤油加注結(jié)束時溫度；Tk為煤油庫房儲罐內(nèi)溫度；f1為加注溫變系數(shù)；Ta為煤油加注開始時刻、結(jié)束時刻環(huán)境溫度的平均值；f0為加注泵溫升；ε為測量誤差。

在實際煤油加注前，根據(jù)目標溫度，依照給定的加注模型，對初始加注溫度進行反算。而正式加注時，是給定初始加注溫度的情況下，煤油從儲罐加注到火箭貯箱的過程中，由于加注泵加壓、環(huán)境熱交換等多種原因，溫度自然升高，獲得加注最終溫度。事實上，加注溫升模型，就是對煤油在加注過程中溫度升高過程的一種模擬。對同一個溫升模型，從同一個初始溫度出發(fā)，其溫升參數(shù)越精確，解算出來的加注結(jié)束溫度就與實際的加注結(jié)束溫度最接近。圖1為A,B兩次任務加注溫度數(shù)據(jù)。其中，A任務數(shù)據(jù)最大相對誤差達到1.099 5 ℃，B任務數(shù)據(jù)最大相對誤差達到4.557 9 ℃，均超出了煤油溫度計算要求精度(要求為±1 ℃)。

圖1 兩次任務加注溫度數(shù)據(jù)Fig.1 Filling temperature of two tests

不妨假設(shè)式(1)所示的模型是正確而完備的，其中Tj，Tk，Ta可以通過實測獲得，可見造成計算結(jié)果相對誤差的根本在于使用的經(jīng)驗參數(shù)f1，f0不夠準確。

2 溫升模型的貝葉斯回歸分析

xi=Ta-Tk

令

Y=[y1,y2,…,ym]T

β=[f1,f0]T

將式(1)進一步寫成

Y=Xβ+ε

(2)

由式(2)可見，這是一個一元回歸模型[4]。

采用最小二乘求解，有[5]

(3)

小樣本條件下，貝葉斯法進行回歸分析是一種較好的估計方法[9-13]。貝葉斯方法通過將估計參數(shù)的先驗信息加入回歸分析中，能夠有效降低測量誤差對參數(shù)估計的影響，使小樣本條件下仍然可以得到參數(shù)的合理估計[14-15]。

不妨假設(shè)測量的隨機誤差ε是一個高斯白噪聲，式(2)中有：E(ε)=0，Cov(ε)=σ2Im。并且有先驗分布：β～N(E(β),σ2I2)，其中E(β)=μ，(μ為已知超參數(shù))。在煤油加注溫升模型中，μ為給定的經(jīng)驗參數(shù)：加注溫變系數(shù)f1和加注泵溫升f0，記為μ=[f1,f0]T。

在式(2)所示的回歸模型中參數(shù)的最小風險貝葉斯線性無偏估計(簡稱MRBLUE)定義如下[8]：

其中

(4)

b=(Im-AX)μ

(5)

計算貝葉斯風險

E[A(Y-Xμ)-(β-μ)]TD[A(Y-Xμ)-(β-μ)]=

Etr{D[A(Y-Xμ)-(β-μ)][A(Y-Xμ)-(β-μ)]T}=

σ2tr{DA(Im+XXT)AT+DAX-DXTAT}

(P+BCBT)-1=P-1-P-1B(BTP-1B+C-1)-1BTP-1

即

A=(XXT+Im)-1XT

(6)

所以β的最小風險貝葉斯線性無偏估計為

(7)

對上式進行進一步梳理，有

(8)

(9)

3 加注溫升參數(shù)估計

圖2 基于A試驗任務數(shù)據(jù)的加注溫度對比Fig.2 Comparison of filling temperature based on test A

3種方法測得的參數(shù)中，由貝葉斯回歸參數(shù)得到的加注結(jié)束溫度與實測溫度最為相近。進一步計算3種方法得到的加注結(jié)束溫度與實測溫度的誤差，如表1所示。

表1 基于A樣本數(shù)據(jù)的誤差對比

經(jīng)過貝葉斯回歸估計參數(shù)后得到的加注結(jié)束溫度與實測溫度最為吻合，相對經(jīng)驗參數(shù)的結(jié)果改善了53.89%。最小二乘結(jié)果與經(jīng)驗參數(shù)結(jié)果相似，但最小二乘方法受測量誤差影響，估算得到的加注泵溫升f0=-6.579 9<0，與實際情況不符，可見小樣本條件下最小二乘方法并不適用。

將從此次加注過程中計算得到的貝葉斯回歸參數(shù)用于該型火箭飛行試驗任務B的加注過程，使用煤油初始加注溫度計算得到加注結(jié)束溫度，聯(lián)合使用實驗測定參數(shù)算出的結(jié)果與實測溫度進行比較，結(jié)果如圖3所示。

圖3 基于B試驗任務數(shù)據(jù)的加注溫度對比Fig.3 Comparison of filling temperature based on test B

進一步計算三種方法得到的加注結(jié)束溫度與實測溫度的誤差，如表2所示。經(jīng)過貝葉斯估計參數(shù)后得到的加注結(jié)束溫度與實測溫度最為吻合，相對經(jīng)驗參數(shù)的結(jié)果改善了65.12%。相對于A樣本數(shù)據(jù)，B樣本數(shù)據(jù)體現(xiàn)出來的實驗測定結(jié)果誤差更小，是因為本文中使用的A任務給定的經(jīng)驗參數(shù)，其本身就是針對B樣本中擬合不好的問題進行修正過的結(jié)果，所以采用此參數(shù)計算A任務數(shù)據(jù)效果要優(yōu)于B任務數(shù)據(jù)。同時，可以看到，直接根據(jù)靶場小樣本數(shù)據(jù)進行貝葉斯回歸修正后的參數(shù)，其擬合結(jié)果在A、B數(shù)據(jù)中皆優(yōu)于經(jīng)驗參數(shù)的擬合結(jié)果。

表2 基于B樣本數(shù)據(jù)的誤差對比

上述結(jié)果說明利用歷史數(shù)據(jù)進行貝葉斯回歸得到的參數(shù)與實驗測定參數(shù)相比，能更好地擬合加注過程的煤油溫升。據(jù)此驗證了貝葉斯回歸進行參數(shù)估計，改進未來煤油加注溫度計算這一方法的可行性和科學性。

值得注意的是，貝葉斯回歸不僅在小樣本情況下實現(xiàn)科學合理的參數(shù)估計，它同樣可以在樣本量增加的情況下，提高自身的估計精度。圖4所示為使用A，B兩次樣本數(shù)據(jù)進行估計的參數(shù)，與只使用A一次樣本數(shù)據(jù)進行估計的參數(shù)，對A加注結(jié)束溫度進行擬合解算的效果對比。

圖4 樣本數(shù)量對參數(shù)估計效果的影響Fig.4 The influence of sample size to estimation result

使用兩次數(shù)據(jù)樣本估計的參數(shù)，解算出的加注結(jié)束溫度與實際測量溫度的均方誤差為4.056 6，與一次數(shù)據(jù)樣本估計的參數(shù)得到的均方誤差5.937 5(見表1)相比，有了進一步改善。

4 結(jié)語

為適應未來火箭飛行試驗更大推力、更高精度的要求[15]，精準加注是靶場必須解決的技術(shù)問題。在最快的時間內(nèi)估計出最精確的參數(shù)，建立最精確的推進劑溫升模型，是其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。利用僅有的幾次飛行試驗數(shù)據(jù)，本文采用貝葉斯回歸分析方法，很好地解決了靶場小樣本下煤油加注溫升參數(shù)估計問題。相比于目前使用的經(jīng)驗參數(shù)和經(jīng)典的最小二乘方法，貝葉斯回歸能夠綜合經(jīng)驗參數(shù)先驗信息和靶場實地實測數(shù)據(jù)進行科學估計，有效抑制測量誤差的影響，顯著提高估計精度。隨著液體火箭飛行試驗任務的逐漸增多，可用的數(shù)據(jù)樣本容量相應增大，貝葉斯回歸分析的參數(shù)估計精度會得到進一步提升，為精準加注提供更為堅實的理論基礎(chǔ)。