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        超快激光加熱薄膜的格子玻爾茲曼模擬

        2019-12-18 08:34:40毛煜東呂慧麗孫浩森陳明九于明志
        關(guān)鍵詞:傅立葉熱傳導(dǎo)無量

        毛煜東呂慧麗孫浩森陳明九于明志

        (山東建筑大學(xué)熱能工程學(xué)院,山東濟(jì)南250101)

        0 引言

        近年來,激光加熱技術(shù)已展現(xiàn)出強(qiáng)大優(yōu)勢(shì),并廣泛應(yīng)用于激光焊接、激光鉆孔、激光熔覆、激光照明、三維印刷技術(shù)以及熔化動(dòng)力學(xué)等諸多領(lǐng)域[1-5]。由于該技術(shù)具有高效率、高功率密度、最小的附帶材料損壞、較低的燒蝕閾值等優(yōu)點(diǎn)而受到了越來越多的關(guān)注。目前該技術(shù)在材料的熱加工過程中具有很好的應(yīng)用,如激光清洗、激光圖案化以及超音速激光沉積等[6-8]。現(xiàn)代微加工技術(shù)要求微結(jié)構(gòu)的高精度加工生產(chǎn)能力,以及材料熱處理中加熱時(shí)間迅速和位置的高精度控制,探索微結(jié)構(gòu)的傳熱過程是十分重要的。1822年,傅立葉經(jīng)實(shí)驗(yàn)研究導(dǎo)熱過程并對(duì)其歸納總結(jié),得到了描述宏觀導(dǎo)熱過程的基本定律—傅立葉導(dǎo)熱定律,并逐步地應(yīng)用到了機(jī)械、冶金、建筑以及電氣等領(lǐng)域[9]。然而,傅立葉定律暗含熱以擴(kuò)散的方式傳播且熱傳播速度無限大,即如果對(duì)導(dǎo)熱體內(nèi)某一點(diǎn)施加熱擾動(dòng),則其他部分會(huì)同時(shí)感受到此熱擾動(dòng)帶來的溫度變化,即傅立葉定律忽略了熱傳導(dǎo)過程中溫度梯度和熱流矢量之間的弛豫時(shí)間。

        玻爾茲曼輸運(yùn)方程BTE(Boltzmann Transport Equation)用于解決微尺度系統(tǒng)中的熱輸運(yùn)問題[10]是十分有效的手段。BTE是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中用以描述不平衡態(tài)分布函數(shù)演化規(guī)律的方程,但BTE中含有的碰撞算子項(xiàng)是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性微分積分,極難以求解。格子玻爾茲曼方法 LBM(Lattice Boltzmann Method)是BTE常用的數(shù)值解法之一,LBM依據(jù)非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)論,在解決邊界,實(shí)現(xiàn)編程和處理復(fù)雜的多尺度耦合問題方面具有明顯的優(yōu)勢(shì),是求解BTE的有效手段,受到了廣泛的關(guān)注[11-12]。基于LBM而來的格子BGK模型LBGK(Lattice Bhatnagar-Gross-Krook)簡(jiǎn)化了BTE中的碰撞算子項(xiàng),用弛豫時(shí)間近似表達(dá)了不同粒子間的碰撞達(dá)到的復(fù)雜機(jī)制,并且不考慮外力的影響。由于計(jì)算效率高,能精準(zhǔn)地推導(dǎo)出納維—斯托克斯方程N(yùn)-S(Navier-Stokes equations),常用于研究不可壓縮流體和微尺度的導(dǎo)熱問題,也是LBM主要的研究模型。

        近年來,LBM廣泛應(yīng)于描述微納米尺度傳熱的問題中。Escobar等[13]應(yīng)用LBM研究了一維半導(dǎo)體材料中的瞬態(tài)多空間尺度和時(shí)間尺度的導(dǎo)熱過程,與基于擴(kuò)散-彈道輸運(yùn)方程、傅立葉導(dǎo)熱方程和CV模型的結(jié)果做了對(duì)比,并對(duì)主要的導(dǎo)熱模型的使用范圍做了簡(jiǎn)要總結(jié)。華鈺超等[14]用熱質(zhì)理論的觀點(diǎn)分析了彈道擴(kuò)散導(dǎo)熱機(jī)理,基于聲子玻爾茲曼方程推導(dǎo)了修正邊界條件模型,數(shù)值求解了修正的普適導(dǎo)熱定律,并與蒙特卡羅模擬進(jìn)行對(duì)比。張珂等[15]基于LBM和雙曲兩步模型結(jié)建立了一個(gè)LBM兩步方程,并利用此方法模擬研究了納米薄膜在超快激光照射過程中的熱響應(yīng)特性,分析了照射過程中薄膜內(nèi)溫度隨時(shí)間及空間的變化規(guī)律,探討了激光強(qiáng)度以及薄膜厚度對(duì)金屬薄膜熱響應(yīng)的影響。文章應(yīng)用LBM方法對(duì)超快速激光加熱硅薄膜的一維導(dǎo)熱問題進(jìn)行研究,來描述這種時(shí)間超短,尺寸超小的超快速納米傳熱問題,展示薄膜內(nèi)部能量密度分布情況,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

        1 理論分析

        LBGK模型的表達(dá)式由方程(1)表示為

        式中:f(r,ξ,t)為分子速度分布函數(shù);r為空間位置矢量;ξ為分子速度矢量;t為時(shí)間參數(shù);feq為熱力學(xué)平衡態(tài)時(shí)的速度分布函數(shù);v為熱載子的群速度;τ0為松弛時(shí)間(也叫弛豫時(shí)間)是粒子發(fā)生2次碰撞的時(shí)間間隔,表征粒子碰撞后達(dá)到平衡態(tài)的快慢程度。

        1.1 LBM方法驗(yàn)證

        傅立葉導(dǎo)熱定律可以很好地描述宏觀問題,文章采用LBM方法解決微觀—宏觀問題,應(yīng)先驗(yàn)證LBM在解決宏觀熱傳導(dǎo)問題時(shí)的有效性。建立一個(gè)簡(jiǎn)單的薄膜導(dǎo)熱問題,即在薄膜左側(cè)施加一個(gè)無量綱數(shù)為1的熱擾動(dòng),其控制方程由式(2)表示為

        式中:Ui為能量密度;x為位置參數(shù);U0i為平衡能量密度;vi為聲子群速度;τ為聲子弛豫時(shí)間。

        考慮常溫初始條件,將式(3)~(6)所示的無量綱變換為

        式中:x?為無量綱位置參數(shù);L為薄膜的特征長(zhǎng)度;Cv為硅的體積熱容;t?為無量綱時(shí)間參數(shù);U?為無量綱能量密度參數(shù);U1?為向x軸正方向傳輸?shù)臒o量綱能量密度;為向x軸負(fù)方向傳輸?shù)臒o量綱能量密度;T0為初始時(shí)刻溫度;E1為初始溫度T0下的能量。

        在做與式(3)~(6)相同的無量綱變換后,其邊界條件由式(7)表示為

        1.2 應(yīng)用LBM模擬超快激光加熱薄膜問題

        建立基于LBM的一維熱傳導(dǎo)模型來模擬超快激光在硅薄膜中的能量分布。在硅薄膜中,聲子是主要的能量載體?;贐TE,考慮超快激光加熱薄膜問題的一維導(dǎo)熱模型由式(8)表示為

        式中:i=1,2;S為能量吸收率,可由式(9)[16]表示為

        式中:J為激光能量發(fā)射密度;R為表面反射率;tp為激光脈沖的持續(xù)時(shí)間;δ為激光穿透深度。

        使用LBM離散式求解方程(8),忽略高階項(xiàng),并做與式(3)~(6)相同的無量綱變換后,則主導(dǎo)方程可由式(10)和(11)表示為

        式中:W=Δt?=Δx?/Kn;ξ=L/δ;γ=τ/tp;W、ξ、γ均為中間參數(shù),無特殊含義Kn=l/L為克努森數(shù);l為聲子平均自由程。

        根據(jù)傅立葉定律,將上述的超快激光加熱問題由經(jīng)典熱傳導(dǎo)方程式進(jìn)行描述,由式(12)表示為

        式中:kF為硅的導(dǎo)熱系數(shù)。

        基于相同邊界條件,可將函數(shù)的解展開,由式(13)~(15)表示為

        1.3 應(yīng)用LBM模擬雙側(cè)超快激光加熱薄膜問題

        利用相同的超快激光脈沖同時(shí)從硅薄膜的兩側(cè)表面進(jìn)行加熱,并設(shè)置與單側(cè)加熱相同的鏡面反射邊界條件和常溫初始條件。此時(shí)描述該問題的BTE控制方程由式(16)~(18)表示為

        將式(17)和(18)代入式(16)中,可將控制方程變?yōu)槭?19)形式

        利用LBM對(duì)式(19)進(jìn)行離散求解,方法與式(10)和(11)相同,不再贅述。

        2 數(shù)值結(jié)果與分析

        為便于分析,超快脈沖激光加熱的硅膜采用以下參數(shù):體積熱容Cv為1.66×106J/(m3·K),硅的聲子平均自由程l為41 nm,聲子弛豫時(shí)間τ為6.53 ps,持續(xù)時(shí)間tp為 0.65 ps,激光通量J為312 J/m2,穿透的光學(xué)深度δ為15.3 nm,以及激光的表面反射率R為0.93。

        2.1 驗(yàn)證LBM在微觀—宏觀問題的有效性

        分析式(2)~(7)描述的薄膜導(dǎo)熱問題,分別利用LBM和經(jīng)典傅里葉熱傳導(dǎo)理論對(duì)該問題進(jìn)行求解和模擬,觀察薄膜內(nèi)部的能量傳遞現(xiàn)象,如圖1所示。可以看出,通過LBM獲得的結(jié)果清楚地表現(xiàn)出擴(kuò)散行為,并顯示出良好的擴(kuò)散性能,這與傅立葉導(dǎo)熱理論所給出的結(jié)果一致。因此,LBM可用于模擬宏觀擴(kuò)散狀態(tài)下的熱傳導(dǎo)。

        圖1 利用LBM和傅立葉定律得到的Kn=0.001的無量綱能量密度分布圖

        改變克努森數(shù),將熱傳導(dǎo)過程引入到過渡區(qū),并觀察LBM和傅立葉定律得到的結(jié)果之間的差異,如圖2所示。當(dāng)克努森數(shù)為1時(shí),此時(shí)薄膜內(nèi)熱傳遞處于過渡區(qū),基于LBM和傅立葉定律的解決方案表現(xiàn)出截然不同的行為。可以看出,當(dāng)無量綱時(shí)間為0.1時(shí),通過LBM模擬獲得的能量密度分布具有顯著的特征:能量密度在受加熱側(cè)(左側(cè))邊界有明顯的跳躍;隨著時(shí)間的流逝,由LBM獲得的熱能以熱波的形式在薄膜內(nèi)部傳輸;當(dāng)t?達(dá)到1時(shí),能量密度又在右側(cè)邊界發(fā)生了的躍變。然而,傳統(tǒng)的傅立葉定律卻不能捕捉這一現(xiàn)象,由于其內(nèi)含熱傳遞速度無限大的假設(shè),在過渡區(qū),薄膜內(nèi)任何一處都可以立即感受到受加熱側(cè)施加的熱擾動(dòng)。

        圖2 利用LBM和傅立葉定律得到的Kn=1的無量綱能量密度分布圖

        2.2 單側(cè)激光加熱納米薄膜導(dǎo)熱問題

        分析式(8)和(9)所描述的利用超快激光加熱厚度為82nm薄膜的導(dǎo)熱問題。通過傅立葉定律和LBM方法得到的無量綱能量密度分布如圖3所示。從圖3(a)中可以看出,基于傅立葉定律的熱傳導(dǎo)是一個(gè)擴(kuò)散過程。由于強(qiáng)大的激光脈沖加熱,短時(shí)間內(nèi)能量密度就在薄膜的左側(cè)區(qū)域迅速向右側(cè)擴(kuò)展。隨著時(shí)間的流逝,能量密度逐漸降低,并最終在薄膜內(nèi)趨于穩(wěn)定。

        圖3 激光加熱薄膜單側(cè)時(shí)薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

        然而,對(duì)于相同的加熱問題,LBM卻得到了不同的結(jié)果,如圖3(b)所示。在初始階段,同傅立葉定律獲得的結(jié)果相比,受到脈沖激光擾動(dòng)的左邊界附近產(chǎn)生了更高的能量密度。該無量綱密度峰值達(dá)到了1.18,較傅立葉結(jié)果的0.8相比,超出約47.5%。這表明,傳統(tǒng)的傅立葉熱定律在描述這此類微納米尺度下的超快加熱問題時(shí)會(huì)嚴(yán)重低估熱載子傳輸?shù)淖畲竽芰棵芏取?/p>

        隨著時(shí)間的流逝,薄膜內(nèi)部能量是以波的形式從左端傳遞到右端,且隨著能量波的傳遞,其能量密度峰值逐漸下降,這一現(xiàn)象并未出現(xiàn)在傅立葉定律得出的結(jié)果中。LBM的結(jié)果還發(fā)現(xiàn),在鏡面反射的邊界條件下,能量密度會(huì)經(jīng)過一個(gè)較傅立葉結(jié)果更為漫長(zhǎng)的時(shí)間后才能在薄膜內(nèi)趨于穩(wěn)定。

        2.3 雙側(cè)激光加熱納米薄膜導(dǎo)熱問題

        分析式(16)~(19)所述利用相同的超快激光脈沖同時(shí)從硅薄膜的兩側(cè)表面進(jìn)行加熱的問題。在克努森數(shù)為0.5時(shí),利用傅里葉定律和LBM方法得到的薄膜內(nèi)部的能量密度分布情況如圖4所示。如同預(yù)期的那樣,傅立葉的結(jié)果顯示了熱傳導(dǎo)的擴(kuò)散行為,也并未發(fā)現(xiàn)能量波狀傳遞的行為,如圖4(a)所示。初始時(shí)刻,左右兩側(cè)的無量綱能量密度峰值均為約0.8,同單側(cè)激光加熱時(shí)相同,經(jīng)過無量綱時(shí)間2后,薄膜內(nèi)部能量密度達(dá)到穩(wěn)定,此時(shí)無量綱能量密度值為0.5。

        由圖4(b)可以看到,在初始時(shí)刻受激光脈沖擾動(dòng)的兩個(gè)邊界附近的區(qū)域能量密度的快速升高(即溫度快速提升);隨后,從左右邊界發(fā)起的2組熱波從不同方向同時(shí)向硅膜的中間區(qū)域傳輸,在此期間,能量密度峰值逐漸降低。當(dāng)無量綱時(shí)間達(dá)到1時(shí),2組熱波峰在薄膜的中間區(qū)域匯合,相互的碰撞作用導(dǎo)致了薄膜中心區(qū)域的能量密度顯著升高。此時(shí),在中心點(diǎn)處的能量密度的峰值為1.095,約為圖3(b)所示的單側(cè)激光加熱情況下所預(yù)測(cè)的峰值的兩倍,這一現(xiàn)象不僅是傅立葉結(jié)果無法捕捉的,而且在單側(cè)激光加熱時(shí)也不會(huì)出現(xiàn)。最后,當(dāng)無量綱時(shí)間達(dá)到16時(shí),薄膜內(nèi)能量密度趨于穩(wěn)定;相比于傅立葉結(jié)果,在鏡面反射的邊界條件下,趨于穩(wěn)定所需時(shí)間要更為漫長(zhǎng)。

        圖4 激光加熱薄膜兩側(cè)時(shí)薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

        3 結(jié)論

        文章應(yīng)用LBM方法和傅立葉定律對(duì)超快激光加熱硅薄膜的一維導(dǎo)熱問題進(jìn)行研究,分析了薄膜內(nèi)部能量密度分布情況。主要結(jié)論如下:

        (1)發(fā)現(xiàn)在克努森數(shù)較小的連續(xù)介質(zhì)區(qū),LBM得到的結(jié)果符合傅立葉定律給出的結(jié)果;然而在系統(tǒng)特征尺度和分子平均自由程相當(dāng)?shù)倪^渡區(qū),LBM方法可以捕獲到能量以波動(dòng)的方式進(jìn)行傳輸?shù)臒岵ㄌ匦?,但傳統(tǒng)的傅立葉定律無法得到。

        (2)利用LBM數(shù)值模擬激光加熱硅薄膜的一維導(dǎo)熱問題,發(fā)現(xiàn)克努森數(shù)對(duì)薄膜內(nèi)無量綱能量密度的分布具有重要的影響。

        (3)如果利用超快激光分別在薄膜的兩側(cè)進(jìn)行加熱,薄膜內(nèi)部的能量密度分布情況將有所改變,尤其是當(dāng)沿相反方向傳播的兩個(gè)熱波交匯在一起時(shí),會(huì)發(fā)生碰撞并使得能量密度有顯著的提升,這些現(xiàn)象均在傅立葉定律結(jié)果中不能呈現(xiàn)。此外,研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的熱傳導(dǎo)理論可能嚴(yán)重低估了過渡區(qū)聲子輸運(yùn)的最大能量密度。

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