葉立軍，高 敏

一、問題的提出

數(shù)學(xué)課程標準是規(guī)定數(shù)學(xué)課程性質(zhì)、目標和內(nèi)容的指導(dǎo)性文件。［1］通過對課程標準的研究，可以讓我們了解課程改革的趨勢、對課程內(nèi)容有更深入的認識、在教學(xué)中把握和滲透課程性質(zhì)與理念。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標(2017年版)》)對課程內(nèi)容進行了大量的調(diào)整，但“幾何”仍是較為重要的部分。基于空間向量與立體幾何、平面解析幾何的內(nèi)容，我們對我國兩版課程標準從宏觀和微觀兩個角度進行比較，探尋“幾何”內(nèi)容的異同點，幫助數(shù)學(xué)教師更好地理解新課程標準、將課程改革的新理念應(yīng)用到實踐中去。

二、研究對象

以我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》(以下簡稱《課標(實驗版)》)和《課標(2017年版)》為研究對象。采用文獻研究法、比較法，從宏觀與微觀兩個角度，對兩版課程標準“空間向量與立體幾何、平面解析幾何”內(nèi)容進行定性與定量分析。

三、宏觀比較

（一）內(nèi)容框架比較

通過對兩版課程標準中“空間向量與立體幾何、平面解析幾何”的內(nèi)容框架進行比較，結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 《課標(2017年版)》

圖2 《課標(實驗版)》

由圖1、圖2可知，《課標(2017年版)》增加了“學(xué)業(yè)要求”內(nèi)容，刪減了“教學(xué)案例”。“學(xué)業(yè)要求”內(nèi)容的增加能夠幫助教師在教學(xué)中更好地把握知識與技能要求，同時為教學(xué)評價與考試命題提供更具體有效的標準，解決課標與高考不銜接的問題；刪減的“教學(xué)案例”則用《課標(2017年版)》附錄中的“教學(xué)與評價案例”代替，雖然新課程標準中案例的設(shè)置不再與相應(yīng)的知識內(nèi)容要求一一對應(yīng)，但通過選取典型案例，并對每個案例進行目的、情境、分析三方面的說明，幫助教師更好地理解課程標準在教學(xué)、評價與考試命題上的要求。兩版課程標準最大的變化在于通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，《課標(實驗版)》關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，而《課標(2017年版)》從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意，重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，希望通過核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察、數(shù)學(xué)思維思考、數(shù)學(xué)語言表達。

（二）課程編排體系比較

我們對兩版課標中的空間向量與立體幾何、平面解析幾何內(nèi)容從課程編排體系進行比較，如表1所示。

對表1進行橫向比較：《課標(2017年版)》重組課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，將空間向量、立體幾何與平面解析幾何梳理到“幾何與代數(shù)”主線中，并將內(nèi)容分布于選擇性必修課程，而《課標(實驗版)》則分散在必修、選修課程中。對于平面解析幾何的形成和發(fā)展這一數(shù)學(xué)文化，《課標(實驗版)》將其置于系列3中，但由于高考壓力，很少落實在教學(xué)中，相反，新課程標準將其編入平面解析幾何單元并提出了具體的學(xué)習(xí)要求，突出對數(shù)學(xué)文化的重視；此外，新課程標準通過調(diào)整空間直角坐標系的內(nèi)容順序，使得空間向量的學(xué)習(xí)更具連貫性，在重視“形”與向量聯(lián)系的同時也凸顯向量在銜接代數(shù)與幾何中的重要作用，有利于把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

縱向比較：《課標(實驗版)》中圓錐曲線與方程和直線與方程等內(nèi)容分離，將原本同一領(lǐng)域的內(nèi)容分散處理，雖然打破了知識的界限，但也割裂了知識體系、忽視了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯關(guān)系，不利于對知識的整體把握；《課標(2017年版)》將其編入平面解析幾何中，與同一知識整合在一起，突出代數(shù)與幾何知識的互補作用，表明新課程標準將知識按照“主線——主題——核心內(nèi)容”進行編排，把同一體系中的數(shù)學(xué)知識從以往的模塊中抽離出來，按照學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律進行整合統(tǒng)一［2］，不再完全以“螺旋式上升思路”安排課程內(nèi)容，更關(guān)注數(shù)學(xué)的邏輯體系、課程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

表1.兩版課標課程編排體系比較

四、微觀比較

（一）課程廣度的比較

課程廣度反映了課程內(nèi)容涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度。［3］我們選取課程標準中的三維目標對課程廣度進行刻畫，由于情感態(tài)度價值觀難以量化，因此我們只對知識與技能、過程與方法目標進行統(tǒng)計。［4］

在統(tǒng)計具體知識點時，由于平面解析幾何內(nèi)容在《課標(實驗版)》中分散于必修與選修1、選修2課程中，對其分文理科統(tǒng)計。在統(tǒng)計時為了盡可能地客觀，我們選擇最小的知識點，如課標中“根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)”，其中知識技能目標有直線方程的三種形式3個，過程與方法目標有探索直線方程的三種形式3個。依據(jù)這一統(tǒng)計方式，得到表2。

表2.兩版課標課程廣度比較

從表2可知，兩版課程標準的課程廣度在空間向量與立體幾何上相差甚大，主要由于新課標在知識技能目標數(shù)值上的大幅度增加，通過對知識點的比較后發(fā)現(xiàn)是由于新課標增加了“能用向量語言描述直線和平面”等內(nèi)容，并將空間直角坐標系納入了空間向量與立體幾何單元；而在平面解析幾何課程中差異不大，但知識技能目標仍處于較高的數(shù)值水平，且課程廣度也更偏向于原來文科的要求。究其原因，是因為在文理不分科的改革下［5］，原本屬于選修系列2(理科)的“空間向量與立體幾何”課程以及文理分科的“平面解析幾何課程”變成所有計劃通過參加高考進入高等學(xué)校學(xué)習(xí)的學(xué)生都需要學(xué)習(xí)的選擇性必修課程?！墩n標(2017年版)》綜合了文理科數(shù)學(xué)的內(nèi)容差異［5］，課程更注重面向全體學(xué)生，以便為所有學(xué)生的未來發(fā)展奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，突出高中數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)性的同時盡可能地讓所有學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育。

（二）課程深度的比較

根據(jù)表3行為動詞水平劃分與賦值，借鑒李淑文的課程內(nèi)容深度公式［6］，在此基礎(chǔ)上增加過程與方法目標水平，利用公式6),其中 di(i=1,2,3,4,5,6)依次表示“了解”、“理解”、“掌握”三個知識技能目標水平以及“經(jīng)歷”、“體會”、“探索”三個過程與方法目標水平(依次賦值為1,2,3；1,2,3)；ni表示第di個水平對應(yīng)的知識點數(shù)，n表示知識點數(shù)量總和，即課程廣度，計算課程標準中“空間向量與立體幾何、平面解析幾何”的課程深度，得到表4與表5。

表3.行為動詞水平劃分與賦值

由表4可知，在空間向量與立體幾何的課程深度上，兩版課標分別為1.95與2.08，即《課標(實驗版)》的深度略大。通過具體計算發(fā)現(xiàn)，《課標(實驗版)》中“了解”、“理解”水平的知識點百分比分別為12.0%與56.0%，新課程標準為15.4%和56.4%，數(shù)值略高，但在“應(yīng)用”水平上，卻要低近10個百分點，表明《課標(2017年版)》以對知識的理解為重；在過程與方法目標水平上，除“體驗”水平百分比在新課標中有所下降外，其余兩個水平都增加了。

由表5可知，《課標(2017年版)》在平面解析幾何上的課程深度介于《課標(實驗版)》文理科之間，且在“了解”水平上有較大提升；在過程與方法目標水平上，新課程標準中“探索”水平所占百分比最大，而“體驗”水平下降了近4個百分點。

表4.空間向量與立體幾何課程深度比較

表5.平面解析幾何課程深度比較

比較結(jié)果表明《課標(2017年版)》對知識的要求較原來的理科簡單，降低課程深度的同時對知識更多地以“了解、知道”為重；此外，重視對知識的探索，以此關(guān)注學(xué)生的思考過程、凸顯思維方式，在學(xué)習(xí)知識技能的同時也強調(diào)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)認識的深化，更好地落實“四基”。

（三）認知層次的比較

認知層次分布比較能在課程深度比較的基礎(chǔ)上，進一步揭示課程標準中知識深度的特征。［7］根據(jù)表6認知層次界定行為動詞參照表，對兩部分內(nèi)容的認知層次進行統(tǒng)計分析，得到表7。

表6.認知層次界定行為動詞參照表

表7.內(nèi)容的認知層次統(tǒng)計

根據(jù)表7的數(shù)據(jù)得到條形圖3與圖4。

圖3 空間向量與立體幾何認知層次比較

圖4 平面解析幾何認知層次比較

在圖3與圖4中，從課程標準版本和認知層次兩個維度，能看出兩版課程標準在幾何內(nèi)容上存在一定的差異。從認知層次來看，知識內(nèi)容在空間向量與立體幾何各認知層次分布不均，而在平面解析幾何中分布較為均勻；從課標的版本來看，兩版課程標準在理解層次上知識點分布最多，其次是掌握層次，分布最少的為活用層次，但與《課標(實驗版)》只在平面解析幾何內(nèi)容有活用層次不同，新課程標準在兩部分內(nèi)容上都涉及活用層次，認知層次較為完整，這表明《課標(2017年版)》不僅重視對知識的理解，還重視學(xué)生通過知識的梳理、思索與靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行分析、解決問題的能力，通過問題的解決，提高實踐能力、落實“四能”的同時也促進學(xué)生的全面發(fā)展。

五、啟示

（一）加強課標與考試命題的聯(lián)系，發(fā)展核心素養(yǎng)

素養(yǎng)是能力的提升，體現(xiàn)人的品質(zhì)和修養(yǎng)。《課標(2017年版)》重視通過對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，使學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達世界，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展提供保證；同時通過學(xué)業(yè)要求加強課標與教學(xué)、評價和考試命題之間的聯(lián)系?；谛抡n標的理念，教師可以設(shè)計合適的教學(xué)方案并開展基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在對幾何內(nèi)容“悟”的過程中發(fā)展直觀想象等素養(yǎng)；實施基于核心素養(yǎng)的考試評價，在自制試題時聯(lián)系課標中的命題建議，解決課標與考試脫節(jié)問題。

（二）重視數(shù)學(xué)文化的教育價值，整合數(shù)學(xué)知識

《課標(實驗版)》將課程按模塊進行排列；新課標調(diào)整了部分知識的順序，將同一體系的知識按學(xué)生的認知規(guī)律、學(xué)科自身的特征進行整合統(tǒng)一，優(yōu)化數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)。此外《課標(2017年版)》將數(shù)學(xué)文化引入教學(xué)中，讓知識返璞歸真的同時提升學(xué)生的認知情感。因此在設(shè)計平面解析幾何教學(xué)時，教師可以考慮掙脫教材的束縛，把方程、曲線等一些具有邏輯聯(lián)系的知識進行整合，深入挖掘、探究幾何元素間的關(guān)系，拓寬用代數(shù)方法解決幾何問題的視野，并嘗試把數(shù)學(xué)文化融入課堂，這樣在關(guān)注知識技能的同時還能思考數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與思想，實現(xiàn)文化育人。

（三）落實課程的基礎(chǔ)性，促進人的發(fā)展

《課標(2017年版)》不再沿用文理分科形式，而是貫徹“文理不分科”的原則，綜合文理科數(shù)學(xué)內(nèi)容差異、突出數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性，讓參加高考的學(xué)生都能掌握數(shù)學(xué)中最基本的部分，為學(xué)生適應(yīng)未來生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展提供必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因此教師在教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容，讓學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)中起基石作用的概念、技能、思想有所理解，在運用知識與技能的過程中，逐步實現(xiàn)由點到面、由面到體的突破，讓學(xué)生都能達到共同基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上再考慮學(xué)生不同的發(fā)展需求，促進直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

（四）創(chuàng)設(shè)情境，落實“四基”與“四能”

《課標(2017年版)》降低課程深度，重視對知識的探索和運用，從而發(fā)展學(xué)生的基本思想和基本活動經(jīng)驗；通過對知識的靈活運用，發(fā)展學(xué)生分析與解決問題的能力，落實“四基”與“四能”。為了更好地實現(xiàn)這一目標，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提供豐富的數(shù)學(xué)活動，為數(shù)學(xué)基本思想的感悟和基本活動經(jīng)驗的積累創(chuàng)造條件。［8］因此，幾何教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過折紙活動，發(fā)展化立體為具象的能力，并從情境中發(fā)現(xiàn)、提出問題，例如平面的夾角、距離大小等，進而構(gòu)建幾何模型，分析、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。