二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考熱點(diǎn)、難點(diǎn).本文以今年江蘇各地中考試題為例，談?wù)勚锌贾卸魏瘮?shù)的出現(xiàn)形式以及如何透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)，從而游刃有余地解決這類(lèi)問(wèn)題.

例1 （2013·江蘇泰州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn).

（1） 求證：△ADP∽△ABQ；

（2） 若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；

（3） 略.

【評(píng)析】本題雖然是一道相似形問(wèn)題，但第（2）問(wèn)的求最小值實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的最值.第（1）問(wèn)中，由對(duì)應(yīng)兩角相等，易證兩個(gè)三角形相似. 第（2）問(wèn)中，由BM2=y，容易聯(lián)想到直角三角形與勾股定理，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，構(gòu)造直角三角形BMN. 由最值容易聯(lián)想到二次函數(shù)，利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（二次函數(shù)），然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.一般二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取到最值，但在實(shí)際應(yīng)用中要注意自變量取值范圍的限定.

【答案】 （1） 略.

（2） 解：∵△ADP∽△ABQ，∴■=■，∴QB=2x.

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，

∵M(jìn)N⊥QC，CD⊥QC，即MN∥CD，又點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，

∴點(diǎn)N為QC中點(diǎn)，MN為中位線，

∴MN=■PC=10-■x，BN=QB-QN=QB-■QC=2x-（x+5）=x-5.

在Rt△BMN中：y=BM2=MN2+BN2=■x2-20x+125=■（x-8）2+45（0

∴當(dāng)x=8即DP=8時(shí)，y取得最小值為45，∴BM的最小值為■=3■.

例2 （2013·江蘇南京） 已知二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）.

（1） 求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2） 設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D.

①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值；

②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值.

【評(píng)析】本題仍是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的考查. 第（1）問(wèn)中，由根的判別式Δ>0，易知該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).第（2）問(wèn)①中，配成頂點(diǎn)式后可得C點(diǎn)坐標(biāo)為■，-■；由方程a（x-m）2-a（x-m）=0，解得x1=m，x2=m+1（此處，函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題），可得AB=1. 把AB作為△ABC的底邊，就可求得a的值. ②中，把AB作為△ABC和△ABD底邊，在求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，am2+am）后，就可求得m的值.

【答案】（1） 證明：y=a（x-m）2-a（x-m）=ax2-（2am+a）x+am2+am.

當(dāng)a≠0時(shí)，[-（2am+a）]2-4a（am2+am）=a2>0；

（2） 解：①∵y=a（x-m）2-a（x-m）=x-■2-■.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為■，-■.

當(dāng)y=0時(shí)，a（x-m）2-a（x-m）=0，解得x1=m，x2=m+1，∴AB=1.

∴■×1×-■=1，∴a=-8或a=8.

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，am2+am）.

又∵■×1×-■=■×1×am2+am.

∴m=-■或m=■或m=■.

例4 （2013·江蘇蘇州）如圖，已知拋物線y=■x2+bx+c（b、c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）.

（1） b=______，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2） 連接BC，過(guò)點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線y=■x2+bx+c交于點(diǎn)E. 點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；

（3） 在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有______個(gè).

【評(píng)析】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、一元二次方程（含字母）、二元二次方程組等.

【答案】第（1）問(wèn)中b的值，可由點(diǎn)A（-1，0）代入二次函數(shù)解析式中求得b=■+c，B的橫坐標(biāo)可由方程■x2+c+■x+c=0解得x=-2c（此處利用因式分解法求解）.

第（2）問(wèn)中拋物線的解析式關(guān)鍵是要求出c的值.

∵BC：y=■x+c. AE∥BC，

∴AE：y=■x+m.

∵A（-1，0），∴y=■x+■.

又∵y=■x2+c+■x+c，

∴E（1-2c，1-c）.

∵CD：y=-■x+c.

又∵C，D，E三點(diǎn)在同一直線上.

∴1-c=-■（1-2c）+c，∴c=-2.

∴y=■x2-■x-2.

第（3）問(wèn)中①分P點(diǎn)在C點(diǎn)左邊和右邊兩種情況：

當(dāng)-1