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        “勾股定理”錯題筆記

        2019-12-17 08:12:03龔輝
        初中生世界·八年級 2019年11期
        關(guān)鍵詞:直角勾股定理邊長

        龔輝

        勾股定理的重要性不言而喻,同學(xué)們在應(yīng)用它解題時,常常會出現(xiàn)一些錯誤,我們要及時整理、歸納,認(rèn)真做好錯題筆記。龔老師整理了一些經(jīng)典案例,希望同學(xué)們以此為戒,在錯題本上進(jìn)行完善和補充,并在復(fù)習(xí)和練習(xí)時避免犯類似的錯誤。

        一、忽略勾股定理的前提

        例1 如圖1,四邊形ABCD中,AB=3,AD=4,BC=13,CD=12,∠A=90°,求四邊形ABCD的面積。

        圖1

        【錯解】連接BD。

        在Rt△ABD中,由勾股定理得:BD=5。

        ∴S△BCD=[12]×5×12=30。

        ∴S四邊形ABCD=30+6=36。

        【剖析】沒有說明△BCD是直角三角形,不能直接運用面積公式。本題要運用勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形。這道題告訴我們,在解決問題時要有嚴(yán)密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

        【正解】連接BD。

        在Rt△ABD中,由勾股定理得:BD=5。

        ∵BD2+CD2=25+144=169=BC2,

        ∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形。

        ∴S△BCD=[12]×5×12=30。

        ∴S四邊形ABCD=30+6=36。

        二、生搬硬套,思維定式

        例2 在Rt△ABC中,a=6,b=8,若∠B=90°,求第三邊c的長。

        【錯解】由勾股定理,得c2=a2+b2=36+64=100,∴c=10。

        【剖析】我們在記憶勾股定理的公式時通常記作a2+b2=c2,很容易先入為主地默認(rèn)為∠C=90°,因此犯了上述錯誤。同學(xué)們一定要認(rèn)真審題,分清直角、斜邊。

        【正解】∵∠B=90°,∴b2=a2+c2。

        ∴c2=b2-a2=64-36=28,∴c=[27]。

        三、已知條件指代不清要分類討論

        例3 已知Rt△ABC的兩條邊長為3和4,求第三條邊長。

        【錯解】在Rt△ABC中,由勾股定理得:第三邊c=5。

        【剖析】本題的錯誤由兩個原因?qū)е?。一是思維定式,由“勾三股四弦五”直接想到答案為5;二是題中的條件是兩邊為3和4,并未指明是哪兩條邊,有可能出現(xiàn)兩種情況:兩條邊都是直角邊,一條斜邊一條直角邊。因此,本題需要分兩種情況進(jìn)行分類討論。

        【正解】①若3和4都是直角邊,由勾股定理得:c=[32+42]=5;

        ②若3是直角邊,4是斜邊,則c=[42-32]=[7]。

        綜上所述,第三條邊長為5或[7]。

        四、設(shè)錯未知數(shù)誤入死胡同

        例4 如圖2,已知△ABC中,AD⊥BC,AB=4,BC=8,AC=6,求AD的長。

        圖2

        【錯解】設(shè)AD=x。

        在Rt△ABD和Rt△ACD中,分別由勾股定理得:

        BD=[16-x2],CD=[36-x2]。

        ∵BC=8,∴[16-x2]+[36-x2]=8。

        部分同學(xué)感到困惑:根式方程無法解決……

        【剖析】利用勾股定理列方程解決問題時,由于勾股定理的特點,邊長通常會帶根號,因此要避免出現(xiàn)帶根式的方程。本題可以通過設(shè)間接未知數(shù)BD=x或CD=x解決。

        【正解】設(shè)BD=x,則CD=8-x。

        在Rt△ABD和Rt△ACD中,分別由勾股定理得:AD2=16-x2,AD2=36-(8-x)2。

        ∴16-x2=36-(8-x)2。解之得:x=[114]。

        在Rt△ABD中,由勾股定理得AD的長為[3154]。

        同學(xué)們在運用勾股定理解決問題時容易犯的錯誤不僅僅是上述這些,大家一定要仔細(xì)審題,明確題目條件的特點,深入挖掘隱含條件,力求簡便、巧妙地解答。同時,我們要關(guān)注和整理解題中常見的錯誤,包括自己的或同學(xué)的錯誤,對典型的錯誤進(jìn)行分類歸納。我們要透過錯誤發(fā)現(xiàn)問題,并利用錯誤資源,認(rèn)真反思、制訂策略并積極地開展有針對性的訓(xùn)練,從錯題中積累經(jīng)驗、完善思維、提高能力。

        (作者單位:江蘇省太倉市沙溪第一中學(xué))

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