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        基于最小作用量原理對經(jīng)典力學(xué)規(guī)律的導(dǎo)出

        2019-12-17 06:06:26宿非凡
        物理通報 2019年12期
        關(guān)鍵詞:參考系質(zhì)點慣性

        宿非凡

        (中國科學(xué)院物理研究所 北京 100080)

        1 廣義坐標(biāo)

        從純力學(xué)角度來說,加速度與坐標(biāo)、速度的關(guān)系式稱為運動方程.對于函數(shù)q(t)來說,這個關(guān)系式是二階微分方程,原則上,將其積分就可以求出函數(shù)q(t)繼而確定系統(tǒng)的運動軌跡.

        2 最小作用量原理與運動方程

        則最小作用量原理表達為

        δS=0

        應(yīng)當(dāng)說明,最小作用量原理是力學(xué)的最基本原理,很多實驗和實際過程都證明了最小作用量原理的正確性.在這里將其視為基本原理,承認(rèn)其正確性而不去證明.

        這樣一來

        由變分定義可知δt=0,故有

        為了統(tǒng)一變分變量以得到更明顯的物理意義,對上式作分部積分有

        由于?q為變分虛位移,故在t1與t2時刻?q(t1)與?q(t2)相同為零且δq為任意值,故有

        故根據(jù)最小作用原理,得到了力學(xué)中普適的運動方程

        這個方程就是Lagrange方程.

        從微分方程理論可知,若要完全確定力學(xué)系統(tǒng)的運動,必須知道描述系統(tǒng)在某個給定時刻狀態(tài)的初始條件.而且,如果兩個Lagrange量相互獨立則系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以寫為

        L=LA+LB

        Lagrange函數(shù)的這種性質(zhì)反映出:系統(tǒng)中每一個獨立部分的運動方程不可能包含與另一部分相關(guān)的量.從運動的角度而言,這就是各個分運動之間的獨立性.

        至此,我們已經(jīng)討論了力學(xué)最基本系統(tǒng)及導(dǎo)出了系統(tǒng)的運動方程——Lagrange運動方程并對其進行了一些討論,得到了分運動的獨立性.

        3 Lagrange方程與Newton定律

        在研究力學(xué)體系時必須選擇參考系.相對于任意參考系,空間可以是非均勻且各向異性的.但是這樣一來,時間和空間的這些性質(zhì)會使力學(xué)現(xiàn)象的描述變得極其復(fù)雜.(注:這里已經(jīng)考慮了廣義相對論情況)

        然而,在一般的情況下我們可以找到足夠“精確”的近似,即找到某種參考系,空間相對它是均勻且各向同性的,時間對它也是均勻的.這樣的參考系被稱之為慣性參考系.

        下面從最簡單的情況入手,先研究自由質(zhì)點在慣性系中的運動情況,再研究有相互作用的封閉系統(tǒng)的運動,最后研究開放系的運動.

        3.1 自由質(zhì)點在慣性系中的運動

        在慣性參考系中,對于自由運動的質(zhì)點時間和空間的均勻性意味著這個函數(shù)不顯含質(zhì)點的矢徑和時間t,即L只是速度的函數(shù).由于空間各向同性,Lagrange函數(shù)也不會為速度矢量的方向,只能是速度大小的函數(shù),也就是說L是v2n的函數(shù),即

        L=L(v2n)

        不失一般性取n=1,即

        L=L(v2)

        Lagrange方程為

        且L不依賴于空間量r,所以

        可見,在慣性參考系中任何自由運動的質(zhì)點其運動的速度矢量不變.這就是Newton第一運動定律.

        3.2 Galileo相對性原理與質(zhì)量

        實驗證明:不僅在慣性參考系中滿足上述討論,在任意其他相對于這個慣性參考系勻速運動的參考系中仍然成立.這個結(jié)論稱為Galileo相對性原理.

        這里需指明,Galileo相對性原理只在慣性參考系中成立.這是由經(jīng)典的均勻時空觀所決定的,在非慣性參考系Galileo相對性原理不再成立;在時空不均勻的慣性參考系中Galileo相對性原理也不再成立.

        下面討論兩個不同的慣性參考系的Lagrange函數(shù)之間的關(guān)系.基于絕對時空觀Galileo變換為:在兩個不同的參考系K和K′,其中K′相對K以速度v運動,同一個質(zhì)點相對這兩個參考系的坐標(biāo)和滿足關(guān)系式

        在以下的所有部分中,若未特殊說明均在慣性參考系中討論.(簡稱參考系)

        進一步計算這兩個參考系的作用量

        ?S′=S+f(q(t2),t2)-f(q(t1),t1)

        可見,兩個任意的參考系的作用量僅差一個附加項.而在確定邊界條件之下該附加項的變分將很快消失,即有

        δS′=δS

        即兩參考系的運動方程形式相同,符合Galileo相對性原理.由于上述討論基于絕對時空假設(shè),根據(jù)Galileo變換必然可以導(dǎo)出Galileo相對性原理.可見在絕對時空假設(shè)之下,整個討論自洽.

        進一步考慮,由前面的討論知道自由質(zhì)點在參考系中Lagrange函數(shù)只可能是v2的函數(shù),即L=L(v2).若兩個參考系相對運動速度為ε(遠小于質(zhì)點的速度v),由Galileo變換可知

        L′=L(v′2)=L(v2+2v·ε+ε2)

        將其展開并取一階近似有

        其中m為常數(shù),這個常數(shù)就是體系的質(zhì)量.

        由于相互獨立則系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可加性可知多系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以表示為

        3.3 Newton第二運動定律

        進一步地,在質(zhì)點間有相互作用但不受外部作用的封閉體系之中,為描述質(zhì)點之間的相互作用,可以在自由質(zhì)點系的Lagrange函數(shù)中增加坐標(biāo)的某一函數(shù)以描述相互作用.將這個函數(shù)記為-U,則

        先來討論這時的Lagrange函數(shù),其中勢能項僅依賴于系統(tǒng)中所有質(zhì)點在同一時刻的位置,這就是說其中任意一個質(zhì)點的位置改變立即會影響到所有其他質(zhì)點,即相互作用可以瞬時傳遞.

        這在經(jīng)典力學(xué)中并不稀奇,它是絕對時空觀假設(shè)的必然結(jié)果.如果相互作用不是瞬時傳遞的,即其以一個有限的速度傳遞,那么總可以找到兩個參考系使得存在相互作用的兩個物體的運動規(guī)律在同一時刻的不同參考系里不同.這明顯違背了Galileo相對性原理,故相互作用必然瞬時傳遞.

        由于Lagrange函數(shù)為

        可見其在時間上是各向同性的,即用-t來替換t并不會改變其運動方程.也就是說如果在參考系中某種運動是可能的,則其逆運動也是可能的,也可以說遵循經(jīng)典力學(xué)定律的所有運動都是可逆的.

        在討論清楚此時Lagrange函數(shù)的性質(zhì)后,來求封閉系統(tǒng)的運動方程.

        因為運動方程

        所以將其代入Lagrange方程之中,可以得到

        此即Newton第二定律,是相互作用質(zhì)點力學(xué)的基礎(chǔ),大家比較熟悉這里就不再贅言.Newton方程中的

        稱為作用在第a個質(zhì)點上的力.其與U一樣,只

        3.4 Newton第三定律

        很自然地就可以將上述討論推廣到非封閉質(zhì)點系.由于總可以得到一個更大的封閉系統(tǒng),所以,所有上面的討論均成立.

        運動方程仍可為

        設(shè)有兩個相互獨立的封閉系A(chǔ)與B,其二者的Lagrange量分別為

        若選取一個更大的系統(tǒng),使之包含A與B兩個子系統(tǒng).則A和B可視為開放系統(tǒng)而C為封閉系統(tǒng).

        這樣一來,由之前的討論可知

        LC=LA+LB

        所以有

        U(ra)=-U(rb)

        進一步有

        可見兩體系的相互作用力大小相等、方向相反、性質(zhì)相同、同時產(chǎn)生同時消失且作用于不同的系統(tǒng)之上.此即Newton第三定律.

        4 結(jié)束語

        至此,從力學(xué)最基本的最小作用量原理導(dǎo)出最一般的力學(xué)體系所遵守的規(guī)律.可見,所有的經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論都可以基于最小作用量原理和均勻時空假設(shè)得到.整個推導(dǎo)過程有益于掌握更本質(zhì)的物理內(nèi)涵,明確基本物理意義且對研究更加基本的物理學(xué)有一定的啟發(fā)作用.

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