潘繼良，郭奇峰，任奮華，蔡美峰

(1.北京科技大學 土木與資源工程學院，北京 100083; 2.北京科技大學 城市與地下空間工程北京市重點實驗室，北京 100083; 3.北京科技大學 金屬礦山高效開采與安全教育部重點實驗室，北京 100083)

對深埋巷道圍巖進行理想彈塑性分析，主要包括強度準則的選取、平衡方程、幾何方程、本構(gòu)方程的建立以及邊界條件的確定，其中強度準則、平衡方程和本構(gòu)方程一直都是研究的重點。常用的巖石強度準則主要包括:Mohr-Coulomb(MC)準則[1],Drucker-Prager(DP)準則[2]、統(tǒng)一強度理論(UST)[3]和Mogi-Coulomb(MO)準則[4]。其中除MC準則之外，其余3種準則均可反映中間主應力效應的影響。

趙春風等[5]針對5種常用的可考慮中主應力效應的破壞準則，分別建立了各準則內(nèi)摩擦角與中主應力系數(shù)之間的關(guān)系，探討了各準則對中主應力的反映能力及其適用性;張常光等[6]建立了包含8種巖土常用強度準則的統(tǒng)一線性方程，探討了圍巖彈塑性分析的強度理論效應與塑性區(qū)位移的參數(shù)影響特性;潘繼良等[7]歸納總結(jié)了4種常用巖石強度準則的平面應變統(tǒng)一屈服方程，引入強度參數(shù)軟化模量和擴容系數(shù)，推導了考慮應變軟化和擴容的巷道圍巖應力場和位移場的封閉解析解;高召寧等[8]、范浩等[9]分別基于Mohr-Coulomb準則和統(tǒng)一強度理論，綜合考慮圍巖剪脹、中間主應力效應等影響因素，對受滲流影響的圓形巷道圍巖應力場和位移場解析解進行了理論推導。可見，建立一個統(tǒng)一形式的屈服方程，對不同強度準則的計算結(jié)果進行對比分析，了解不同強度準則間的差異性和適用性，然后結(jié)合具體的工程背景選取合適的強度準則，具有重要的理論意義和工程應用價值。

對于巖土類材料，在剪切應力的作用下，由于巖土體內(nèi)部顆粒的相互錯動，往往會出現(xiàn)非線性的體積膨脹現(xiàn)象，稱之為巖土類材料的剪脹特性[10-11]，這也使巖土材料的塑性變形與金屬類材料具有本質(zhì)的區(qū)別。大量研究表明[12-14]，巖土類材料塑性變形不遵守關(guān)聯(lián)流動法則，傳統(tǒng)塑性位勢理論并不適應巖土材料的變形機制。

筆者在前人研究的基礎上，首先對4種巖石材料常用強度準則進行歸納總結(jié)，得到平面應變條件下包含中主應力系數(shù)b(MC準則除外)的統(tǒng)一屈服方程;然后針對受地下水滲流影響的深埋巷道圍巖，建立理想彈塑性模型，結(jié)合塑性位勢理論和線性非關(guān)聯(lián)流動法則得到與塑性勢函數(shù)有關(guān)的剪脹系數(shù)表達式，同時考慮圍巖塑性區(qū)內(nèi)彈性應變不同的處理方式，推導了滲流作用下的深埋圓形巷道應力場和位移場解析解;新的解析解不僅可以靈活匹配不同的巖石強度準則，而且還能反映孔隙水壓力、中間主應力效應和圍巖剪脹特性;最后通過具體算例對不同強度準則的理論計算結(jié)果進行了對比，并對各影響因素進行了分析。

1 常用強度準則統(tǒng)一方程

巖土類材料的強度參數(shù)可通過黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ來反映。定義壓應力為正，拉應力為負，假設主應力次序為σ1=σθ≥σ2=σz≥σ3=σr，其中σθ,σz,σr分別為巷道圍巖切向、軸向和徑向應力。

在巖土工程中，常采用中主應力系數(shù)b來反映3個主應力之間的關(guān)系[15]:

(1)

在假定的主應力次序下，0≤b≤1。

1.1 Mohr-Coulomb準則

大量的試驗研究及工程實踐表明，MC準則能夠較好地描述巖土材料的屈服和破壞特性，表達式[1]為

σθ=MMCσr+NMC

(2)

1.2 Drucker-Prager系列準則

由于MC準則在三維應力空間的屈服面為不規(guī)則的六棱錐體表面，為了消除屈服面在錐頂和棱線上的奇異性，Drucker和Prager提出了內(nèi)切于MC準則六棱錐的光滑圓錐形屈服面。根據(jù)DP準則與MC準則在π平面上的相對位置關(guān)系，又衍生出了DP系列準則[2,16]，表達式為

(3)

式中，參數(shù)αd和kd與黏聚力和內(nèi)摩擦角有關(guān)，根據(jù)與MC準則的匹配關(guān)系，對應的表達式見表1;I1為應力張量第1不變量，I1=σθ+σz+σr;J2為應力偏張量第2不變量，J2=[(σθ-σz)2+(σz-σr)2+(σr-σθ)2]/6。

表1 DP系列準則計算參數(shù)[16]

Table 1 Calculated parameters of different DP yield criteria[16]

系列編號準則種類αdkdDP1M-C外角點外接圓2sinφ3(3-sinφ)6ccosφ3(3-sinφ)DP2M-C內(nèi)角點外接圓2sinφ3(3+sinφ)6ccosφ3(3+sinφ)DP3M-C內(nèi)切圓sinφ33+sin2φ3ccosφ33+sin2φDP4M-C等面積圓23sinφ23π(9-sin2φ)63ccosφ23π(9-sin2φ)DP5M-C匹配DP圓sinφ3ccosφ

將式(1)代入式(3)，整理得到平面應變條件下包含中主應力系數(shù)b的DP系列準則表達式

σθ=MDPσr+NDP

(4)

研究表明[17]，DP系列準則的參數(shù)αd為具有區(qū)間性的，若使中主應力系數(shù)b在[0，1]范圍內(nèi)任意取值，則αd需滿足αd<0.288;當0.288≤αd<0.577時，只對部分中主應力系數(shù)b成立;當αd≥0.577時，DP系列準則不成立。

1.3 統(tǒng)一強度理論

俞茂宏提出的統(tǒng)一強度理論(Unified Strength Theory)不僅具有統(tǒng)一形式的數(shù)學表達式，而且可靈活適用于各種材料，表達式[3]為

(5)

式中，m為反映中間主應力影響的權(quán)系數(shù)，0≤m≤1。當m=0時，退化為MC強度準則;m=1時，為雙剪強度準則。

將式(1)代入式(5)，求得平面應變狀態(tài)下含中主應力系數(shù)b的統(tǒng)一強度理論表達式

σθ=MUSTσr+NUST

(6)

其中，當b≤(1+sinφ)/2時，有

當b≥(1+sinφ)/2時，有

1.4 Mogi-Coulomb準則

Mogi通過大量不同巖性的巖石真三軸試驗，以Mises準則為基礎，提出了可考慮中間主應力影響的Mogi經(jīng)驗強度準則通式[18]:

τoct=f(σm，2)

(7)

其中，σm,2為最大和最小主應力的平均值，σm,2=(σθ+σr)/2;τoct=[(σθ-σz)2+(σz-σr)2+(σr-σθ)2]1/2/3，為八面體剪應力。

Al-Ajim等[19]將線性Mogi強度準則和Coulomb強度準則相結(jié)合，建立了以巖石抗剪強度參數(shù)表示的MO破壞準則[4,19]，表達式為

τoct=αmσm,2+km

(8)

將式(1)代入式(8)，求得平面應變狀態(tài)下含中主應力系數(shù)b的MO準則表達式

σθ=MMOσr+NMO

(9)

1.5 統(tǒng)一形式屈服方程

綜合以上4種常用的巖石強度準則，得到平面應變狀態(tài)下統(tǒng)一形式的屈服方程

f=σθ-Mσr-N=0

(10)

對于不同的強度準則，取不同參數(shù)M，N即可。從是否能夠體現(xiàn)中間主應力效應的角度，將強度準則分為2類:一是不能夠體現(xiàn)中間主應力效應的MC準則；二是能夠體現(xiàn)中間主應力效應的DP系列準則、統(tǒng)一強度理論(UST)和MO準則。

2 滲流場計算

假設巷道無限長，圍巖為各向同性的均質(zhì)巖體，滲流水為單相不可壓縮的牛頓液體，巖體內(nèi)各向滲透系數(shù)相同，距離巷道足夠遠處水頭為p0，巷道壁處水頭為0，巷道支護力為pi，巷道半徑小于內(nèi)外水頭差，流動屬層流且符合Darcy定律，滲流方向以徑向為主，忽略計算區(qū)域內(nèi)水自重及巖土體自重的影響，將該問題簡化為軸對稱恒定滲流問題，建立的計算模型如圖1所示。

圖1 圓形巷道計算模型

滲流連續(xù)微分方程[8]:

(11)

其中，pw(r)為半徑r處的孔隙水壓力，MPa。若取pw(r)=0，即為不考慮滲流時的工況，屬于本文的一個特例。

選取與原始滲流場外水壓力p0相同的半徑R0處為計算區(qū)域，計算區(qū)域外保持原始地應力場狀態(tài)，初始地應力為σ0，巷道內(nèi)半徑為r0，塑性區(qū)半徑為Rs，確定滲流場內(nèi)外邊界條件:

pw(r)r=r0=0，pw(r)r=R0=p0

(12)

求得孔隙水壓力沿巷道徑向分布規(guī)律為

(13)

令常數(shù)s=p0/(lnr0/R0)，式(13)簡化為

(14)

3 巷道圍巖彈塑性統(tǒng)一解

3.1 基本方程

考慮到巖石與松散體介質(zhì)具有不同的孔隙特性，引入巖石等效孔隙水壓力系數(shù)η對太沙基有效應力原理進行修正[20]。滲透水壓力為體積力，不考慮滲透體積力中的浮力部分，建立的考慮滲流影響的平衡微分方程為

(15)

幾何方程:

(16)

3.2 剪脹特性

研究表明[21]，巖土材料塑性變形不遵守關(guān)聯(lián)流動法則，巖土材料所具有的剪脹特性，使得傳統(tǒng)塑性位勢理論并不適應巖土材料的變形機制。剪脹系數(shù)應該由塑性位勢理論和非關(guān)聯(lián)流動法則得到，但遺憾的是，目前多數(shù)研究都是直接代入與MC準則形式相同的塑性勢函數(shù)下的剪脹系數(shù)計算公式χ=(1+sinψ)/(1-sinψ)，這是不合理的。

李學豐等[22]在連續(xù)介質(zhì)力學理論框架下，把應變分配法則和材料特性聯(lián)系起來，建立了與巖土材料特性相關(guān)的塑性位勢理論，表達式為

(17)

本文假定巷道圍巖體各向同性，因此上式可以簡化為

(18)

假設塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)具有相同的形式，將屈服函數(shù)中的內(nèi)摩擦角φ替換為剪脹角ψ(小于等于內(nèi)摩擦角φ)，雖然沒有物理意義，但能夠反映材料的剪脹特性，定義塑性勢函數(shù)g為

g=σθ-M*σr-N*

(19)

將式(19)代入式(18)求得塑性應變增量

(20)

基于線性非關(guān)聯(lián)流動法則，塑性應變增量滿足關(guān)系式

(21)

聯(lián)立式(20)和式(21)求得剪脹系數(shù)表達式

(22)

當ψ=φ時，非關(guān)聯(lián)流動法則轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)聯(lián)流動法則;當ψ=0°時，材料不發(fā)生剪脹。

3.3 彈性區(qū)分析

根據(jù)廣義胡克定律，平面應變問題本構(gòu)方程為

(23)

將幾何方程(16)和本構(gòu)方程(23)代入平衡微分方程(15)中，求得

(24)

對式(24)的積分進行求解，得到彈性區(qū)總位移表達式

(25)

將式(25)代入幾何方程(16)，求得彈性區(qū)總應變表達式

(26)

邊界條件:

(27)

由于在彈性區(qū)始終滿足關(guān)系式

(28)

在彈塑性交界面r=Rs處，同時滿足屈服方程(10)，聯(lián)立式(28)求得

(29)

結(jié)合邊界條件(27)，求得待定常數(shù)C1,C2的表達式分別為

(30)

代入本構(gòu)方程(23)，求得彈性區(qū)應力場分布為

(31)

彈性區(qū)的實際位移應忽略巷道開挖前初始地應力引起的變形，因此彈性區(qū)的真實應變?yōu)?/p>

(32)

將式(32)代入幾何方程(16)，即可求得彈性區(qū)的真實位移ue*。

3.4 塑性區(qū)分析

根據(jù)彈塑性理論，塑性區(qū)應變由彈性應變和塑性應變2部分構(gòu)成[23]，即

(33)

(34)

結(jié)合式(21)和式(33)，得

(35)

代入幾何方程(16)，有

(36)

結(jié)合彈塑性交界面處邊界條件:r=Rs時，us=ue-p，積分得塑性區(qū)位移表達式

(37)

式中，us為塑性區(qū)位移;ue-p為彈塑性交界面處的徑向位移;χ為剪脹系數(shù)。

對于巷道圍巖塑性區(qū)中的彈性應變，目前常用的處理方式可分為以下2種:

方法(1):不考慮圍巖塑性區(qū)內(nèi)應力重分布的影響，視塑性區(qū)彈性應變?yōu)槌?shù)，其值為彈塑性交界面處彈性區(qū)的應變，即

(38)

代入式(35)，求得方法(1)的f(r)表達式

(39)

式中，D1=1-ν-χν，D2=χ-ν-χν，D3=(1-2ν)(1+χ)。

把式(39)代入式(37)，求得方法(1)所得到的塑性區(qū)位移表達式

(40)

方法(2):考慮塑性區(qū)內(nèi)應力重分布的影響，利用廣義胡克定律計算塑性區(qū)內(nèi)彈性應變，不考慮巷道開挖前地應力作用產(chǎn)生的位移，得到塑性區(qū)的彈性應變?yōu)?/p>

(41)

(42)

將式(42)代入式(41)，聯(lián)立式(35)求得

(43)

代入式(37)求得方法(2)的塑性區(qū)位移表達式

(44)

把r=r0分別代入式(40)和式(44)即可得到2種計算方法所求出的巷道硐壁處位移。

3.5 塑性區(qū)半徑

(45)

聯(lián)立式(42)，求得塑性區(qū)半徑Rs與巷道半徑r0之比表達式為

(46)

4 算例分析

為了進一步探討強度準則效應、中間主應力效應、圍巖剪脹特性以及塑性區(qū)彈性應變對滲流巷道圍巖的影響，下面選取一個算例進行分析。選取的深埋圓形巷道半徑r0=3 m，從工程角度考慮，當應力變化不超過5%時，便可將其視為原巖應力[24]。因此，計算區(qū)域半徑取R0=30r0=90 m，選取的巷道圍巖力學參數(shù)見表2。

表2 巷道圍巖力學參數(shù)

Table 2 Mechanical parameters of surrounding rock

力學參數(shù)取值彈性模量E/GPa2.0泊松比ν0.25黏聚力c/MPa2.8內(nèi)摩擦角φ/(°)24剪脹角ψ/(°)10地應力σ0/MPa30.0外水壓力p0/MPa2巷道支護力pi/MPa0孔隙水壓力系數(shù)η1

4.1 強度準則效應

當中主應力系數(shù)b=0時，統(tǒng)一強度理論和MO準則退化為MC準則，此時只需要討論MC準則和DP系列準則;當中主應力系數(shù)b≠0時，MC準則不再適用，取b=0.5討論其余3種準則。4種常用巖石強度準則的巷道圍巖應力分布規(guī)律如圖2所示。為了方便討論，統(tǒng)一強度理論(UST)的權(quán)系數(shù)m=0.5時記為UST1/2，m=1時記為UST1。

圖2 巷道圍巖應力分布

由圖2(a)可以看出，在不考慮中間主應力效應的情況下，MC準則以及與MC準則相匹配的DP系列準則都具有明顯不同的應力分布規(guī)律;不同的強度準則對應不同的塑性區(qū)半徑，半徑越小，峰值應力越大，在巷道硐壁處的切向應力越大;在σθ≥σz=σr條件下，DP1準則與MC準則精準匹配，圍巖具有相同的應力分布規(guī)律;DP3準則在巷道硐壁處的切向應力最小，所對應的塑性區(qū)半徑最大，說明DP3準則最容易低估巷道圍巖的實際強度，原因在于DP3準則是MC準則的下限;DP2,DP4和DP5準則在巷道硐壁處的切向應力相差不大，DP2,DP5準則應力分布規(guī)律最為接近。

由圖2(b)可以看出，對于考慮中間主應力效應的強度準則，UST1準則塑性區(qū)半徑最小，在巷道硐壁處切向應力最大，徑向應力與峰值應力也最大，說明UST1準則最容易高估中間主應力效應;MO準則塑性區(qū)半徑最大，在巷道硐壁處的切向應力最小，徑向應力與峰值應力也最小;DP1,UST1/2準則處于中間水平，且兩者較為接近。

4.2 中間主應力效應

圖3給出了不同強度準則下，不同中間主應力系數(shù)b所對應的塑性區(qū)位移分布。由圖3可以看出，DP3,UST1/2和MO準則均存在明顯的中間主應力效應，不同的b將得到不同的塑性區(qū)半徑和位移;隨著b的增大，塑性區(qū)半徑和巷道硐壁處的位移均表現(xiàn)出先減小、后增大的變化規(guī)律，這說明中間主應力存在區(qū)間效應，也就是說，中間主應力σ2在從下限σ3逐漸過渡到上限σ1的過程中，圍巖強度先是不斷增加，達到某一峰值后又逐漸回落，這與目前的真三軸試驗結(jié)果是一致的;DP3準則對這種區(qū)間效應的反映不是很明顯，說明DP3準則并不能很好地反映中間主應力效應。

圖3還可看出，考慮中間主應力效應(b=0.5)時的巷道硐壁處位移相較于不考慮(b=0)時，UST1/2準則和MO準則所對應的硐壁位移分別降低了63.5%和42.3%，而DP3準則在巷道硐壁處的位移下降幅度高達73.5%，這說明不考慮中間主應力效應的強度準則普遍偏于保守，在計算工程圍巖穩(wěn)定性時，不應忽視中間主應力效應對圍巖強度造成的影響。

4.3 剪脹特性

巷道圍巖的剪脹特性通過剪脹角ψ來體現(xiàn)，主要討論相關(guān)聯(lián)流動法則(ψ=φ)，非關(guān)聯(lián)流動法則(ψ≠φ)和不考慮剪脹(ψ=0)3種情況，根據(jù)塑性位勢理論求出相應的剪脹系數(shù)χ的值。在考慮中間主應力時b取0.5，塑性區(qū)彈性應變由方法(2)進行計算。

圖4給出了不同強度準則下，不同剪脹角所對應的塑性區(qū)位移分布。由圖4可以看出，剪脹系數(shù)不僅與剪脹角有關(guān)，還與強度準則有關(guān)，這是由于建立的塑性勢函數(shù)與強度準則形式相同引起的;相同的強度準則下，不同剪脹角對應不同的塑性區(qū)位移分布，但塑性區(qū)半徑保持不變;相關(guān)聯(lián)流動法則過多地考慮了剪脹效應，特別是在巷道硐壁處的位移量，約為非關(guān)聯(lián)流動法則的2.3倍;若不考慮剪脹，則塑性區(qū)位移最小，在巷道硐壁處的位移約為非關(guān)聯(lián)流動法則的70%～80%，此時低估了巷道圍巖的實際變形，不利于巷道的安全。因此，在實際計算過程中，應選取適合于巖石材料剪脹特性的非關(guān)聯(lián)流動法則，建立塑性勢函數(shù)，利用塑性位勢理論計算其剪脹系數(shù)。

圖3 中間主應力效應對位移的影響

圖4 剪脹特性對位移的影響

4.4 塑性區(qū)彈性應變

圖5給出了不同強度準則下，采用2種計算方法分別得到的圍巖塑性區(qū)位移分布。DP1準則、UST1/2準則和MO準則均考慮中間主應力(b取0.5)，剪脹角統(tǒng)一取ψ=10°。由圖5可以看出，對于塑性區(qū)內(nèi)的彈性應變，不同的處理方式將得到不同的位移分布，且差別較為明顯;方法(1)沒有考慮塑性區(qū)應力重分布的影響，所得到的位移普遍低于方法(2);方法(2)采用廣義胡克定律，考慮了塑性區(qū)應力的重分布特征，所得到的塑性區(qū)彈性應變也更加符合實際;在巷道硐壁處，方法(2)所得到的位移是方法(1)的1.7～2.0倍，說明不考慮塑性區(qū)的應力重分布特征，會在一定程度上低估巷道圍巖的真實變形。因此，在實際應用中，應該優(yōu)先選用方法(2)。

5 結(jié) 論

(1)針對受滲流影響的深埋圓形巷道，綜合考慮強度準則效應、滲流體積力、中間主應力效應、圍巖的剪脹特性以及不同的塑性區(qū)彈性應變處理方式，推導了可反映多種常用強度準則的彈塑性統(tǒng)一解析解，新解不僅形式簡潔，而且具有可比性和廣泛的適用性。

(2)深埋巷道圍巖存在明顯的強度準則效應，不考慮中間主應力效應的MC準則和與之匹配的DP系列準則計算得到的塑性區(qū)范圍更大，位移更明顯;在考慮中間主應力效應時，MO準則得到的塑性區(qū)范圍最大，UST1準則得到的塑性區(qū)范圍最小，DP1準則和UST1/2準則處于中間水平;因此，應根據(jù)具體的工程需要選取合適的強度準則。

(3)中間主應力對圍巖強度具有區(qū)間效應，適當提高中間主應力有利于提高圍巖的強度;巖土材料的剪脹特性不僅與剪脹角有關(guān)，而且還與塑性勢函數(shù)有關(guān);采用相關(guān)聯(lián)流動法則會低估圍巖的強度，不考慮剪脹則會低估圍巖的實際變形;因此，需采用考慮剪脹的非關(guān)聯(lián)流動法則對圍巖塑性區(qū)應變進行分析。

(4)對于巷道圍巖塑性區(qū)內(nèi)的彈性應變，不建議把它視為常數(shù)，應當考慮塑性區(qū)應力重分布的影響，采用廣義胡克定律進行分析;不考慮塑性區(qū)應力重分布特征，會在一定程度上低估圍巖的真實變形。