劉少剛 趙躍超 趙丹

(哈爾濱工程大學機電工程學院,哈爾濱 150001)

在不改變結(jié)構的情況下實現(xiàn)聲學超材料對外部響應的可調(diào)性,一直是聲學超材料所面臨的挑戰(zhàn)之一.因此,本文提出了以磁流變彈性體(MRE)作為單、雙包覆層的聲學超材料元胞結(jié)構,研究其在磁場作用下的可調(diào)帶隙以及傳輸譜特性.通過改變作用于包覆層MRE的磁場強度,控制MRE的剪切模量,使聲學超材料的帶隙和傳輸譜在磁場作用下具有可調(diào)性.應用有限元法對兩種聲學超材料的帶隙及傳輸譜特性進行了仿真分析.仿真結(jié)果表明,在磁場作用下,兩種聲學超材料的帶隙頻率和寬度隨著磁場強度的增強而增加；傳輸譜隨著磁場強度的增強其最大衰減頻率向高頻移動,最大衰減量也隨之增加.同時,采用質(zhì)量-彈簧模型對聲學超材料的帶隙頻率進行了估算,仿真結(jié)果與估算結(jié)果具有很好的一致性.此外,討論了芯體、殼體的材料參數(shù)以及填充率對帶隙和傳輸譜特性的影響.這些研究可為聲學超材料對彈性波的主動控制,以及為新型隔振、抑振結(jié)構的開發(fā)和應用提供理論基礎.

1 引 言

聲學超材料是一種典型的人工周期結(jié)構,其可呈現(xiàn)出如負質(zhì)量密度[1,2]、負體積模量[3-5]、負泊松比[6]、零折射率[7]等天然材料所不具備的超常物理性能,所以近年來聲學超材料受到了廣泛關注[8-11].這些超常物理性能,使聲學超材料具有許多潛在的應用,如波導[12]、彈性波聚焦[13,14]、聲隱身[15-19]、反常多普勒效應[20]等.近年來,隨著對聲學超材料研究的深入,進一步拓展了聲學超材料在聲學拓撲絕緣體[21]、聲場的精確控制[22]以及聲慢波傳輸和相位操控[23]等方面的應用.

聲學超材料的研究起源于聲子晶體,許多學者已對聲子晶體的帶隙特性進行了深入的研究[24-26].2000年,Liu等[27]提出了局域共振聲子晶體,利用其對聲波的局域效應成功實現(xiàn)了低頻帶隙.2004年,Li等[28]利用局域共振機理設計了一種具有等效質(zhì)量密度和等效體積模量同時為負值的復合介質(zhì),提出了聲學超材料的概念.基于局域共振機理的聲學超材料結(jié)構中起主要作用的是局域共振單元,當彈性波的頻率與局域共振單元的共振頻率接近時,聲學超材料能夠產(chǎn)生彈性波低頻帶隙,在帶隙頻率范圍內(nèi)不允許彈性波透過.由于結(jié)構中的振動和噪聲通常是以彈性波的形式進行傳播,這使聲學超材料在低頻隔振與噪聲控制上具有良好的應用前景.

然而,傳統(tǒng)聲學超材料一旦結(jié)構設計好后,其響應頻率即隨之確定,不具有帶隙可調(diào)性,因此限制了聲學超材料的實際應用.為了能夠使聲學超材料適應不同的工作環(huán)境,應設計具有參數(shù)可調(diào)的聲學超材料結(jié)構.聲學超材料的參數(shù)調(diào)節(jié)可分為被動與主動調(diào)節(jié).被動調(diào)節(jié)的主要實現(xiàn)方式是改變或設計聲學超材料的幾何結(jié)構.Goffaux等[29]借助于方形散射體的旋轉(zhuǎn)來進行帶隙調(diào)節(jié),Bertoldi等[30]通過改變晶格與散射體形狀來調(diào)節(jié)帶隙.Zhou等[11]提出了多包覆層局域共振單元結(jié)構,來拓展聲學超材料的低頻帶隙,并對包覆數(shù)量與厚度對帶隙和傳輸譜的影響進行了討論.Larabi等[31]采用有限時域差分法對多包覆層局域共振單元結(jié)構的帶隙特性進行了研究,對比了包覆層的奇、偶數(shù)對帶隙特性的影響.Lewińska等[32]研究了采用黏彈性材料作為多包覆層的局域共振聲學超材料,研究發(fā)現(xiàn)改變包覆層參數(shù)不但影響帶隙頻率,還影響帶隙頻率內(nèi)彈性波的衰減量.基于Mie共振機理的聲學超材料也具有重要的應用.Gao等[33]設計了一種基于單級Mie共振的低頻聲波能量吸收器,該吸收器能夠?qū)崿F(xiàn)低頻聲波的高吸收特性,同時具有良好的魯棒性.Cheng等[34]設計了一種具有Mie共振的超稀疏聲學超表面,實現(xiàn)了低頻聲波的強反射.Zhu等[35]設計了一種高局域偶極Mie共振聲學超表面,實現(xiàn)了深亞波長尺度下聲波的定向傳感.

參數(shù)的主動調(diào)節(jié),主要通過智能材料改變局域共振單元的共振頻率來實現(xiàn).Chen等[36,37]采用壓電片作為局域共振單元,通過外加電場控制聲學超材料結(jié)構中的彈性波傳播,實現(xiàn)了聲學超材料的帶隙控制,拓寬了帶隙頻率.Xiao等[38]研制了一種由電場控制的薄膜聲學超材料,他們將薄膜上電極與另一側(cè)網(wǎng)狀電極構成電容器,采用調(diào)節(jié)其上的電壓改變薄膜的共振頻率和相位的方式,實現(xiàn)聲波傳輸過程中帶隙的主動調(diào)節(jié).賀子厚等[39]采用壓電質(zhì)量塊嵌入彈性薄膜方法設計了一種可調(diào)控薄膜聲學超材料,通過改變壓電質(zhì)量塊和外接電路的參數(shù)來調(diào)整共振頻率,實現(xiàn)對隔聲性能的調(diào)控.Shen等[40]設計了一種主動聲學超表面,該聲學超表面由 4× 4 陣列的壓電片植入環(huán)氧樹脂基體中構成一個超元胞結(jié)構,通過調(diào)整超元胞寬度與晶格常數(shù)的比值可以完全控制由結(jié)構衍射引起的柵瓣.Zhou等[41]研究了電流變材料包覆層初始應力對帶隙的影響,還通過外部電場獲得了聲學超材料的可調(diào)帶隙.同樣還可以通過改變作用于磁流變材料的外部磁場來調(diào)節(jié)聲學超材料的帶隙結(jié)構.磁流變彈性體(MRE)是磁流變材料的一種,其特點是可通過控制作用于材料的磁場大小連續(xù)控制材料的力學性能,具有響應快、可逆性好、可控能力強等特點[42-44].Chen等[45]設計了一種磁-聲學超材料結(jié)構,將MRE作為薄膜覆蓋于鋁制環(huán)上,通過改變結(jié)構外部磁場控制聲學超材料的帶隙頻率.Xu等[46]采用MRE作為三維聲學超材料局域共振單元的包覆層,在外部磁場作用下聲學超材料的帶隙頻率和寬度可調(diào).

為了進一步研究聲學超材料的可調(diào)帶隙和傳輸譜特性,本文設計了以MRE為包覆層的兩種聲學超材料元胞結(jié)構,一種是以MRE作為單包覆層的元胞結(jié)構,另一種是以MRE作為雙包覆層的元胞結(jié)構；分析了磁場強度、芯體與殼體材料參數(shù)、填充率等對兩種元胞結(jié)構構成的聲學超材料帶隙特性以及傳輸譜特性的影響.

2 模型和方法

2.1 聲學超材料結(jié)構

兩種聲學超材料的元胞結(jié)構如圖1所示,第一種聲學超材料元胞結(jié)構為單層MRE包裹純鐵圓柱體(芯體)組成局域共振單元結(jié)構,如圖1(a)所示,將其植入基體材料,按周期結(jié)構排列可構成單包覆層MRE聲學超材料；第二種聲學超材料元胞結(jié)構為內(nèi)層MRE (內(nèi)包覆層)包裹純鐵圓柱體 (芯體),在內(nèi)層MRE外包裹一層純鐵圓柱殼體,在圓柱殼體外再包裹一層MRE (外包覆層),構成雙包覆層MRE局域共振單元結(jié)構,如圖1(b)所示,同樣將其植入基體材料按周期結(jié)構排列,構成雙包覆層MRE聲學超材料.兩種聲學超材料的基體材料均為環(huán)氧樹脂,且局域共振單元均按照正方晶格結(jié)構排列.第一不可約布里淵區(qū)如圖1(c)所示.構成聲學超材料的具體材料參數(shù)如表1所列.

單包覆層MRE聲學超材料的芯體直徑d1=34mm ,MRE包覆層厚度為 2mm.雙包覆層MRE聲學超材料的芯體直徑 d2=30mm ,殼體厚度為 2mm ,內(nèi)、外MRE包覆層的厚度均為 2mm ,聲學超材料的晶格常數(shù)為 50mm.

表1 構成MRE聲學超材料的材料參數(shù)Table 1.Material properties of the MRE acoustic metamaterials.

圖1 MRE包覆層聲學超材料元胞結(jié)構和不可約布里淵區(qū) (a) 單包覆層MRE聲學超材料；(b) 雙包覆層MRE聲學超材料；(c) 正方晶格第一不可約布里淵區(qū)Fig.1.Schematic of the MRE acoustic metamaterial cells and the irreducible first Brillouin zone：(a) Single-layer MRE acoustic metamaterial；(b) double-layer MRE acoustic metamaterial；(c) the irreducible first Brillouin zone of square lattices.

2.2 磁流變彈性體

磁流變彈性體,采用磁偶極子模型[47],鐵磁顆粒密度 ρFe= 7.89×103kg/m3,硅橡膠密度ρr=1.2×103kg/m3,MRE的拉伸性能與剪切性能相似,取其泊松比為0.47.外磁場對剪切模量的改變量為[48]

式中 φ是在硅橡膠基體中的鐵磁顆粒的體積比,R是顆粒半徑,d 表示鏈中的兩個顆粒之間的距離,μ0=4π× 10-7H/m是真空磁導率,H為外部磁場強度,ζ=1.202 ,β≈ 1 ,μf=1 是相對磁導率.假設 d /R=2.5 ,φ=27% ,并采用典型的彈性參數(shù)G0=0.4MPa[46,48],G=G0+ΔG.

2.3 仿真方法

對于多層局域共振單元模型,其彈性波的傳播方程為

式中 i,j =1, 2, 3；ui為i 方向位移；u1,u2,u3分別與 ux,uy,uz對應,x1,x2,x3分別與x ,y ,z 對應；ρ為密度；λ,μ為Lame常數(shù).

對于二維聲學超材料結(jié)構,假設彈性波在xoy 平面內(nèi)傳播時,介質(zhì)的位移只與x ,y 坐標有關,而與z 坐標無關.此時描述xoy 平面內(nèi)與z 方向上的波動方程可以解耦,分別稱作xy 模式和z 模式.在xy 模式下彈性波的傳播方程為

由于聲學超材料為周期結(jié)構,需滿足布洛赫定理

式中 Rn為晶格向量.

根據(jù)方程(3)—(5)可計算xy 模式下聲學超材料的帶隙結(jié)構.本文采用有限元軟件COMSOL Multiphysics?計算MRE聲學超材料的帶隙結(jié)構.在COMSOL Multiphysics?軟件中,以單個元胞為研究對象,在元胞的x 和y 方向施加Floquet周期性邊界條件,網(wǎng)格采用自由三角形網(wǎng)格,網(wǎng)格尺寸為細化,波矢 k 沿第一布里淵區(qū)進行參數(shù)化掃描,計算得到帶隙結(jié)構.

3 結(jié)果與討論

3.1 單包覆層MRE聲學超材料帶隙特性

3.1.1 磁場強度對帶隙特性的影響

單包覆層MRE聲學超材料,其元胞結(jié)構如圖1(a)所示,當外部磁場作用時,MRE包覆層的剪切模量可隨磁場變化,因此其帶隙結(jié)構可以通過改變磁場強度進行調(diào)節(jié).圖2為MRE包覆層在沒有磁場(H= 0 kOe),以及磁場強度為H= 6 kOe作用下的帶隙結(jié)構,以說明磁場對帶隙結(jié)構的影響.

對于單包覆層MRE聲學超材料我們關注其第一階帶隙,因為第一階帶隙頻率較低,且?guī)遁^寬.如圖2(a)所示,當沒有外部磁場作用時,帶隙頻率為488—1114 Hz；當磁場強度為H= 6 kOe時,帶隙結(jié)構如圖2(b)所示,帶隙頻率為607—1368 Hz.由以上計算可知,有磁場作用于包覆層MRE時,聲學超材料帶隙的下邊界與上邊界頻率都隨之升高.在圖2中還可以看到在高頻處還有一窄帶隙,但由于其頻率高,且?guī)墩?很難將其應用于實際工程領域.

由圖2還可以發(fā)現(xiàn),聲學超材料的帶隙為多條平直線,具有典型的局域共振特性.為了進一步理解聲學超材料的帶隙機理,下面討論在圖2(a)中帶隙邊界處標出的A,B兩點的位移向量場.圖3為A,B兩點的位移向量場,由圖3(a)中可以看到,在帶隙下邊界的A點處,當彈性波在聲學超材料中傳播時為芯體在振動,而基體保持靜止；由圖3(b)中可以看到,在帶隙上邊界處B點,為基體在振動,芯體只有輕微振動,且芯體與基體運動方向相反,此時,MRE包覆層可以視為彈簧,而芯體與基體可視為集中質(zhì)量,芯體與基體以相對振動的方式發(fā)生共振.圖3中的箭頭表示基體和芯體的相對運動方向.

根據(jù)位移向量場,單包覆層MRE聲學超材料可簡化為圖4所示的質(zhì)量-彈簧模型[49]來描述其帶隙下邊界和上邊界的振動模式.其中 m1為元胞的芯體質(zhì)量,m2為基體質(zhì)量,彈簧k 為MRE包覆層的等效剛度,其具體定義見文獻[49].在帶隙下邊界處,m1在彈簧k 的作用下,發(fā)生共振(對應圖3(a)).在帶隙上邊界處,m1和m2在彈簧k 的作用下,以相對振動的方式發(fā)生共振(對應圖3(b)).

圖3 單包覆層MRE聲學超材料帶隙邊界位移場 (a) 帶隙下邊界；(b) 帶隙上邊界Fig.3.Displacement field of the band gap boundaries of the single-layer MRE acoustic metamaterial：(a) The lower boundary of the band gap；(b) the upper boundary of the band gap.

圖4 單包覆層MRE聲學超材料的質(zhì)量-彈簧模型 (a) 帶隙下邊界；(b) 帶隙上邊界Fig.4.The mass-spring model of single-layer MRE acoustic metamaterial：(a) Lower boundary of band gap；(b) upper boundary of band gap.

在該等效模型下,單包覆層MRE聲學超材料的低頻帶隙下邊界 fL和上邊界 fU可由以下公式估算：

由以上仿真結(jié)果可知,單包覆層MRE聲學超材料可以通過改變磁場強度來改變其帶隙結(jié)構.現(xiàn)在分析磁場強度連續(xù)變化時聲學超材料的帶隙變化情況.磁場強度由0—10 kOe連續(xù)變化時,單包覆層MRE聲學超材料的帶隙變化如圖5(a)所示,其帶隙頻率從488—754 Hz變化到1114—1723 Hz.由此可知,隨著磁場強度增強,帶隙下邊界與上邊界頻率都呈上升趨勢,但其上邊界頻率變化較大,寬度增加,這是因為MRE的剪切模量隨著磁場強度增強而增加.圖5(b)為隨著磁場強度增強,由(8)式計算的隨磁場強度變化曲線與有限元法計算的隨磁場強度變化曲線的對比圖,從圖中可以看出,有限元計算結(jié)果與質(zhì)量-彈簧模型方法具有很好的一致性.

圖5 單包覆層MRE聲學超材料帶隙隨磁場強度變化及有限元法與質(zhì)量-彈簧模型對比 (a) 磁場強度H= 0—10 kOe；(b) 有限元法與質(zhì)量彈簧-模型對比Fig.5.Dependence of the band gap boundaries on the applied magnetic field of single-layer MRE acoustic metamaterial and a comparison of the FEM and the mass-spring model for (a) magnetic field intensity of H= 0—10 kOe,(b) comparison of the FEM and mass-spring model.

3.1.2 芯體質(zhì)量和填充率對帶隙特性的影響

對聲學超材料帶隙特性研究的主要目標是降低帶隙頻率拓展帶隙寬度,聲學超材料的帶隙主要與芯體與殼體材料、包覆層參數(shù)以及填充率等參數(shù)相關.前面分析了MRE包覆層在磁場作用下對帶隙特性的影響,下面分析材料和結(jié)構參數(shù)對帶隙特性的影響.

芯體采用的材料參數(shù)如表2所列.當芯體選用表2中的材料時,單包覆層MRE聲學超材料的帶隙變化如圖6(a)所示.隨著芯體質(zhì)量增加,帶隙上、下邊界頻率都呈下降趨勢.根據(jù)位移向量場以及質(zhì)量-彈簧模型,在帶隙的下邊界處主要為芯體在振動,所以芯體質(zhì)量 m1對帶隙下邊界頻率影響較大.在帶隙上邊界處為芯體與基體以相對運動的方式發(fā)生共振,因此芯體質(zhì)量 m1和基體質(zhì)量 m2對帶隙上邊界頻率都有較大影響.而且從(6)式和(7)式中也可以看到,隨著芯體質(zhì)量 m1的增加,帶隙下邊界與上邊界頻率均會逐漸下降,但上邊界頻率下降趨勢小于下邊界頻率,帶隙寬度增加.

表2 材料參數(shù)Table 2.The material parameters.

圖6 單包覆層MRE聲學超材料帶隙隨材料和結(jié)構參數(shù)變化 (a) 隨芯體質(zhì)量增加變化；(b) 隨填充率增加變化Fig.6.The band gap of single-layer MRE acoustic metamaterial changes with (a) the core mass and (b) the filling rate.

對于二維聲學超材料,填充率是局域共振單元在聲學超材料元胞中所占的面積比.本文采用改變晶格常數(shù)的方式改變聲學超材料的填充率,這樣可以保證局域共振單元的結(jié)構參數(shù)不發(fā)生改變.在局域共振單元結(jié)構參數(shù)不變的情況下,改變晶格常數(shù)也就是改變基體質(zhì)量.

單包覆層MRE聲學超材料帶隙隨填充率變化如圖6(b)所示,從圖中可以看到,隨著填充率的增加,帶隙的下邊界頻率基本沒有變化,上邊界頻率逐漸升高,帶隙寬度增加.這是因為隨著填充率的增加,基體質(zhì)量逐漸減小,即 m2質(zhì)量減小,因此帶隙上邊界頻率升高,而帶隙下邊界頻率只與芯體質(zhì)量相關,所以下邊界頻率基本沒有變化.

3.2 雙包覆層MRE聲學超材料帶隙特性

3.2.1 磁場強度對帶隙特性的影響

雙包覆層MRE聲學超材料的元胞結(jié)構如圖1(b)所示,圖7為雙包覆層MRE聲學超材料在沒有磁場(H=0kOe),以及磁場強度為H=6kOe作用下的帶隙結(jié)構,以說明磁場對雙包覆層MRE聲學超材料帶隙結(jié)構的影響.

與單包覆層MRE聲學超材料相比,雙包覆層MRE聲學超材料有兩階寬頻帶隙,在單包覆層MRE聲學超材料中存在的高頻窄帶隙消失.如圖7(a)所示,當沒有磁場(H= 0 kOe)作用時,雙包覆層MRE聲學超材料的第一階帶隙頻率為374—771 Hz,第二階帶隙頻率為1365—1670 Hz.當磁場強度為H= 6 kOe時,帶隙結(jié)構如圖7(b)所示,此時第一階帶隙頻率為465—959 Hz,第二階帶隙頻率為1698—2077 Hz,與沒有磁場作用時相比,第一階與第二階帶隙頻率升高,寬度增加.

圖7 雙包覆層MRE聲學超材料帶隙結(jié)構 (a) H= 0；(b) H= 6 kOeFig.7.The band gap structures of the double-layer MRE acoustic metamaterial：(a) H= 0；(b) H= 6 kOe.

下面進一步考察第一階與第二階帶隙邊界處的位移向量場,圖7(a)中標識的A,B,C,D,E點的位移向量場如圖8所示.圖8(a)為第一階帶隙下邊界A點的位移向量場,在第一階帶隙下邊界處為芯體在振動,而基體保持靜止；第一階帶隙上邊界B點處,位移向量場如圖8(b)所示,芯體與基體的運動方向相反,其與單包覆層MRE聲學超材料的帶隙上邊界處位移向量場相似；第二階帶隙下邊界C點的位移向量場如圖8(c)所示,最大位移發(fā)生在包覆層位置,殼體與芯體的運動方向相反；第二階帶隙上邊界D點的位移向量場如圖8(d)所示,為殼體與基體的運動方向相反,可以看出殼體、芯體和基體相當于集中質(zhì)量,而包覆層相當于彈簧.圖7中E點的位移向量場如圖8(e)所示,從圖中可以看到,基體與芯體都不運動,僅內(nèi)、外包覆層扭轉(zhuǎn)運動,由于沒有水平和豎直方向運動,因此不能產(chǎn)生帶隙,所以高頻窄帶隙消失.

由以上分析可知,聲學超材料的帶隙數(shù)量隨著包覆層數(shù)量的增加而增多,這是因為存在更多的局域共振模式.帶隙數(shù)量增多可以使聲學超材料更好地應用于振動與噪聲的控制.

由雙包覆層MRE聲學超材料的位移向量場,可將雙包覆層MRE聲學超材料簡化為如圖9所示的質(zhì)量-彈簧模型[50],可以用質(zhì)量-彈簧模型進一步估算其帶隙頻率.其中 m1為元胞的芯體質(zhì)量,m2為殼體質(zhì)量,m3為基體質(zhì)量,彈簧 k1和 k2分別為MRE內(nèi)、外包覆層的等效剛度,其具體定義見文獻[50].在雙包覆層MRE聲學超材料的兩階帶隙下邊界處,m1和 m2在彈簧 k1和 k2的作用下,發(fā)生共振.在兩階帶隙上邊界處,m1,m2和 m3在彈簧 k1和 k2的作用下,以相對振動的方式發(fā)生共振.

圖9(a)中質(zhì)量-彈簧模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為：

第一階與第二階帶隙的下邊界頻率為

圖9(b)中質(zhì)量-彈簧模型的剛度和和質(zhì)量矩陣為：

圖8 雙包覆層MRE聲學超材料帶隙邊界處位移向量場 (a) 第一階帶隙下邊界；(b) 第一階帶隙上邊界；(c) 第二階帶隙下邊界；(d) 第二階帶隙上邊界；(e) 圖7(a)中E點Fig.8.Displacement field of the band gap boundaries of the double-layer MRE acoustic metamaterial：(a) The lower boundary and(b) the upper boundary of the first band gaps；(c) the lower boundary and (d) the upper boundary of the second band gap；(e) point E in Fig.7 (a).

圖9 雙包覆層MRE聲學超材料質(zhì)量-彈簧模型 (a) 第一階與第二階帶隙下邊界；(b) 第一階與第二階帶隙上邊界Fig.9.The mass-spring model of the double-layer MRE acoustic metamaterial：(a) Lower boundary of the first and second band gap；(b) upper boundary of the first and second band gap.

第一階與第二階帶隙的上邊界頻率為

當磁場強度由0—10 kOe連續(xù)變化時,雙包覆層MRE聲學超材料的帶隙變化如圖10(a)所示,第一階帶隙頻率從374—771 Hz變化到575—1187 Hz；第二階帶隙頻率從1365—1670 Hz變化到2099—2567 Hz.由此可知,隨著磁場強度增強兩階帶隙下邊界與上邊界頻率都呈上升趨勢,帶隙寬度增加,這是因為內(nèi)、外包覆層MRE的剪切模量隨著磁場強度增強而增加.

3.2.2 芯體與殼體質(zhì)量和填充率對帶隙特性的影響

雙包覆層MRE聲學超材料的兩階帶隙間存在帶隙間隔(通帶),我們應該盡量縮小兩階帶隙間的通帶,拓展其帶隙寬度.下面分析芯體質(zhì)量、殼體質(zhì)量、填充率對帶隙頻率以及兩階帶隙間通帶的影響.

當聲學超材料的結(jié)構參數(shù)不變,根據(jù)質(zhì)量-彈簧模型,芯體質(zhì)量為 m1,殼體質(zhì)量為 m2.采用控制變量法,當殼體質(zhì)量 m2(選取密度較大的金屬鎢)不變時,首先分析芯體質(zhì)量 m1變化對帶隙的影響.m1分別選取表2中的材料時,聲學超材料的帶隙變化如圖11(a)所示,從圖中可以看到,當m1質(zhì)量較小時,帶隙間通帶寬度較窄,第一階帶隙寬度較寬,第二階帶隙寬度較窄.隨著芯體質(zhì)量 m1增加,第一階帶隙的上邊界頻率和第二階帶隙的下邊界頻率都在逐漸減小,而第一階帶隙的上邊界頻率減小幅度更大,使帶隙間的通帶加寬.結(jié)合位移向量場和質(zhì)量彈簧模型的分析可知,這是因為芯體質(zhì)量主要影響第一階帶隙頻率,對第二階帶隙影響較小.

當芯體質(zhì)量 m1(材料為金屬鎢)不變,殼體m2分別選取表2中的材料,聲學超材料的帶隙變化如圖11(b)所示,從圖中可以看到,第一階帶隙的下邊界頻率基本不隨殼體質(zhì)量 m2改變而變化,第一階帶隙的上邊界頻率隨殼體質(zhì)量 m2增加而有所降低；第二階帶隙下邊界頻率和上邊界頻率都隨著殼體質(zhì)量 m2增加而逐漸降低,且?guī)秾挾仍黾?由于第二階帶隙的下邊界頻率減小幅度大于第一階帶隙的上邊界頻率,因此隨著殼體質(zhì)量 m2增加,帶隙間的通帶逐漸減小.這是因為,由于芯體質(zhì)量 m1不變,所以第一階帶隙變化較小,而殼體質(zhì)量 m2主要影響第二階帶隙,致使第二階帶隙頻率和寬度變化較大.

圖10 雙包覆層MRE聲學超材料帶隙隨磁場強度變化及有限元法與質(zhì)量-彈簧模型對比 (a) 磁場強度H= 0—10 kOe；(b) 有限元法與質(zhì)量-彈簧模型對比Fig.10.Dependence of the band gap boundaries on the applied magnetic field of double-layer MRE acoustic metamaterial and a comparison of the FEM and mass-spring model for (a) magnetic field intensity of H= 0—10 kOe,(b) comparison of the FEM and mass-spring model.

圖11 雙包覆層MRE聲學超材料帶隙隨材料和結(jié)構參數(shù)變化 (a) 芯體質(zhì)量增加；(b) 殼體質(zhì)量增加；(c) 填充率增加Fig.11.The band gap of double-layer MRE acoustic metamaterial changes with (a) the core mass,(b) the shell mass,(c) the filling rate.

同樣通過改變晶格常數(shù),對雙包覆層MRE聲學超材料帶隙隨填充率變化情況進行分析,得到的結(jié)果如圖11(c)所示.隨著填充率增加,第一、二階帶隙的下邊界頻率基本保持不變,第一階帶隙上邊界頻率有緩慢增加,而第二階帶隙的上邊界頻率增加速度較快.這是由于改變晶格尺寸,相當于改變基體質(zhì)量 m3,根據(jù)雙包覆層MRE聲學超材料的質(zhì)量-彈簧模型,改變基體質(zhì)量主要影響第一階與第二階帶隙的上邊界頻率.增大填充率相當于減小基體質(zhì)量,因此第一階與第二階帶隙上邊界頻率升高.

3.3 傳輸譜

雖然聲學超材料在其帶隙頻率范圍內(nèi)有完美的彈性波屏蔽效果,但這是基于無限周期結(jié)構的結(jié)果.而在實際應用中,只能取有限周期結(jié)構,這使得帶隙頻率范圍內(nèi)的某些彈性波無法被完全衰減,仍然可以透過有限結(jié)構.因此對于有限周期聲學超材料還需要反映其結(jié)構中彈性波的傳輸特性.下面采用 8× 8 周期結(jié)構對單、雙包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜特性進行分析.

在聲學和振動工程中,傳輸譜的計算一般采用如下定義：

式中 p1為入射端激勵物理量,p2為出射端激勵物理量,本文采用入射端和出射端加速度響應來研究聲學超材料的傳輸譜特性.

3.3.1 單包覆層MRE聲學超材料傳輸譜特性

3.3.1.1 磁場強度對傳輸譜的影響

圖12(a)為磁場強度分別為0,4,6,8 kOe時,單包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜.從圖中可以發(fā)現(xiàn),在帶隙頻率范圍內(nèi),彈性波具有較大程度的衰減,在高頻窄帶隙處同樣存在傳輸損失.同時隨著磁場強度增強,傳輸譜的最大衰減頻率向高頻移動,與磁場強度增強帶隙頻率升高相一致.從圖中還可以看到,隨著磁場強度增強傳輸損失也呈增加趨勢.這是由于磁場強度增強,改變了MRE的剪切模量,使其對彈性波的阻抗效應增大.因此,使用MRE作為聲學超材料的包覆層不但在磁場作用下使聲學超材料的帶隙頻率和寬度可調(diào),還可以增大對彈性波的衰減作用,使聲學超材料具有更好的傳輸特性.

圖12 單包覆層MRE聲學超材料傳輸譜變化 (a) 磁場強度為0,4,6,8 kOe；(b) 芯體材料分別為鋁、鈦、銅、鉛和鎢；(c) 填充率增加Fig.12.Transmission spectra of single-layer MRE acoustic metamaterial change with (a) At magnetic field intensity of 0,4,6,and 8 kOe,(b) core materials for aluminum,titanium,copper,lead,and tungsten,(c) the filling rate.

3.3.1.2 芯體材料和填充率對傳輸譜的影響

當芯體分別選用表2中的材料時,單MRE聲學超材料的傳輸譜如圖12(b)所示,可以看到材料的密度從小到大變化時,傳輸譜的最大衰減頻率由高頻向低頻移動,與帶隙頻率隨芯體質(zhì)量變化趨勢一致.芯體材料不同時,最大衰減量不同,芯體材料為鉛時衰減量最大,材料為鎢時衰減量最小.從圖中可以發(fā)現(xiàn),隨著材料的彈性模量增加最大衰減量呈減小趨勢,這是由于隨著芯體材料變硬,對彈性波阻抗效應變小所致.因此可以得出,當其他參數(shù)不變時,單包覆層MRE聲學超材料傳輸譜的最大衰減量與芯體材料的彈性模量相關,當芯體材料的彈性模量較小材料較軟時,最大衰減量增加；當芯體材料的彈性模量較大材料較硬時,最大衰減量減小.

圖12(c)為不同填充率單包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜,可以看到,隨著晶格常數(shù)增大填充率減小,傳輸譜的最大衰減頻率沒有變化.這是因為,隨著填充率減小帶隙下邊界頻率基本沒有變化,而傳輸譜的最大衰減量發(fā)生在帶隙的起始頻率處.但是,傳輸譜的最大衰減量隨著晶格常數(shù)增大填充率減小而減小,這是由于填充率減小晶格常數(shù)變大,基體質(zhì)量增加,發(fā)生局域共振時使局域共振單元的振幅減小,削弱了其對彈性波的衰減.

3.3.2 雙包覆層MRE聲學超材料傳輸譜特性

3.3.2.1 磁場強度對傳輸譜的影響

圖13(a)為磁場強度分別為0,4,6,8 kOe時,雙包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜.從圖中可以發(fā)現(xiàn),在第一階與第二階帶隙頻率范圍內(nèi),彈性波具有較大程度衰減,在帶隙起始頻率處衰減最大,與單包覆層MRE聲學超材料傳輸譜類似；隨著磁場強度增強,傳輸譜的最大衰減頻率向高頻移動,這也與磁場強度增強時帶隙頻率升高相一致.從圖13(a)中還可以看到,隨著磁場強度增強傳輸損失也呈增加趨勢,這也是因為磁場強度增強使MRE阻抗增強的原因.

3.3.2.2 芯體與殼體材料和填充率對傳輸譜的影響

采用控制變量法,當殼體材料不變時(材料為金屬鎢),芯體選用表2中的材料時,雙包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜如圖13(b)所示.從圖中可以看到,傳輸譜的最大衰減頻率隨著芯體密度增加向低頻移動,與帶隙頻率變化趨勢相同.同時,第一階帶隙的最大衰減量,隨著芯體材料彈性模量的增加而減小,這與單包覆層MRE聲學超材料傳輸譜的最大衰減量隨材料彈性模量的變化趨勢相同；第二階帶隙的最大衰減量隨著芯體材料彈性模量的增加而增大.由此可以得出,當殼體材料參數(shù)不變時,芯體材料的彈性參數(shù)主要影響第一階與第二階帶隙的傳輸損失,且與第一階帶隙的傳輸損失成反比,與第二階帶隙的傳輸損失成正比.

圖13 雙包覆層MRE聲學超材料傳輸譜變化 (a) 磁場強度為0,4,6,8 kOe；(b) 芯體材料分別為鋁、鈦、銅、鉛和鎢；(c) 殼體材料分別為鋁、鈦、銅、鉛和鎢；(d) 隨填充率變化Fig.13.Transmission spectra change of double-layer MRE acoustic metamaterial：(a) At the magnetic field intensity of 0,4,6,and 8 kOe；(b) with the core materials for aluminum,titanium,copper,lead,and tungsten,(c) with the shell materials of aluminum,titanium,copper,lead,and tungsten,(d) with filling rate.

當芯體材料不變時(材料為金屬鎢),殼體為表2中材料時,雙包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜如圖13(c)所示.從圖中可以看到,第一階帶隙的最大衰減頻率沒有變化,這是由于芯體質(zhì)量不變第一階帶隙的下邊界頻率基本沒有變化,而聲學超材料的最大衰減頻率發(fā)生在帶隙的起始頻率處；第二階帶隙的最大衰減頻率隨著殼體材料密度增加向低頻移動,這也與殼體材料密度增加帶隙頻率變化趨勢一致.同時,由于芯體材料不變,第一階帶隙的最大衰減量基本沒有變化,第二階帶隙的最大衰減量只有當殼體材料為鎢時衰減較大,而殼體材料為其他四種材料時最大衰減量相差不大.由雙包覆層MRE聲學超材料的位移向量場可知,在第二階帶隙邊界處主要為殼體和包覆層振動,由于殼體較薄,質(zhì)量較輕,因此除材料鎢以外,另外四種材料對彈性波的衰減量相差不大.

圖13(d)為不同填充率時雙包覆層MRE聲學超材料的傳輸譜.從圖中可以看到,隨著晶格常數(shù)增大填充率減小,第一階帶隙與第二階帶隙的最大衰減頻率沒有變化,這是因為隨著填充率變化,第一階與第二階帶隙的下邊界頻率基本不變.同時,最大衰減量隨著填充率減小而減小,這也是由于填充率減小,晶格常數(shù)變大,基體質(zhì)量增加,發(fā)生局域共振時使局域共振單元的振幅減小,削弱了對彈性波的衰減.

4 結(jié) 論

本文深入分析了單、雙包覆層MRE聲學超材料在磁場作用下的可調(diào)帶隙以及傳輸譜特性.通過改變作用于MRE包覆層的磁場強度可以調(diào)節(jié)單、雙包覆層MRE聲學超材料的帶隙結(jié)構.隨著磁場強度增強,單、雙包覆層MRE聲學超材料的帶隙頻率和帶隙寬度都隨之增加.采用質(zhì)量-彈簧模型對單、雙包覆層MRE聲學超材料的帶隙頻率進行了計算,仿真結(jié)果與兩種質(zhì)量-彈簧模型的計算結(jié)果具有很好的一致性.同時對單、雙包覆層MRE聲學超材料在磁場作用下的傳輸譜特性進行了分析,隨著磁場強度增強,單、雙包覆層MRE聲學超材料傳輸譜的最大衰減頻率向高頻移動,同時最大衰減量也隨之增加.討論了單、雙包覆層MRE聲學超材料的芯體、殼體的材料參數(shù)以及填充率對帶隙以及傳輸譜的影響.結(jié)果表明,芯體和殼體的質(zhì)量主要影響帶隙頻率和帶隙寬度.對于單包覆層MRE聲學超材料,隨著芯體質(zhì)量增加其帶隙頻率下降,帶隙寬度增加.對于雙包覆層MRE聲學超材料,當殼體質(zhì)量不變,隨著芯體質(zhì)量增加,兩階帶隙間的通帶寬度逐漸增加,兩階帶隙的寬度增大,帶隙頻率降低；當芯體質(zhì)量不變,隨著殼體質(zhì)量增加,兩階帶隙間的通帶寬度逐漸減小,第一階帶隙寬度減小,第二階帶隙寬度增大,帶隙頻率降低.芯體和殼體的彈性參數(shù)主要影響傳輸譜的傳輸損失.單包覆層MRE聲學超材料,芯體材料的彈性參數(shù)與帶隙的傳輸損失成反比.雙包覆層MRE聲學超材料,芯體材料的彈性參數(shù)與第一階帶隙的傳輸損失成反比,第二階帶隙的傳輸損失成正比；殼體材料彈性參數(shù)對傳輸損失的影響較小.隨著填充率增大,單、雙包覆層MRE聲學超材料的帶隙頻率和寬度都相應增加；傳輸譜最大衰減頻率不變,傳輸損失增大.聲學超材料的帶隙和傳輸譜特性研究,可為聲學超材料在低頻振動與噪聲控制方面提供理論基礎.