潘琪

摘 要：研究雙障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，主要是在雙常數(shù)敲出邊界的期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)上，研究上敲出邊界是常數(shù)，下敲入邊界是一個(gè)偏微分方程形式的隨時(shí)間變化的不定邊界的奇異期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，提出解決該種期權(quán)的定價(jià)模型。該種期權(quán)是當(dāng)前利用期權(quán)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的行之有效的方法，能夠有效的應(yīng)對(duì)市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)。

關(guān)鍵詞：雙障礙期權(quán);敲入敲出;偏微分方程;Black-Scholes模型

中圖分類號(hào)：F23 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.34.052

0 引言

全球金融市場(chǎng)快速發(fā)展，投資者對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)和套期保值的需求日益增長(zhǎng)，各種金融衍生產(chǎn)品應(yīng)運(yùn)而生。期權(quán)作為金融衍生產(chǎn)品的一種，受到投資者的青睞。障礙期權(quán)是指在其生效過(guò)程中受到一定限制的期權(quán)，其目的是把投資者的收益或者損失控制在一定范圍之內(nèi)。一般關(guān)于障礙期權(quán)的討論往往只涉及比較簡(jiǎn)單的情況，即期權(quán)障礙是恒定不變的。但期權(quán)障礙是會(huì)隨時(shí)間而變化的，在此情況下的障礙期權(quán)的定價(jià)則是金融研究的關(guān)鍵問(wèn)題。障礙期權(quán)一般分為兩類，即敲入期權(quán)和敲出期權(quán)。在市場(chǎng)利率波動(dòng)的情況下，例如對(duì)于一個(gè)看漲的標(biāo)的物，投資者購(gòu)買現(xiàn)貨可能要承擔(dān)標(biāo)的物價(jià)格下降的風(fēng)險(xiǎn)，為了規(guī)避這種風(fēng)險(xiǎn)，投資者更傾向于選擇支付手續(xù)費(fèi)購(gòu)買看漲期權(quán)產(chǎn)品。

1 模型定價(jià)

Black，Scholes[1]和Merton[2]創(chuàng)造性地提出了Black-Scholes 模型。該模型是期權(quán)定價(jià)理論的重要內(nèi)容之一，是金融工程研究的基礎(chǔ)。他們?cè)谄跈?quán)定價(jià)模型方面基礎(chǔ)性的工作促進(jìn)了衍生產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)和研究，使金融工程得到飛躍的發(fā)展。

1.1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式

Black-Scholes的期權(quán)定價(jià)理論假設(shè)條件如下：（1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)比例遵循一般化的維納過(guò)程，該假定等價(jià)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布;（2）允許使用全部所得賣空衍生資產(chǎn);（3）沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收;（4）不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì);（5）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同。

St表示標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t的價(jià)格;K表示期權(quán)的敲定價(jià)格;T表示期權(quán)的到期日;t表示目前期權(quán)所處的時(shí)刻，τ=T-t表示期權(quán)的有效時(shí)間;B（τ）=Be-γT表示障礙水平，其中B，γ為常數(shù)，B（τ）隨τ的改變而呈指數(shù)改變。

其中，N（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的概率值;假設(shè)股票的連續(xù)收益滿足布朗運(yùn)動(dòng)Wt（布朗運(yùn)動(dòng)：獨(dú)立平穩(wěn)增量的隨機(jī)過(guò)程，每個(gè)區(qū)間上的增量滿足正態(tài)分布。即股票價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)。）但是Black-Scholes 模型在實(shí)際應(yīng)用中存在著許多局限性，例如：利率和波動(dòng)率都是不隨時(shí)間變化的常數(shù)，這和現(xiàn)實(shí)相差較大。

1.2 Black-Scholes微分方程

資產(chǎn)價(jià)格滿足如下隨機(jī)微分方程：

V代表期權(quán)的價(jià)格，S代表股票現(xiàn)價(jià)，Δ表示購(gòu)買股票的份額，r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，Bt表示一維布朗運(yùn)動(dòng)，μ表示期望回報(bào)率，σ表示波動(dòng)率，μ和σ是常數(shù)。在t時(shí)刻構(gòu)造Π=V-ΔS的投資組合。

1.3 障礙期權(quán)定價(jià)

障礙期權(quán)分為如下八種情況：

期權(quán)價(jià)格滿足的偏微分方程其實(shí)是普通障礙期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，可歸結(jié)為一個(gè)求解拋物型偏微分方程的問(wèn)題。在定解范圍內(nèi)，所有的障礙期權(quán)都滿足B-S方程：

（1）產(chǎn)品的期限為12個(gè)月：每個(gè)月的敲出觀察日，如果中證500指數(shù)價(jià)格高過(guò)敲出界限100%，產(chǎn)品提前結(jié)束，客戶收取票息（年化14%）。

（2）如果產(chǎn)品到期日還沒(méi)有敲出，現(xiàn)金流會(huì)是如下兩種情況：

①產(chǎn)品周期內(nèi)沒(méi)有敲入（中證500指數(shù)沒(méi)有低過(guò)86%），客戶收取紅利票息14%。

②產(chǎn)品周期內(nèi)發(fā)生敲入事件（中證500價(jià)格曾低過(guò)86%），客戶出現(xiàn)虧損：

（1-期末價(jià)格/期初價(jià)格）*本金

定價(jià)假設(shè)：中證500期初價(jià)格=4000;利率=0;分紅率=0;Flat vol surface=11%;中證500指數(shù)遵循指數(shù)正態(tài)過(guò)程。

將各指標(biāo)代入上文的求解過(guò)程，用Python求解可得如圖1結(jié)果。

三維坐標(biāo)分別表示該產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的定價(jià)、票息和時(shí)間。本文將該障礙期權(quán)看成下降敲入期權(quán)和上升敲出期權(quán)的組合，分開(kāi)求解繪制成如上的價(jià)格過(guò)程。

產(chǎn)品化結(jié)構(gòu)已經(jīng)變得越來(lái)越流行，而這些產(chǎn)品可以分化成障礙期權(quán)的組合形式，其中心思想是小概率事件的應(yīng)用，以保障金融市場(chǎng)中買賣雙方的利益，為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，（81）：637-654.

[2]Merton R.The theory of rational option pricing[J].The Bell Journal of Economic Management Science，1973，（4）：141-183.

[3]Hull J，White A.The pricing of options on assets with stochastic volatilities[J].Journal of Finance，1987，（42）：281-300.

[4]劉國(guó)買，鄒捷中.雙邊敲出障礙期權(quán)的定價(jià)模型[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2003，20（04）：31-37.