鄭偉連，張讓威

（中國(guó)航發(fā)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，沈陽(yáng)110015）

0 引言

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞除齒輪傳動(dòng)、連桿傳動(dòng)和鏈條傳動(dòng)等結(jié)構(gòu)形式外，軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)也得到了廣泛應(yīng)用。馮春玲等對(duì)軟軸鋼索的研制過(guò)程和關(guān)鍵技術(shù)開展了研究[1-3]。石曉龍對(duì)復(fù)材飛機(jī)操縱鋼索的設(shè)計(jì)和應(yīng)用進(jìn)行了論述，總結(jié)性的提出了軟式鋼索操縱的設(shè)計(jì)步驟[4]。楊春寧等在利用等效動(dòng)態(tài)模型法建立某型飛機(jī)機(jī)械式操縱系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)模型時(shí)，采用硬式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的建模處理方法對(duì)軟式鋼索進(jìn)行等效處理[5]。金忠慶[6-9]等開展了對(duì)鋼絲繩傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的分析與實(shí)驗(yàn)研究。但是，目前對(duì)軟軸推拉鋼索運(yùn)動(dòng)傳遞關(guān)系尚未建立有效的數(shù)學(xué)模型，基于軟軸推拉鋼索的運(yùn)動(dòng)關(guān)系傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)還停留在試驗(yàn)仿真模擬階段。

本文通過(guò)對(duì)軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化，建立軟軸推拉鋼索運(yùn)動(dòng)關(guān)系傳遞模型?；谠撃Ｐ蛯?duì)發(fā)動(dòng)機(jī)中采用軟軸推拉鋼索實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)關(guān)系傳遞的主燃油泵調(diào)節(jié)器和高壓壓氣機(jī)靜子可調(diào)葉片角度反饋機(jī)構(gòu)進(jìn)行了建模，得到運(yùn)動(dòng)關(guān)系傳遞函數(shù)并進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 軟軸推拉鋼索的建模

軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)由內(nèi)心鋼絲繩、復(fù)合外套、導(dǎo)向桿、螺母等組成，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。內(nèi)芯鋼絲繩在復(fù)合套管中的推拉運(yùn)動(dòng)傳遞運(yùn)動(dòng)關(guān)系，通過(guò)螺母將軟軸推拉鋼索兩端固定在發(fā)動(dòng)機(jī)外廓機(jī)匣上，導(dǎo)向桿可以繞螺母存在16°的偏轉(zhuǎn)角。

圖1 軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)

軟軸推拉鋼索在航空發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞中具有以下優(yōu)勢(shì)：

（1）可靠性較高。軟軸推拉鋼索結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，能夠滿足航空發(fā)動(dòng)機(jī)高可靠性的要求；

（2）體積小、質(zhì)量輕。1根長(zhǎng)度1700 mm的軟軸推拉鋼索質(zhì)量不大于0.5 kg；

（3）能夠適應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)的復(fù)雜外廓。軟軸推拉鋼索柔性，能夠滿足發(fā)動(dòng)機(jī)曲面弧形外廓的特點(diǎn)，占用空間小。

簡(jiǎn)化后的軟軸推拉鋼索如圖2所示。軟軸推拉鋼索由狀態(tài)1變成狀態(tài)2，內(nèi)芯鋼絲繩在套管中相對(duì)兩側(cè)固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。由于內(nèi)芯鋼絲繩和套管之間存在間隙，在往復(fù)拖動(dòng)鋼索時(shí)，拖動(dòng)初期存在響應(yīng)遲滯現(xiàn)象，即存在“空行程”ξ1。同時(shí)考慮內(nèi)芯鋼絲繩拉伸彈性，在拖動(dòng)力的作用下彈性變形量為ξ2。將鋼索的“空行程”和彈性變形引起的位移行程偏差統(tǒng)一定義為“空行程”:ξ=ξ1+ξ2。則內(nèi)芯鋼絲繩右端串動(dòng)量L1和左端串動(dòng)量L2滿足：L1=L2+ξ。同時(shí)導(dǎo)向桿能夠繞鋼索固定點(diǎn)擺動(dòng)，保證軟軸推拉鋼索能夠傳遞角度運(yùn)動(dòng)關(guān)系。因此軟軸推拉鋼索運(yùn)動(dòng)傳遞關(guān)系模型為

圖2 軟軸推拉鋼索運(yùn)動(dòng)模型

式中：△L1和△L2均為鋼索的位移絕對(duì)值。

2 軟軸推拉鋼索建模應(yīng)用

在某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)中，主燃油泵調(diào)節(jié)器（以下簡(jiǎn)稱主泵）將高壓壓氣機(jī)靜子可調(diào)葉片角度α2作為發(fā)動(dòng)機(jī)控制的輸入?yún)?shù)之一[10-12]。通過(guò)軟軸推拉鋼索及連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)主泵搖臂旋轉(zhuǎn)角度和α2作動(dòng)筒搖臂旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系的傳遞，將α2反饋給主泵。結(jié)構(gòu)形式如圖3、4所示，簡(jiǎn)化后的反饋調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)如圖5所示。

圖3 主燃油泵控制器搖臂結(jié)構(gòu)

圖4 α2作動(dòng)筒搖臂結(jié)構(gòu)

圖5 簡(jiǎn)化后的a2角位移反饋機(jī)構(gòu)

在圖 5 中：L11=40 mm，L12=210 mm，a1的初始角度為 60°（可調(diào)），轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍為 30°；L22=190 mm，a2的初始角度為50°，轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍為45°。在反饋機(jī)構(gòu)安裝過(guò)程中，通過(guò)調(diào)節(jié)L21的長(zhǎng)度保證a1和a2的角度范圍關(guān)系相互協(xié)調(diào)，即當(dāng) a1=60°時(shí)，a2=50°；當(dāng) a1轉(zhuǎn)動(dòng)30°后，a1=60°-30°=30°時(shí)，a2=50°+45°=95°。

設(shè)主泵搖臂擺動(dòng)角度為 y，0＜y＜30°，則搖臂擺動(dòng)過(guò)程中L13的伸長(zhǎng)量為

△L13隨主泵搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)的變化曲線如圖6所示。

從圖中可見，△L13單調(diào)增加，求出最大的△L13Max=16.64 mm。依據(jù)軟軸推拉鋼索運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞特點(diǎn)：△L13=△L23+ξ，求出此時(shí)L23的長(zhǎng)度

該型軟軸推拉鋼索的產(chǎn)品說(shuō)明書中描述其“空行程”不大于1 mm，本文取“空行程”ξ=1mm 。求得 L21＝20.87 mm。

為了使L11的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍（0～30°）和L21的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍（0～45°）一致，主泵搖臂初始角度α1和α2作動(dòng)機(jī)構(gòu)搖臂長(zhǎng)度L21之間的關(guān)系曲線如圖7所示，并應(yīng)滿足

圖6 △L13隨主泵搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)的變化曲線

圖7 a1和L21約束關(guān)系曲線

從圖中曲線可以得出：在滿足搖臂擺動(dòng)角度行程協(xié)調(diào)的情況下，α2作動(dòng)筒搖臂的長(zhǎng)度存在1個(gè)極大值。

主泵搖臂和α2作動(dòng)筒搖臂角度關(guān)系的傳遞通過(guò)軟軸推拉鋼索實(shí)現(xiàn)?；诘?章的建模，得到鋼索兩端的移動(dòng)量分別為

當(dāng)正向拖動(dòng)鋼索時(shí)（正行程），滿足

當(dāng)反向拖動(dòng)鋼索時(shí)（反行程），滿足

當(dāng)忽略鋼索空行程時(shí)，滿足

主泵搖臂角度α1和α2作動(dòng)筒搖臂角度α2運(yùn)動(dòng)關(guān)系曲線如圖8所示。

由于“空行程”的存在，導(dǎo)致“理論曲線”發(fā)生平行偏移，即主泵搖臂角度α1和α2作動(dòng)筒搖臂角度α2對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)在2條“曲線帶”內(nèi)。

將發(fā)動(dòng)機(jī)理論計(jì)算得到的α1和α2關(guān)系曲線和發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際裝配過(guò)程中排除“空行程”后測(cè)得的a1和a2關(guān)系數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表1，并如圖9所示。從圖中可見，理論計(jì)算關(guān)系曲線和實(shí)際測(cè)量結(jié)果接近，偏差小于3%，證明了建模方法的合理性和建模結(jié)果的有效性。

圖8 a1和a2理論關(guān)系曲線

圖9 a1和a2理論關(guān)系曲線和實(shí)測(cè)值對(duì)比

表1 a1和a2關(guān)系實(shí)測(cè)數(shù)據(jù) （°）

3 關(guān)系曲線的優(yōu)化設(shè)計(jì)

第2章中得到的a1的a2理論關(guān)系曲線為1個(gè)非線性的函數(shù)關(guān)系。在工程實(shí)際中，為了對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的控制規(guī)律進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)掌握和調(diào)節(jié)，需要根據(jù)主泵搖臂角度a1的讀數(shù)計(jì)算a2角度。由于a1的a2理論關(guān)系曲線的非線性給計(jì)算帶來(lái)了困難，發(fā)動(dòng)機(jī)試車人員通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)作圖描點(diǎn)的方法確定a1的a2對(duì)應(yīng)關(guān)系，存在準(zhǔn)確性差、效率低的問(wèn)題。

為了降低發(fā)動(dòng)機(jī)試車現(xiàn)場(chǎng)試車人員的工作難度，有必要對(duì)a1和a2的理論關(guān)系曲線進(jìn)行優(yōu)化，得到近似線性形式的關(guān)系曲線函數(shù)。

定義理想的1階線性函數(shù)為

式中：a、b為線性函數(shù)系數(shù)。

由于a1和a2角度關(guān)系分別滿足其角度行程范圍，即當(dāng) a1=60°時(shí)，a2=50°；當(dāng) a1=30°時(shí)，a2=95°。即理想線性函數(shù)通過(guò)點(diǎn)（50，60）和點(diǎn)（95，30）。因此得到理想線性函數(shù)

通過(guò)對(duì)a1初始角度和L21進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)的a1和L21組合，使得a1和a2的關(guān)系曲線近似于式（11）的直線形式。

同時(shí)還必須保證a1和a2的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍協(xié)調(diào)一致，即需要滿足式（4）規(guī)定的a1和L21約束關(guān)系。

理論關(guān)系曲線的隱函數(shù)表達(dá)式為

式中：a0為a1的初始角度。

a0和L21為優(yōu)化變量。由于“空行程”僅會(huì)引起a1和a2關(guān)系曲線平移，不影響其線型，此處未考慮“空行程”對(duì)關(guān)系曲線的影響。

定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式中：y1為a1和a2理論關(guān)系曲線隱函數(shù)（式（12））；y2為理想線性函數(shù)（式（11））。

為使得優(yōu)化曲線y1和理想線性曲線y2更加“貼合”，定義優(yōu)化目標(biāo)為陰影部分的面積最小，如圖10所示。即求出最優(yōu)的主泵搖臂的初始角度a0和a2作動(dòng)筒搖臂長(zhǎng)度L21使得a1和a2理論關(guān)系趨近如式（11）所示的直線形式。

同時(shí)優(yōu)化變量a0和L21還必須滿足如下約束關(guān)系

以上優(yōu)化問(wèn)題為1個(gè)包含約束的非線性優(yōu)化問(wèn)題。

共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的1個(gè)方法，克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn)，又避免了牛頓法需要存儲(chǔ)和計(jì)算Hesse矩陣并求逆的缺點(diǎn)，是解決非線性最優(yōu)化問(wèn)題最有效的算法之一[13-15]。采用共軛梯度法對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得出優(yōu)化結(jié)果為：a0=62.3°，L21=22.88 mm。a1和 a2理論關(guān)系曲線優(yōu)化前、后的結(jié)果對(duì)比如圖11所示。在發(fā)動(dòng)機(jī)總裝安裝推拉反饋鋼索時(shí)，保證主泵搖臂初始角a0=62.3°，α2作動(dòng)筒搖臂長(zhǎng)度L21=22.88 mm，測(cè)量a1和a2關(guān)系數(shù)據(jù)實(shí)測(cè)值。將實(shí)際測(cè)量結(jié)果和式（11）的理想線性函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如圖12所示。實(shí)際測(cè)量結(jié)果和理想線性函數(shù)的誤差小于1%，達(dá)到了優(yōu)化的目標(biāo)。

圖11 優(yōu)化后的a1和a2理論關(guān)系曲線

圖12 優(yōu)化后關(guān)系曲線和實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

本文對(duì)軟軸推拉鋼索運(yùn)動(dòng)的傳遞關(guān)系建立了模型，并通過(guò)航空發(fā)動(dòng)機(jī)上的應(yīng)用實(shí)例對(duì)建模進(jìn)行了驗(yàn)證，得出結(jié)論如下：

（1）基于軟軸推拉鋼索位移絕對(duì)值構(gòu)建的運(yùn)動(dòng)關(guān)系傳遞模型能夠準(zhǔn)確地描述軟軸推拉鋼索的運(yùn)動(dòng)關(guān)系；

（2）通過(guò)對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)α2反饋調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)模型的構(gòu)建和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的優(yōu)化設(shè)計(jì)，表明本方法切實(shí)可行；

（3）通過(guò)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)主泵搖臂初始角度和α2作動(dòng)機(jī)構(gòu)搖臂長(zhǎng)度的調(diào)節(jié)可以將α2關(guān)系曲線變成直線。