王澤,張毅
(1. 蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州 215009;2. 蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院,江蘇 蘇州 215011)
分?jǐn)?shù)階微積分為解決非保守動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一個(gè)重要工具[1-2]。2005年,El-Nabulsi依據(jù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義提出了建立非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的一個(gè)方法[3],并進(jìn)一步推廣到基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分和按周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分情形[4-5]。由該方法建立的非保守動(dòng)力學(xué)模型可稱(chēng)為El-Nabulsi擬分?jǐn)?shù)階模型。張毅等[6]提出并建立了擬分?jǐn)?shù)階模型下Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)性理論,文獻(xiàn)[7]將結(jié)果推廣到基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分情形。龍梓軒等證明了擬分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)和擬分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)的Noether定理[8-10]。張孝彩等[11]研究了擬分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)性與Hojman守恒量。文獻(xiàn)[12-16]研究了基于El-Nabulsi擬分?jǐn)?shù)階模型非保守系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性攝動(dòng)與絕熱不變量。但是,關(guān)于事件空間中基于El-Nabulsi擬分?jǐn)?shù)階模型的非保守動(dòng)力學(xué)及其對(duì)稱(chēng)性研究尚沒(méi)有見(jiàn)到報(bào)道。本文將研究事件空間中El-Nabulsi擬變分問(wèn)題及其動(dòng)力學(xué)方程,建立事件空間中按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型下完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)的Noether定理。
設(shè)f(t),t∈[a,b]是連續(xù)函數(shù),按周期律拓展的α階分?jǐn)?shù)階積分定義為[5]
(1)
(2)
不失一般性,以下僅討論余弦函數(shù)情形。考慮由n個(gè)廣義坐標(biāo)qk(k=1,2,,n)確定的力學(xué)系統(tǒng),其(n+1)維擴(kuò)充的位形空間,即事件空間,點(diǎn)的坐標(biāo)是廣義坐標(biāo)qk和時(shí)間τ。引入記號(hào)
x1=τ,xk+1=qk,(k=1,2,,n)
(3)
其中xs(s=1,2,,n+1)是參數(shù)σ的函數(shù),有C2類(lèi)曲線xs=xs(σ),使得
(4)
不同時(shí)為零,得
(5)
(6)
則事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的提法為:求積分泛函
(7)
在固定邊界條件
xs(a)=xs,a,xs(b)=xs,b,(s=1,2,,n+1)
(8)
下的極值問(wèn)題,其中γ是某曲線,Γ是Euler-Gamma函數(shù),0<α≤1,τ是固有時(shí)間,t是觀察者時(shí)間,σ是某參數(shù),τ≠t。
泛函(7)也稱(chēng)為作用量。當(dāng)α=1時(shí),上述變分問(wèn)題退化為事件空間中力學(xué)系統(tǒng)的經(jīng)典變分問(wèn)題。若泛函(7)在xs=xs(σ)上取得極值,則
(9)
由邊界條件(8),有
可得
(10)
將式(10)代入式(9),有
(11)
因?yàn)榉e分區(qū)間[a,b]的任意性,所以
(12)
式(12)可稱(chēng)為事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的D’Alembert-Lagrange原理。該原理不僅適用于完整非保守系統(tǒng),也適用于非完整非保守系統(tǒng)。
對(duì)于完整系統(tǒng),δxs(s=1,2,,n+1)相互獨(dú)立,因此由式(12)可得
(13)
方程(13)是事件空間中非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Lagrange方程。
對(duì)于非完整系統(tǒng),設(shè)非完整約束為
(14)
約束(14)加在虛位移上的限制條件為[17]
(15)
因?yàn)棣膞s(s=1,2,,n+1)不全獨(dú)立,由事件空間中D’Alembert-Lagrange原理(12)和條件(15),運(yùn)用Lagrange乘子法,得
(16)
其中λβ為約束乘子,方程(16)就是事件空間中非完整系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Lagrange方程。
引入無(wú)限小群變換
(17)
其展開(kāi)式為
(18)
計(jì)算
其中
由于非等時(shí)變分運(yùn)算Δ與等時(shí)變分運(yùn)算δ之間成立關(guān)系[17]
ΔF=δF+F′Δσ
(21)
這里F為任意函數(shù),因此得到
(22)
利用關(guān)系式(22),式(20)可表為
(23)
由式(17)和(22),上式可進(jìn)一步表為
(24)
公式(20)和(24)是事件空間中基于按周期律拓展的作用量泛函(7)的兩個(gè)變分公式。
首先,研究事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether對(duì)稱(chēng)變換。
定義1 如果作用量泛函(7)是無(wú)限小群變換(17)的不變量,那么對(duì)每一個(gè)無(wú)限小變換,始終成立
(25)
可稱(chēng)變換(17)為事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱(chēng)變換。
由變分公式(20),(24),我們得如下判據(jù)。
判據(jù)1 對(duì)于無(wú)限小群變換(17),若滿足條件
(26)
則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱(chēng)變換。
判據(jù)2 對(duì)于無(wú)限小群變換(17),如果滿足r個(gè)方程
(27)
則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱(chēng)變換。
由于
(28)
故式(26)歸為如下r個(gè)方程
(29)
當(dāng)r=1時(shí),方程(29)給出的Noether等式為
(30)
其次,研究事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。
設(shè)Λ′是事件空間中另一Lagrange函數(shù),若滿足以下條件(精確到一階小量)
則作用量泛函(7)是變換(17)下的準(zhǔn)不變量。在此情形下的變換(17)稱(chēng)為事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。顯然
(32)
將式(32)代入式(31),得
(33)
由于式(33)的左端是一階小量,因此可用ΔG代替G,而
(34)
所以可得
定義2 如果作用量泛函(7)是無(wú)限小群變換(17)的準(zhǔn)不變量,即對(duì)每一個(gè)無(wú)限小變換,始終成立
(35)
判據(jù)3 對(duì)于無(wú)限小群變換(17),若滿足條件
則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。
判據(jù)4 對(duì)于無(wú)限小群變換(18),如果滿足r個(gè)方程
(37)
其中
ΔG=εμGμ
(38)
則變換(17)是事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。
式(36)歸為如下r個(gè)方程
當(dāng)取r=1時(shí),方程(39)成為Noether等式
應(yīng)用以上判據(jù)可以求得事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱(chēng)變換和Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。
(41)
對(duì)于事件空間中完整非保守系統(tǒng),守恒量可由基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱(chēng)變換或Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換求得。故有
定理1 對(duì)于事件空間中完整非保守系統(tǒng)(13),若無(wú)限小群變換(17)是基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱(chēng)變換,則系統(tǒng)存在以下r個(gè)線性獨(dú)立的守恒量
(42)
(43)
將方程(13)代入上式,由積分區(qū)間的任意性和參數(shù)εμ的獨(dú)立性,得到
(44)
積分后,便得式(42)。證畢。
定理2 對(duì)于事件空間中完整非保守系統(tǒng)(13),如果無(wú)限小群變換(17)是基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換,則系統(tǒng)存在以下r個(gè)線性獨(dú)立的守恒量
(45)
定理1和定理2可稱(chēng)為事件空間中完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether定理。由上述定理,守恒量可由事件空間中完整非保守系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)變換或Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換求得。
由于
(46)
將式(46)代入式(15),考慮到εμ的獨(dú)立性,得
(47)
即為事件空間中非完整約束(14)對(duì)無(wú)限小生成函數(shù)的限制方程。故有
定理3 對(duì)于事件空間中非完整非保守系統(tǒng)(14)(16),若無(wú)限小群變換(17)是基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換,且滿足限制方程(47),則系統(tǒng)存在如下r個(gè)線性獨(dú)立的守恒量
(48)
證明由于Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換的定義,可得
(49)
或?qū)懗尚问?/p>
(50)
由于滿足限制方程(47),因此有
(51)
將式(51)和式(50)相加,得
(52)
將方程(16)代入式(52),注意到積分區(qū)間的任意性和參數(shù)εμ的獨(dú)立性,得到
(53)
積分之,便得到式(48)。證畢。
定理3可稱(chēng)為事件空間中非完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether定理。當(dāng)沒(méi)有非完整約束時(shí),則定理3退化為定理2;如果還滿足Gμ=0,則定理3退化為定理1。
例1 設(shè)非完整非保守系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為
(54)
非完整約束為
(55)
在事件空間中,Lagrange函數(shù)可表示為
(56)
非完整約束可表示為
(57)
方程(16)的后面兩個(gè)方程給出
(58)
由方程(57)和(58)可解得
(59)
于是方程(57)給出
(60)
(61)
例2 在平面Kepler問(wèn)題的Lagrange函數(shù)為
(62)
試研究事件空間中該系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether對(duì)稱(chēng)性與守恒量。
首先,事件空間中Noether等式(39)給出
=-G′sec((α-1)(t-σ))
(63)
方程(63)有解
ξ0=0,ξ1=0,ξ2=-x3,ξ3=x2,G=0
(64)
(65)
由判據(jù)1,生成元(64)相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)變換。由定理1,系統(tǒng)存在如下守恒量
(66)
這是我們基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型得到的由該系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致的守恒量。
由判據(jù)3,生成元(65)相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。由定理2,守恒量(45)給出。
I=0
(67)
式(67)表明:與生成元(65)相應(yīng)的守恒量是平庸的。
文章研究了事件空間中完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether對(duì)稱(chēng)性,建立了相應(yīng)的Noether定理。文章的主要工作:首先,提出了事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題,導(dǎo)出了該模型下完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)的Lagrange方程;其次,給出事件空間中基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether對(duì)稱(chēng)變換與Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換的定義和判據(jù);最后,建立并證明了事件空間中完整非保守系統(tǒng)和非完整非保守系統(tǒng)基于按周期律拓展的擬分?jǐn)?shù)階模型的Noether定理。本文方法可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于研究事件空間中非保守系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)性和Mei對(duì)稱(chēng)性及其守恒量,也可進(jìn)一步推廣到事件空間中Birkhoff系統(tǒng)等。
中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)(中英文)2019年6期