徐利杰，陳 卓，朱曉丹，薄 超，張宏偉

(1.中國航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京 210007； 2.中國航天科工集團(tuán)第二研究院研究生院，北京 100854)

0 引言

相位干涉儀由于其測量精度高，被廣泛應(yīng)用于無源探測和偵察中。對于地面固定站對空中運(yùn)動目標(biāo)的測向定位來說，相位干涉儀不僅可以實(shí)現(xiàn)測向，而且可以對目標(biāo)輻射源進(jìn)行測距定位，是實(shí)現(xiàn)地對空測向定位的重要方法。

國內(nèi)外眾多學(xué)者對基于等長基線干涉儀的地面固定站對空中運(yùn)動目標(biāo)的定位跟蹤原理及方法進(jìn)行了研究分析。文獻(xiàn)[1]對干涉儀無源測距問題進(jìn)行了研究，提出了比相測距方法。文獻(xiàn)[2～3]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上對線性天線陣比相測距方法的距離分辨力、定位精度、解相位模糊等一系列關(guān)鍵問題進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[4～6]在文獻(xiàn)[2～3]基礎(chǔ)上進(jìn)行了詳細(xì)的研究。其中，文獻(xiàn)[4]采用了虛擬基線法來解模糊，并對解模糊正確概率和測距相對誤差進(jìn)行了仿真分析；文獻(xiàn)[5]指出相位差精度對基線精度具有非常嚴(yán)格的要求，并對不同基線長度對不同頻段信號的定位精度進(jìn)行了仿真分析；文獻(xiàn)[6]改變了基線布置方式，采用了平行不共線的布陣方式，并對基線安裝距離誤差進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[7]對比相測距方法進(jìn)行了系統(tǒng)設(shè)計(jì)，提出長短基線多接收機(jī)定位系統(tǒng)，并對其中的關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了分析，仿真分析表明定位精度可以滿足無源系統(tǒng)對目標(biāo)定位精度的需求。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于虛擬基線的臨近多站無源定位方法，該方法以已知輻射源方位為前提，對某一限定區(qū)域內(nèi)任意散布的接收天線陣元以虛擬基線為基準(zhǔn)進(jìn)行正交投影，通過引入目標(biāo)到虛擬陣元和真實(shí)陣元的距離差觀測量推導(dǎo)了定位算法，但對距離差的測量精度的要求特別高。

上述文獻(xiàn)主要對基于等長基線干涉儀的相位差測距定位原理進(jìn)行研究分析，對于天線位置偏移對相位差造成的影響，文獻(xiàn)[5～6]對此進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)[5]提出以提高陣元安裝精度的方法來減少由陣元位置引起的相位差偏差，但并沒有給出校正方法。文獻(xiàn)[8]中加入的距離差觀測量實(shí)際就包含了相位差的偏差,但是實(shí)現(xiàn)距離差的高精度測量比較困難。本文在分析定位基本原理的基礎(chǔ)上，指出相位差測量精度會對定位精度產(chǎn)生較大的影響，而陣元位置偏差是影響相位差精度的重要因素之一。本文重點(diǎn)對由陣元位置偏差引起的相位差偏差的校正方法進(jìn)行了研究,得出了陣元的相位差偏差不僅與陣元偏移位置有關(guān)、還與目標(biāo)和該陣元連線與基線的夾角(為方便起見，后稱陣元方位角)有關(guān)的結(jié)論。

1 定位基本原理

如圖1所示，目標(biāo)T與基線AOB的夾角為β，相鄰陣元之間的距離為d，目標(biāo)與三個(gè)陣元的距離分別為RA、R、RB，記RA=R+rA，RB=R-rB，陣元A和B與陣元O之間的相位差為φA和φB。

圖1 等長基線干涉儀測距定位原理圖

1.1 理論推導(dǎo)

對于陣元A由余弦定理可得：

2dRcos(π-β)=d2+R2-(R+rA)2

(1)

則：

φA=2πR/λ(1+d2/R2+2dcosβ/R)1/2-1)

(2)

對式(2)進(jìn)行泰勒展開，近似可得：

φA≈2π/λ(dcosβ+d2sin2β/(2R))

(3)

同理，對于陣元B有：

φB≈2π/λ(dcosβ-d2sin2β/(2R))

(4)

當(dāng)d較長時(shí)，πd2sin2β/(λR)不可忽略，此時(shí)目標(biāo)信號非平行入射，φA≠φB，相位差包含了目標(biāo)距離信息，但是也含有模糊部分2πdcosβ/λ。由于是等長基線干涉儀，式(3)和式(4)相減，可以消去模糊項(xiàng)，得差分相位差：

φAB=φA-φB=2πd2sin2β/(λR)

(5)

從而得到測距定位公式如下：

R=2πd2sin2β/(λφAB)

(6)

由式(5)可知，當(dāng)基線長度、波長，方位角以及距離滿足d2sin2β/(λR)>1時(shí)，差分相位差會出現(xiàn)模糊，需進(jìn)行解模糊計(jì)算。由式(6)可知，要想求得目標(biāo)距干涉儀中心的距離需要獲得目標(biāo)輻射源到等長基線干涉儀的差分相位差和方位角。

1.2 定位誤差分析

根據(jù)測距定位公式(6)，可知測距定位誤差主要來源于差分相位差的誤差δφ，方位角誤差δβ以及陣間距誤差δd，誤差傳播公式為：

δR=-λR2/(2πd2sin2β)δφ+2Rcosβ/sinβδβ+2R/dδd

(7)

相對誤差為：

δR/R=-λR/(2πd2sin2β)δφ+2cosβ/sinβ)δβ+2/dδd

(8)

基線長度誤差δd是由陣元安裝過程中存在的誤差造成，當(dāng)布陣確定時(shí)，δd也隨之確定。目前使用高精度測量儀器進(jìn)行輔助安裝時(shí)，可以將基線長度的誤差控制在比較小的量級。比起幾十上百米的基線長度，由δd直接引起的的測距定位誤差可以忽略不計(jì)。由式(7)和式(8)可知，差分相位差的誤差δφ和方位角誤差δβ是隨機(jī)分布誤差，是影響測距定位精度的主要因素。

2 相位差校正基本原理

實(shí)際情況下，陣元不會準(zhǔn)確地安裝在理想位置上，會有一定的偏差。雖然從上述分析中可知，在高精度測量儀器輔助安裝時(shí)由基線長度誤差δd直接引起的的測距定位誤差可以忽略不計(jì)，但是陣元位置偏移使等長基線變成非等長基線，由式(3)和式(4)可知，當(dāng)這些基線長度偏差與信號波長相比擬甚至比波長更長時(shí)，相位差φ會產(chǎn)生較大的偏差，這主要反映在模糊部分2π/λdcosβ中，從而導(dǎo)致在求差分相位差時(shí)這部分模糊相位差不能抵消，使差分相位差的誤差變大，最終導(dǎo)致定位結(jié)果惡化。因此本文提出一種基于外部校正源的等長基線干涉儀相位差校正方法，對由陣元位置偏差引起的相位差偏差進(jìn)行校正，減少陣元位置偏移對定位結(jié)果的影響。

2.1 理論推導(dǎo)

如圖2所示，二維情況下三陣元等長基線干涉儀AOB在實(shí)際中存在一定的陣元位置誤差。圖2中陣元A、陣元B和陣元O是理想的陣元位置。不失一般性，假設(shè)AOB位于x軸，陣元O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合且陣元O理想位置和實(shí)際位置重合。陣元A和陣元B的實(shí)際位置分別是A′和B′。Ti是校正源，位置已知，與理想陣元位置的距離分別為RAi、Ri、RBi，與實(shí)際陣元位置的距離分別為RA′i、RB′i，與理想陣元連線和x軸正方向夾角分別為αAi、αi、αBi，其中i=1,2…。αAi和αBi為陣元方位角，αi為方位角。假設(shè)陣元偏離理想位置的偏移距離為LA和LB，偏移位置和x軸正方向夾角為γA和γB(后簡稱偏移角)?？梢哉J(rèn)為當(dāng)布陣固定時(shí)，偏移距離和偏移角就是固定值。

圖2 相位差校正原理示意圖

首先對陣元A進(jìn)行分析，假設(shè)等長基線干涉儀實(shí)際測得的相位差為φA′i，理想陣元位置計(jì)算得相位差φAi，其中i=1,2，…，可得到：

φAi=2π/λ(RAi-Ri)

φA′i=2π/λ(RA′i-Ri)

(9)

設(shè)由陣元位置偏移引起的相位差偏差為ΔφAi，則可得到：

ΔφAi=φAi-φA′i=2π/λ(RAi-RA′i)

(10)

由式(10)可知，相位差偏差是由距離差引起的。設(shè)αAi,αi∈[0°,180°]，γA∈(-180°,180°]，由余弦定理可知：

(11)

整理得距離差：

(12)

等長基線干涉儀陣元偏移距離是厘米甚至是毫米量級的，對于校正源的距離來說可忽略不計(jì)，距離差對于距離來說是一個(gè)非常小的值，因此距離差可近似為：

RAi-RA′i=LAcos(αAi-γA)

(13)

由此可以得到陣元A的相位差偏差值：

ΔφAi=2π/λLAcos(αAi-γA)

(14)

同理可得，陣元B的相位差偏差值為：

ΔφBi=-2π/λLBcos(αBi-γB)

(15)

由式(14)和式(15)可知，陣元偏移位置和陣元方位角是影響相位差偏差的重要因素。要解LA、γA和LB、γB至少需要2組方程，也就是說至少需要2個(gè)校正源。不失一般性，任取2個(gè)校正源設(shè)為T1和T2，聯(lián)合2個(gè)校正源得到關(guān)于陣元A的方程如下：

(16)

ΔφA=AXA

(17)

γk的象限由分子yk和分母xk共同決定，k代表陣元A或陣元B。通過目標(biāo)的陣元方位角αk、偏移距離Lk和偏移角γk可以獲得任意目標(biāo)的基于等長基線干涉儀的陣元相位差偏差：

Δφk=±2π/λLkcos(αk-γk)

(20)

如式(20)所示，其中正號代表中心陣元左邊的陣元，負(fù)號代表中心陣元右邊的陣元。當(dāng)布陣確定時(shí)，相位差偏差僅與陣元方位角有關(guān)，將式(18)和式(19)代入式(20)化簡可得：

Δφk=Δφk1sin(αk2-αk)/sin(αk2-αk1)+

Δφk2sin(αk-αk1)/sin(αk2-αk1)

(21)

從式(21)可知，校正值也可以通過校正源的相位差偏差和陣元方位角以及目標(biāo)的陣元方位角求得。

2.2 校正誤差分析

根據(jù)式(21)，校正值的誤差主要來源包括目標(biāo)陣元方位角誤差δαk和校正源的相位差偏差誤差δΔφki，在精確測量的情況下校正源的方位角誤差δαki可以忽略不計(jì)，則誤差傳播公式為：

(22)

觀察式(22)發(fā)現(xiàn)分母中含有sin(αk2-αk1)，當(dāng)|sin(αk2-αk1)|的值越接近1，校正值的誤差就越小，即當(dāng)兩個(gè)校正源陣元方位角αki的差值越接近±90°，校正值的誤差就越小。另外，由式(22)可知，相位差校正值精度主要與目標(biāo)陣元方位角誤差δαk和校正源的相位差偏差誤差δΔφki有關(guān)。對于某一固定目標(biāo)陣元方位角αk，校正值誤差與δαk和δΔφki呈線性關(guān)系。

從上面的分析可知，可以按如圖3的方式設(shè)置校正源的位置，可使校正值的誤差最小。即以(0,b)為圓心，過A(-d,0)、B(d,0)2點(diǎn)構(gòu)建半徑為R的圓。校正源T1和T2位于圓的一條直徑上，坐標(biāo)分別為T1(-R,b)、B(R,b)。根據(jù)圓的幾何特性可知，陣元A和B的兩個(gè)校正源的陣元方位角的差值為90°。

圖3 典型3陣元干涉儀陣元及校正源位置關(guān)系圖

以陣元A為例，將圖3中關(guān)系代入式(21)可得：

ΔφA=ΔφA1sin(αA-αA2)+ΔφA2cos(αA-αA2)

(23)

誤差傳播公式簡化為：

δΔφA=ΔφA1cos(αA-αA2)δαA-ΔφA2sin(αA-αA2)δαA+

sin(αA-αA2)δΔφA1+cos(αA-αA2)δΔφA2

(24)

另外，經(jīng)仿真分析可得基線長度d和圓半徑R的關(guān)系如表1所示。按照表格關(guān)系設(shè)置半徑可使校正源的相位差偏差和陣元方位角處于一個(gè)相對穩(wěn)定的值，可以讓校正源在盡可能近的距離內(nèi)減少校正算法的誤差，便于校正源的位置的選擇。

表1 半徑設(shè)置參考表

3 仿真分析

當(dāng)信號頻率較低，天線安裝精度較高時(shí)，天線偏移引起的相位差誤差較小，對定位結(jié)果的影響也比較?。划?dāng)信號頻率較高時(shí)，信號波長短，天線偏移引起的相位差誤差較大，對定位結(jié)果的影響也較大。因此本文主要針對高頻信號進(jìn)行仿真分析，選擇仿真信號頻率為10 GHz。設(shè)一個(gè)由3個(gè)陣元構(gòu)成的等長基線干涉儀，基線長度為25 m，三個(gè)陣元理想位置在二維直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)分別為A(-25,0)、O(0,0)、B(25,0)。實(shí)際中陣元的位置會存在一定的偏差，假設(shè)偏移距離LA和LB分別為0.01 m和0.05 m，偏移角γA和γB分別為-120°和45°。

3.1 校正誤差仿真分析

根據(jù)前面的理論推導(dǎo)和分析，構(gòu)建典型校正場景如圖3所示，2個(gè)校正源位于T1(-100,96.8)和T2(100,96.8)。對陣元A進(jìn)行校正值誤差仿真。假設(shè)目標(biāo)的陣元方位角為90°，校正源的相位差偏差誤差范圍為[0°，20°](r.m.s)，目標(biāo)陣元方位角誤差范圍[0°，2°](r.m.s)。

對校正值誤差與目標(biāo)的陣元方位角誤差的關(guān)系進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 校正值誤差與目標(biāo)的陣元方位角誤差的關(guān)系

從圖4中看出，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，校正值誤差和目標(biāo)陣元方位角誤差近似為線性關(guān)系。隨著目標(biāo)陣元方位角誤差變大，校正值的誤差也變大。另外，經(jīng)過仿真發(fā)現(xiàn)，校正值誤差和目標(biāo)陣元方位角誤差的曲線的斜率與偏移距離有關(guān)，偏移距離越大，斜率越大。這是由于偏移距離越大，相位差偏差就越大，結(jié)合式(14)和式(24)可從理論分析上證明該結(jié)論。因此，在不清楚陣元偏移距離的情況下，盡可能地減少陣元方位角的誤差有利于減少校正值的誤差。

對校正值誤差與校正源的相位差偏差誤差的關(guān)系進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 校正值誤差與校正源的相位差偏差誤差的關(guān)系

從圖5中看出，校正值誤差和校正源的相位差偏差誤差近似為線性關(guān)系，這與理論分析結(jié)果相符。隨著校正源相位差偏差誤差變大，校正值的誤差也變大。另外，經(jīng)仿真發(fā)現(xiàn)，校正源1和校正源2的誤差曲線斜率與校正源位置有關(guān)，當(dāng)校正源距離中心陣元較近時(shí)，校正值的誤差會變大；當(dāng)校正源距離中心陣元較遠(yuǎn)時(shí)，校正值誤差會變小；另外，當(dāng)校正源距離中心陣元達(dá)到一定距離后，校正值誤差會趨向于穩(wěn)定。這是因?yàn)榫嚯x的變化會引起陣元方位角的變化，當(dāng)達(dá)到一定距離時(shí)，陣元方位角隨距離的變化會更加緩慢，反映到誤差上就是誤差趨于穩(wěn)定，這與表1的仿真得到的結(jié)論一致。另外可知，2個(gè)校正源的距離中心陣元的距離可以不是嚴(yán)格等長，但是相差也不能太大。

從上述相位差校正值誤差和定位誤差仿真結(jié)果中可得如下結(jié)論：相位差校正值誤差與校正源的相位差偏差誤差、目標(biāo)的陣元方位角誤差有關(guān)，相位差校正值誤差隨著這些值得變大而變大；并且相位差校正值誤差會受陣元偏移距離和校正源與中心陣元距離的影響，偏移距離和校正源與中心陣元距離越大校正值誤差越大。

3.2 定位誤差仿真分析

對圖3的布陣情況進(jìn)行仿真分析，假設(shè)目標(biāo)范圍x∈[-300,300]km,y∈[0,300]km,目標(biāo)輻射源信號頻率10 GHz，各級等長基線測量的相位差誤差和校正源的相位差偏差誤差為10°(r.m.s)，目標(biāo)的方位角和陣元方位角誤差為1°(r.m.s)，對未經(jīng)相位差校正的定位精度進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 校正前定位相對誤差

從圖6可以看出，若直接用帶有陣元位置偏移的干涉儀來定位，會導(dǎo)致定位結(jié)果與實(shí)際情況相差很大，不能定位。

對經(jīng)過相位差校正后的定位精度進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 校正后定位相對誤差

從圖6和圖7的對比中可以看出經(jīng)相位差校正后的定位精度顯著提高，說明本文的相位差校正方法是正確的，可以改善等長基線干涉儀的定位結(jié)果；由圖7可知，在干涉儀法線方向附近定位效果最好，偏離干涉儀法線角度越大定位的相對誤差越大。

另外，在實(shí)際情形下，偵察系統(tǒng)是寬帶的，對于相位差校正來說不可能是對每一個(gè)頻點(diǎn)都做校正，因此在一定頻率范圍內(nèi)使用固定的校正表更具實(shí)用性。本文對相位差校正的頻率步進(jìn)進(jìn)行了仿真分析，經(jīng)仿真分析發(fā)現(xiàn)，在信號頻率在X波段時(shí)，以100 MHz為頻率步進(jìn)建立校正表能保證校正后的定位精度；當(dāng)頻率較低時(shí)，校正表的頻率步進(jìn)可以適當(dāng)放寬。

4 結(jié)束語

本文研究了等長基線干涉儀由陣元位置偏移引起相位差偏差問題，提出了一種校正方法，通過至少2個(gè)外部校正源建立方程，求解出陣元的偏移距離和偏移角，結(jié)合目標(biāo)的陣元方位角獲得各陣元的相位差校正值。仿真分析表明，在一定的偏移距離和一定的測量誤差內(nèi)，等長基線干涉儀經(jīng)過相位差校正后，校正后的定位誤差相對校正前的定位誤差有極大的改善，證明了校正方法的有效性，具有一定的工程借鑒價(jià)值。