漆昌云

摘 要：波達(dá)方向估計(jì)技術(shù)通過對回波信息的處理能夠確定信源的方位等相關(guān)信息。現(xiàn)階段的波達(dá)方向估計(jì)主要通過陣列的空間譜估計(jì)來實(shí)現(xiàn)，傳統(tǒng)的空間譜算法需要借助大量快拍數(shù)據(jù)才能獲得相對較高的分辨率。在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上，從波達(dá)方向估計(jì)信號的空間特性出發(fā)，引入了一種協(xié)方差向量稀疏表示的波達(dá)方向估計(jì)算法。仿真結(jié)果表明，所提算法與傳統(tǒng)算法相比波達(dá)方向估計(jì)的分辨率有所提高，在采樣數(shù)據(jù)相對較少的情況下也能精確恢復(fù)原信號。

關(guān)鍵詞：壓縮感知;波達(dá)方向估計(jì);重構(gòu)算法;分辨率;壓縮感知;協(xié)方差向量

中圖分類號：TP39文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：2095-1302（2019）11-00-03

0 引 言

通過陣列傳感器接收的信號來實(shí)現(xiàn)空間信源的定位是信號處理領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)，它在軍用和民用領(lǐng)域都有著極為重要的應(yīng)用，所以對波達(dá)方向（DOA）估計(jì)的研究有著不可替代的意義。

早期的DOA估計(jì)方法是指波束形成類算法[1]，但是該算法的估計(jì)精度受到瑞利限的制約[2]，之后多重信號分類算法（MUSIC）的提出突破了孔徑對波達(dá)方向的瑞利限制[3]，為波達(dá)方向估計(jì)提供了一個(gè)新思路，但在實(shí)際應(yīng)用中對信號的快拍數(shù)和信噪比要求比較高。近年來，越來越多的現(xiàn)代信號處理方法被應(yīng)用到DOA估計(jì)中，如利用小波變換提升信噪比[4]、借助遺傳算法優(yōu)化算法性能[5]等。除此之外，壓縮理論的提出也有效降低了DOA的角度估計(jì)誤差[6]。本文采用基于壓縮傳感的協(xié)方差向量稀疏表示算法實(shí)現(xiàn)了對DOA的估計(jì)，并通過仿真實(shí)驗(yàn)與MUSIC算法進(jìn)行對比。

1 壓縮感知理論基礎(chǔ)

壓縮感知理論主要思想是首先通過一個(gè)觀測矩陣對稀疏信號進(jìn)行壓縮采樣，之后借助一定的重構(gòu)算法從少量采樣值中恢復(fù)原始信號[7]。要完成上述過程需要滿足原始信號具有稀疏性以及觀測矩陣具有有限等距性兩大前提條件[8]。

1.1 信號的稀疏表達(dá)

如果存在長度為N的一維離散信號，則該信號的lp范數(shù)為：

信號X∈RN，它在基矩陣Ψ下的表示系數(shù)矢量為：

根據(jù)公式（1），如果s滿足式（3）：

式中的p和K如果同時(shí)滿足0≤p≤2和K≥0，就意味著x可以在Ψ下進(jìn)行稀疏表達(dá)。由于觀測矩陣是對稀疏信號進(jìn)行采樣，所以，對原始信號進(jìn)行稀疏表達(dá)是極為重要的第一步。稀疏分解算法是稀疏表達(dá)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，目前信號稀疏分解算法中最基本的有匹配追蹤算法和基追蹤算法[9]。

1.2 觀測矩陣的設(shè)計(jì)

獲得原始信號的稀疏表示后，就要對其進(jìn)行采樣。設(shè)計(jì)一個(gè)觀測矩陣，在該矩陣下的投影信號y不但可以包含原始信號的絕大部分信息且長度遠(yuǎn)短于原始信號。

壓縮感知理論表明，重構(gòu)算法一定時(shí)，壓縮感知矩陣性能越好，信號重構(gòu)誤差越小。當(dāng)基矩陣Ψ已知時(shí)，A就由投影矩陣Φ決定。應(yīng)用最多的投影測量矩陣包括高斯矩陣和貝努利矩陣，二者均可滿足有限等距性（Restricted Isometry Propetry，RIP），且具有測量次數(shù)少、重建性能高等優(yōu)點(diǎn)。

1.3 信號重構(gòu)算法

在壓縮傳感中，重構(gòu)算法是整個(gè)過程的核心，即通過獲得的測量向量y和壓縮感知矩陣A來恢復(fù)原始信號x。目前使用最多的是貪婪算法和凸優(yōu)化算法。

當(dāng)公式（1）中p=0時(shí)，可得l0范數(shù)，它代表了原始信號x中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，因此當(dāng)信號具有稀疏性時(shí)，矢量方程y=As的求解就可以轉(zhuǎn)化為最小l0范數(shù)的求解：

凸優(yōu)化算法是將求解l0范數(shù)問題變成求解l1優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[10]指出當(dāng)傳感矩陣A滿足RIP時(shí)，用l1范數(shù)替代l0范數(shù)會產(chǎn)生近似解：

就兩種算法相比，貪婪算法方法簡單，但是重構(gòu)質(zhì)量不高;凸優(yōu)化算法求解精度高，但是計(jì)算復(fù)雜度也相對較高。

2 基于壓縮感知的DOA估計(jì)

根據(jù)來波方向在空域上具有的稀疏特性[11]，我們可以將壓縮感知理論應(yīng)用到DOA估計(jì)中。本文主要在DOA估計(jì)中引入?yún)f(xié)方差向量稀疏表示算法，該算法首先將陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行稀疏表示，然后利用凸優(yōu)化算法對稀疏信號重構(gòu)實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

假設(shè)目標(biāo)空間有K個(gè)遠(yuǎn)場信號入射到M元傳感器陣列上，且K

式中：表示M×K維導(dǎo)向矢量矩陣;n表示高斯白噪聲。接收信號的協(xié)方差矩陣可以表示為：

式中：Rx表示信源的協(xié)方差矩陣;σ2為噪聲的方差。

由線性代數(shù)知識可知，R的每列可以用M維空間的完備基來進(jìn)行線性表示[12]，即：

式中sm為系數(shù)向量，本質(zhì)上是含有K個(gè)實(shí)際目標(biāo)，其余元素為0的稀疏信號。，后面用A表示。當(dāng)N足夠大時(shí)，中就有K個(gè)向量接近或者等于，所以向量sm中有K個(gè)非零值與對應(yīng)，即sm與DOA估計(jì)的信號具有相同的稀疏結(jié)構(gòu)。因此可以把式（8）寫為：

式中，理想情況下與sm稀疏結(jié)構(gòu)一致，所以其非零元素與S一一對應(yīng)。通過l2范數(shù)對S進(jìn)行整合，我們可以定義一個(gè)新的向量，中的每個(gè)元素滿足，此時(shí)中的第n個(gè)元素和S中第n行向量的l2范數(shù)相等?？梢?，與S具有相同的稀疏結(jié)構(gòu)。所以是陣列協(xié)方差矩陣的一個(gè)稀疏表示，當(dāng)σ2Im接近0時(shí)，可以通過重構(gòu)進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

3 仿真分析

實(shí)驗(yàn)1：在高斯白噪聲條件下，假定接收陣列為8陣元均勻線陣，相鄰陣元之間的間距為1/2波長，采樣快拍數(shù)為256，信噪比為-10 dB，3個(gè)遠(yuǎn)場信源的到達(dá)角分別為-5°，10°，30°，兩種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2中可以明確看出，基于壓縮感知的DOA估計(jì)比MUSIC算法的DOA估計(jì)分辨率高。

實(shí)驗(yàn)2：采用2個(gè)信源，到達(dá)角度為θ1=10°，θ2=25°。其余實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)1相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

實(shí)驗(yàn)3：入射角θ1=15°，θ2=15°+Δθ，其中Δθ∈[-5°，+5°]，信噪比為10 dB，實(shí)驗(yàn)次數(shù)200次，其余實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)1相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由圖3可知，DOA估計(jì)的均方根誤差均隨著信噪比的提高逐漸減小;當(dāng)信噪比大于10 dB時(shí)，角度估計(jì)的成功率可達(dá)100%。相同的信噪比下，基于壓縮感知算法的DOA估計(jì)比傳統(tǒng)的DOA估計(jì)誤差小，準(zhǔn)確度高。

由圖4看出，兩種算法的均方根誤差均隨著角度間隔的增大而減小;在信號角度間距較小時(shí)，基于壓縮感知算法的DOA估計(jì)比MUSIC算法的DOA估計(jì)性能好，角度分辨率明顯改善。

4 結(jié) 語

本文首先介紹了DOA估計(jì)的研究歷史，然后簡要說明了壓縮感知的基本理論并闡述了一種基于協(xié)方差向量稀疏表示的DOA估計(jì)算法。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)，將基于壓縮感知的協(xié)方差向量稀疏表示波達(dá)方向估計(jì)算法與多重信號分類算法相比較，證明本文算法在角度分辨率、估計(jì)精度等方面具有更好的性能。

參 考 文 獻(xiàn)

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