陳紹榮，陳柏良，何 健，薛在陽(yáng)

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.深圳市惟新科技股份有限公司，廣州 深圳 518000；3.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；4.奧特斯科技（重慶）有限公司，重慶 401133）

0 引 言

在時(shí)域上求解高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)及零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)時(shí)，涉及到處理單位沖激信號(hào)δ(t)，使得描述高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的微分方程的解模式與高等數(shù)學(xué)中介紹的解模式有相似之處，但又有明顯區(qū)別。由于國(guó)內(nèi)外《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[1-2]借助物理概念，給出了高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)δ(t)及零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的解模式，因此，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過(guò)程。針對(duì)連續(xù)時(shí)間反因果信號(hào)和連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)的積分運(yùn)算問(wèn)題，基于著作[3]的分段積分法和分部積分法，本文提出了整體積分法?；谡w積分法，提出了高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)時(shí)域分析的不定積分降階法和上限積分降階法，分析結(jié)果表明，LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為因果信號(hào)，在因果信號(hào)作用下其零狀態(tài)響應(yīng)為因果信號(hào)。圓滿地解決了高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)的時(shí)域求解問(wèn)題。

1 截?cái)嘈盘?hào)的積分

若連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)定義在整個(gè)時(shí)間區(qū)間，則稱x(t)為無(wú)時(shí)限連續(xù)時(shí)間信號(hào)。一個(gè)無(wú)時(shí)限連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)可以分解成連續(xù)時(shí)間反因果信號(hào)與連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)之和，即：

式中，ε(t)為單位階躍函數(shù)。

實(shí)際工作中，信號(hào)發(fā)生器的輸出是連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)。因此，在LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的時(shí)域分析中，經(jīng)常涉及連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)的積分問(wèn)題，即截?cái)嘈盘?hào)的積分問(wèn)題。

例 1：已知連續(xù)時(shí)間因果指數(shù)信號(hào) f(t)=eλtε(t)，其中，λ為常數(shù)，ε(t)為單位階躍函數(shù)，試求積分運(yùn)

解：方法1：采用分段積分法。

（1）當(dāng)t＜0時(shí)，考慮到f(t)=eλtε(t)，若 -∞≤τ≤t＜0，則有 ε(t)=0，于是：

（2）當(dāng) t＞0 時(shí)，考慮到 f(t)=eλtε(t)，則有：

綜合式（2）及式（3），可得：

式（4）表明，利用分段積分法，對(duì)連續(xù)時(shí)間因果指數(shù)信號(hào)做積分運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)分段函數(shù)。

方法2：采用分部積分法。

式（5）表明，利用分部積分法，對(duì)連續(xù)時(shí)間因果指數(shù)信號(hào)做積分運(yùn)算，其結(jié)果雖然表示成了一個(gè)連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)，但是積分運(yùn)算的過(guò)程十分冗長(zhǎng)。

方法3：采用整體積分法。

若將連續(xù)時(shí)間反因果信號(hào)或連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)的表達(dá)式視為一個(gè)整體，找出其原函數(shù)，則可直接利用牛頓—萊布尼茨公式解決問(wèn)題。這種求解連續(xù)時(shí)間反因果信號(hào)或連續(xù)時(shí)間因果積分運(yùn)算的方法，稱為整體積分法。

式（6）表明，所設(shè)函數(shù)F(τ)是所給因果指數(shù)函數(shù)f(τ)的一個(gè)原函數(shù)。

于是，由牛頓—萊布尼茨公式可得：

結(jié)論1：

對(duì)連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)做積分運(yùn)算，采用整體積分法不僅是一種最簡(jiǎn)便的方法，而且其結(jié)果自動(dòng)表示為因果信號(hào)。

2 構(gòu)建基于整體積分法的連續(xù)時(shí)間反因果信號(hào)和因果信號(hào)的不定積分公式

考慮到 ε′(t)=δ(t)，則有：

對(duì)式（6）兩邊做不定積分，可得：

式中，C為任意常數(shù)。

由式（11）可得：

式中，C為任意常數(shù)。

在式（12）中，令 λ=a+jω0，C=C1+jC2，則有：

考慮到歐拉公式，由式（13）可得：

考慮到式（14）中的實(shí)部和虛部分別相等，則有：

考慮到式（12），則有：

為了便于運(yùn)算，表1列出了常用的連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)和反因果信號(hào)的不定積分公式，其中，C為常數(shù)，λ是λ≠0的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。

3 LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)輸出與輸入的時(shí)域關(guān)系

設(shè)描述二階LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為：

式中，λi＜0(i=1,2)。假設(shè)系統(tǒng)的起始狀態(tài) y′(-∞)=y(-∞)=0。

顯然，微分方程式（20）可寫成：

表1 常用連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)和反因果信號(hào)的不定積分公式

設(shè)：

則有：

并且，微分方程式（21）可寫成一階微分方程，即：

將一階微分方程式（24）兩邊乘以e-λ1t，可得：

利用乘積求導(dǎo)法則，對(duì)式（25）的左邊做逆向改寫，可得：

由式（26）可得：

在τ∈(-∞,t]上，對(duì)式（27）兩邊做上限積分運(yùn)算（累加），可得：

考慮到式（23），由式（28）可得：

由式（29）可得：

對(duì)比微分方程式（22）及微分方程式（24），并注意到式（30），則微分方程式（22）的解y(t)，即二階LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)可以表示為：

式中，h(t)為二階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，并且 h(t)=eλ1tε(t)*eλ2tε(t)。

上述這種導(dǎo)出二階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的方法，稱為上限積分降階法。

式（31）揭示了LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用激勵(lì)和系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的線性卷積進(jìn)行計(jì)算。

4 LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的時(shí)域分析

下面以舉例的方式，介紹利用整體積分法來(lái)求解高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的響應(yīng)。

例2：設(shè)描述二階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為：

若系統(tǒng)的激勵(lì)為f(t)=15e-2|t|，系統(tǒng)的起始狀態(tài)y′(-∞)=y(-∞)=0。

（1）試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。

（2）試求t≥-∞時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。

（3）若t＜0時(shí)的激勵(lì)用于給系統(tǒng)建立初始狀態(tài)，試求t≥時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)及全響應(yīng)y(t)。

解：（1）考慮到微分方程式（32），則有：

對(duì)微分方程式（33）的左邊改寫，可得：

將式（34）兩邊乘以e3t，可得：

對(duì)式（35）兩邊做不定積分運(yùn)算，并注意到表1中序號(hào)為1的不定積分公式，可得：

由式（36）可得：

同理，將微分方程式（37）兩邊乘以e4t，可得：

對(duì)式（38）兩邊做不定積分運(yùn)算，并注意到表1中序號(hào)為1和4的不定積分公式，可得：

由式（39）可得：

考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)h′(0_)=h(0_)=0，由式（40）可知，C1=C2=0，于是所求二階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：

上述這種求解LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的方法，稱為不定積分降階法。

結(jié)論2：

式（41）揭示了LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)。

（2）考慮到：

由式（31），并注意到式（42）及表1中序號(hào)為4和12的不定積分公式，可得：

（3）由式（43）可知，當(dāng)t≥0時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為：

系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為：

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了整體積分法，解決了連續(xù)時(shí)間反因果信號(hào)和連續(xù)時(shí)間因果信號(hào)積分過(guò)程冗長(zhǎng)的問(wèn)題?；谡w積分法，提出了高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)時(shí)域分析的不定積分降階法、上限積分降階法。揭示了LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為因果信號(hào)，在因果信號(hào)作用下其零狀態(tài)響應(yīng)為因果信號(hào)。圓滿地解決了高階LTI連續(xù)時(shí)間因果系統(tǒng)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)的時(shí)域求解問(wèn)題。