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        邊積分析法證明孿生素數(shù)猜想

        2019-12-09 02:06:28楊哲
        智富時代 2019年10期

        楊哲

        【摘 要】本文采用邊積分析法證明了孿生素數(shù)猜想,即此法證明了孿生素數(shù)有無限多個。

        【關鍵詞】孿生素數(shù)猜想;張益唐;孿生素數(shù)無限定理;邊際區(qū)間;邊積分析法

        一、引言

        張益唐論文“素數(shù)間的有界距離[1]”稱證明了孿生素數(shù)猜想一個弱化形式。

        本文另辟蹊徑,采用“邊際分析法”證明了孿生素數(shù)猜想。

        二、定理

        設p為孿生素數(shù)對中比較小的那一個孿生素數(shù),用x(p,p+2)表示孿生素數(shù)對的個數(shù)。

        孿生素數(shù)無限定理:使得p+2仍然為素數(shù)的素數(shù)p有無窮多個。

        表達式:x(p,p+2)→+∞.

        三、方法

        1.分析

        設n,k均為正整數(shù),對于任意一個偶數(shù)2n都存在一個邊際區(qū)間[2n,2(n+k)],只要這個區(qū)間足夠大(即只要k足夠大),總是存在有孿生素數(shù)對。

        (1)邊際區(qū)間(12,24]:

        在12的邊際區(qū)間(12,24],可以找到一個孿生素數(shù)對(11,13)

        14=7+7=(7-1)+(7+1)=6+8,,16=8+8=(8-1)+(8+1)=7+9,

        18=9+9=(9-1)+(9+1)=8+10,20=10+10=(10-1)+(10+1)=9+11,

        22=11+11=(11-1)+(11+1)=10+12,

        24=12+12=(12-1)+(12+1)=11+13(是孿生素數(shù)對)

        (2)邊際區(qū)間(24,38]:

        在24的邊際區(qū)間(24,38],可以找到一個孿生素數(shù)對(17,19)

        26=13+13=(13-1)+(13+1)=12+14,28=14+14=(14-1)+(14+1)=13+15,

        30=15+15=(15-1)+(15+1)=14+16,30=15+15=(15-1)+(15+1)=14+16,

        32=16+16=(16-1)+(16+10=15+17,34=17+17=(17-1)+(17+1)=16+18,

        36=18+18=(18-1)+(18+1)=17+19(是孿生素數(shù)對)

        (3)邊際區(qū)間(38,60]:

        在38的邊際區(qū)間(38,60],可以找到一個孿生素數(shù)對(29,31)

        38=19+19=(19-1)+(19+1)=18+20

        40=20+20=(20-1)+(20+1)=19+21

        42=21+21=(21-1)+(21+1)=20+22

        44=22+22=(22-1)+(22+1)=21+23

        46=23+23=(23-1)+(23+1)=22+24

        48=24+24=(24-1)+(24+1)=23+25

        50=25+25=(25-1)+(25+1)=24+26

        52=26+26=(26-1)+(26+1)=25+27

        54=27+27=(27-1)+(27+1)=26+28

        56=28+28=(28-1)+(28+1)=27+29

        58=29+29=(29-1)+(29+1)=28+30

        60=30+30=(30-1)+(30+1)=29+31(是孿生素數(shù)對)

        (4)邊際區(qū)間(60,84]:

        在60的邊際區(qū)間(60,84],可以找到一個孿生素數(shù)對(41,43)

        62=31+31=(31-1)+(31+1)=30+32

        64=32+32=(32-1)+(32+1)=31+33

        66=33+33=(33-1)+(33+1)=32+34

        68=34+34=(34-1)+(34+1)=33+35

        70=35+35=(35-1)+(35+1)=34+36

        72=36+36=(36-1)+(36+1)=35+37

        74=37+37=(37-1)+(37+1)=36+38

        76=38+38=(38-1)+(38+1)=37+39

        78=39+39=(39-1)+(39+1)=38+40

        80=40+40=(40-1)+(40+1)=39+41

        82=41+41=(41-1)+(41+1)=40+42

        84=42+42=(42-1)+(42+1)=41+43(是孿生素數(shù)對)

        只要k足夠大,在2n的邊際區(qū)間總存在有孿生素數(shù)對。

        2.定理

        邊際定理:對于任意一個正整數(shù)n總是存在有足夠大的正整數(shù)k,使得偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]都存在有一個孿生素數(shù)對(p,p+2).

        表達式:2(n+k)=(n+k-1)+(n+k+1)=p+(p+2),其中:p=n+k-1,p+2=n+k+1.

        證明:

        設p為素數(shù)并且使得p+2仍然為素數(shù),設m=n+k為等差數(shù)列p,m,p+2的等差中項。

        有:m=n+k=p+1.

        則:m-1=p=n+k-1,m+1=p'+1+1=p+2=(n+k-1)+2=n+k+1,

        即:p=n+k-1,p+2=n+k+1.

        所以,只要正整數(shù)k足夠大,對于任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]總是有:

        2(n+k)=(n+k)+(n+k)=(n+k-1)+(n+k+1)=p+(p+2)等式成立。

        所以,只要正整數(shù)k足夠大,在任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]總是有孿生素數(shù)對(P=n+k-1,p+2=n+k+1)存在。

        所以,邊際定理成立。

        四、證明

        證明孿生素數(shù)猜想,就是證明孿生素數(shù)無限定理。

        依據(jù)邊際定理,只要正整數(shù)k足夠大,在任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]都存在有孿生素數(shù)對(p=n+k-1,p+2=n+k+1)。

        而且當n無限大時任意偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]有無限多個,所以它使得孿生素數(shù)對(p=n+k-1,p+2=n+k+1)有無限多個。

        所以孿生素數(shù)對(p,p+2)有無限多個,即使得p+2仍然為素數(shù)的素數(shù)p有無限多個。

        于是,孿生素數(shù)猜想得到證明,即孿生素數(shù)無限定理得到證明。

        【參考文獻】

        [1]張益唐,素數(shù)間的有界距離,(美國)數(shù)學年刊,179(2014):1121-1174.

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