鄧 歡，代俊峰，方榮杰，白凱華

(桂林理工大學環(huán)境科學與工程學院，廣西 桂林 541006)

從20世紀60年代中后期以來，我國水文頻率分析工作中一直采用皮爾遜Ⅲ型曲線(簡寫P-III型)[1]。SL44—2006《水利水電工程設計洪水計算規(guī)范》中規(guī)定水文現(xiàn)象的概率分布模型一般應采用皮爾遜Ⅲ型分布模型[2]。P-III型分布模型的隨機變量與其超過制累積頻率呈非線性，水文頻率曲線繪在縱橫坐標都為均勻分格的常規(guī)坐標紙上呈“S”型，其兩端陡峭，即上部急劇上升，下部急劇下降，中間平緩，而曲線兩端正是工程設計頻率所用的部位，同時這也不便于采用目估適線法判斷其與經驗點據(jù)擬合的好壞程度。為了方便和精確繪制曲線，以及分析計算，需要設計一種坐標紙，使頻率曲線繪在上面成直線或近似直線，這種坐標紙稱為概率格紙。為了解決常規(guī)坐標紙上頻率曲線兩端曲率大，曲線不便外延的問題，1913年美國水利工程師海森提出使用正態(tài)概率格紙，使正態(tài)分布頻率曲線繪在其上能成為直線，因此正態(tài)概率格紙也被稱為海森概率格紙[3]。若使P-III型分布曲線成直線，則需對每一個CS繪制一張專用概率格紙，比較繁瑣，因此也采用海森概率格紙。雖然P-III型頻率曲線繪在其上并不能成直線，但彎曲程度大為減緩近似直線，有利于曲線外延。

Excel軟件具有簡單易操作和兼容性強的特點，在水文水利計算中應用廣泛，如在水能調節(jié)計算、渠均勻流水力計算和徑流調節(jié)計算等方面[4- 6]。同時Excel也是繪制海森概率格紙的常用工具[7- 9]。利用Excel并在其中嵌套VisualBasic語言程序也是當前繪制水文頻率分析曲線的重要手段之一[10- 12]。本文通過理解超過制概率和分位數(shù)等在海森概率格紙中的含義，正確處理其在Excel中的函數(shù)表達，主要突出設計的原理和有Excel中繪制的技巧。

1 設計原理

按照水文習慣，以隨機變量值為縱坐標，與之對應的超過制累積頻率為橫坐標，在常規(guī)坐標紙上繪出標準正態(tài)分布曲線Q(x)，如圖1A所示。

(1)

式中，x—隨機變量值；Q(x)—標準化正態(tài)隨機變量X的超過制概率，也稱超過制累積頻率，水文上簡稱頻率，其值用P表示。

圖1 海森概率格紙設計原理示意圖

海森概率格紙具有以下特點：

(1)縱坐標沒有變化，仍是分格均勻的常規(guī)坐標。

(2)橫坐標分格關于P=50%處對稱，中間較密，向兩端逐漸變得稀疏，這是由于標準正態(tài)分布圖形是關于P=50%處對稱，中間彎曲程度小，向兩端彎曲程度逐漸變大導致的。

(3)由于P=0及P=100%的標準正態(tài)變量值分別趨于+∞和-∞，在圖上繪不出，同時水文頻率在變量最小值和最大值處是趨向于0和100%，而不能等于0和100%，因此海森概率格紙橫坐標一般是從0.01%到99.99%。

2 橫坐標取值規(guī)律

海森概率格紙橫坐標之間的間距可用公式(1)的反函數(shù)值或上側分位數(shù)x來表示。由于P=50%對應的x值為0，而海森概率格紙令橫坐標為P=0.01%時為0，現(xiàn)以P=0.01%作為橫坐標原點，那么P=50%距P=0.01%的距離可表示為Q-1(0.01%)-Q-1(50%)=3.719，P=99.99%距P=0.01%的距離為Q-1(0.01%)-Q-1(99.99%)=7.438。同理，其他任意頻率P的橫坐標與P=0.01%的距離L為：

L=Q-1(0.01%)-Q-1(P)

(2)

對應Excel內置函數(shù)NORM.S.INV(probability)，就可表示為：

L= NORM.S.INV(1-0.01%)-NORM.S.INV(1-P)

(3)

海森概率格紙橫坐標部分取值見表1中的系列③。

3 海森概率格紙的繪制方法

3.1 網(wǎng)格線的繪制

海森坐標格紙縱坐標是均勻分格的，則橫向網(wǎng)格線為均勻分布，可由Excel軟件的圖表功能自動生成，然后根據(jù)需求設置坐標軸格式，縱坐標最小值設置為0，最大值可據(jù)水文變量的最大值確定。橫坐標分格不均勻，縱向網(wǎng)格線就無法通過Excel軟件自動生成，下面以圖2為例進行縱向網(wǎng)格線的繪制，設置縱坐標最大值為3000，各條縱向網(wǎng)格線上、下兩個端點的坐標列于圖2中。

圖2 海森概率格紙示例圖

在Excel中新建sheet表，輸入表1的數(shù)據(jù)，①表示縱向網(wǎng)格線的頻率值，⑤和⑥表示縱向網(wǎng)格線下端點和上端點的x軸和y軸坐標值。在工具條上點擊“插入”，選擇“圖表”中的“散點圖”，生成圖表區(qū)，選中圖表區(qū)單擊鼠標右鍵，從彈出的快捷菜單中點擊“選擇數(shù)據(jù)”選項，在彈出的對話框中選擇“添加”，會彈出“編輯數(shù)據(jù)系列”對話框，用“x軸系列值”和“y軸系列值”文本框右邊的“拾取器”按鈕拾取所需數(shù)據(jù)，單擊“確定”按鈕，圖表中就添加17條縱向線段即縱向網(wǎng)格線。

表1 海森概率格紙縱向網(wǎng)格線端點坐標

在添加數(shù)據(jù)時有兩種方法，一種如圖3A的連接方法，將每條網(wǎng)格線的數(shù)據(jù)當作一個系列，共有17個系列數(shù)據(jù)，通過在同一圖表區(qū)“選擇數(shù)據(jù)”中逐個添加各系列，繪制出17條縱向線段。通常為了美觀，一般要繪制100多條縱向網(wǎng)格線，操作起來步驟多，且不利于后期圖形的修改；另一種方法是把全部網(wǎng)格線的端點數(shù)據(jù)當作一個系列，在圖表區(qū)“選擇數(shù)據(jù)”中只需要添加一個系列，將各點順次連接起來，如圖3B的連接方法，這種方法操作和圖形修改都比較便利，至于橫線部分在繪橫向網(wǎng)格線或繪圖區(qū)邊框時會被覆蓋掉，不會影響后期添加水文頻率曲線。

圖3 縱向網(wǎng)格線連接方法

3.2 橫坐標的標注

由于Excel繪圖時默認坐標軸刻度是均勻等分的，無法直接實現(xiàn)制海森概率格紙橫坐標頻率刻度和重現(xiàn)期刻度的標注，因此要另外進行標注。在海森概率格紙橫坐標上除了對頻率刻度要進行標注外還要對重現(xiàn)期刻度進行標注，重現(xiàn)期和頻率存在如下關系[15]：

(4)

在標注時通常不需要將所有橫坐標都標注出來，而是選擇性地進行標注，常見標注數(shù)據(jù)列于表2。表2中①表示的是要標注的頻率值，系列③和④表示頻率值對應的標注位置，②表示的是要標注的重現(xiàn)期值，系列③和⑤表示重現(xiàn)期對應的標注位置。

表2 海森概率格紙橫坐標標注數(shù)據(jù)表

將表2的數(shù)據(jù)輸入到Excel中，在繪制好網(wǎng)格線的同一圖表中單擊鼠標右鍵，點擊“選擇數(shù)據(jù)”選項，再選擇“添加”，彈出“編輯數(shù)據(jù)系列”對話框，用“x軸系列值”和“y軸系列值”的“拾取器”按鈕拾取系列③和④的數(shù)據(jù)，單擊“確定”按鈕，圖中縱坐標為0處就添加了一條直線，用相同的方法拾取系列③和⑤的數(shù)據(jù)，以圖中縱坐標為3000處再添加一條直線。選中其中一條直線，單擊鼠標右鍵，點擊“添加數(shù)據(jù)標簽”，軟件會給這條線上每個數(shù)據(jù)點添加數(shù)據(jù)標簽，選中數(shù)據(jù)標簽，再單擊鼠標右鍵，選擇“設置數(shù)據(jù)標簽格式”，在彈出的對話框中根據(jù)需求修改“標簽選項”，在“標簽位置”選項中設置代表頻率的標簽靠下，代表重現(xiàn)期的標簽靠上。請注意在“標簽包括”選項中無論選擇“x值”還是“y值”，發(fā)現(xiàn)所有的標簽顯示的是④和⑤的值，并不是①和②對應的值，因此要對顯示出的數(shù)據(jù)標簽進行修改?？梢栽谀硞€數(shù)據(jù)標簽上雙擊鼠標選中這個數(shù)據(jù)標簽，手工輸入對應的顯示值或在編輯欄中輸入“=‘拾取某單元格的值’”，“拾取某單元格的值”是指在工作表中單擊鼠標拾取要顯示的數(shù)據(jù)單元格，就可對各個數(shù)據(jù)標簽進行逐一修改。Excel2013以上版本還可以對全部標簽數(shù)據(jù)進行批量修改，操作步驟為：單擊選中頻率或重現(xiàn)期的全部標簽數(shù)據(jù)，再單擊鼠標右鍵，從彈出的快捷菜單中選擇“設置數(shù)據(jù)標簽格式”選項，打開“標簽選項”對話框，在“標簽包括”中勾選“單元格中的值”，彈出“數(shù)據(jù)標簽區(qū)域”，通過“選擇數(shù)據(jù)標簽區(qū)域”文本框右邊的“拾取器”按鈕，在工作表中選中①列或②列的全部數(shù)據(jù)區(qū)域，單擊“確定”按鈕，所有數(shù)據(jù)標簽就都進行了修改，以此方法能快捷完成頻率和重現(xiàn)期的標注。

4 結語

標準正態(tài)分布在常規(guī)坐標紙上呈“S”型曲線，通過縱坐標不變，過曲線兩端點連成直線，再將曲線上各點平移至該直線上，定出各點的橫坐標位置，就形成了縱坐標均勻分布，橫坐標關于P=50%處對稱，越向兩側間距越大的海森概率格紙，P-III型頻率曲線繪制在海森概率格紙上有利于曲線外延。用超過制概率和上側分位數(shù)的概念刻畫了海森概率格紙橫坐標的位置，并利用Excel軟件中的NORM.S.INV內置函數(shù)定量給出了橫坐標位置的表達式，同時利用其數(shù)據(jù)計算和圖表繪制功能強大的特點，解決了縱網(wǎng)格線繪制和橫坐標標注難題。Excel軟件操作方法簡單易懂、應用性廣泛，通過圖表編輯可以方便快捷地輸出理想圖紙，易于進行水文頻率曲線繪制和分析的教學活動以及工程實踐應用。