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        例談“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用

        2014-09-16 21:06:31沈岳夫
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2014年4期
        關(guān)鍵詞:極端化動(dòng)點(diǎn)重合

        沈岳夫

        文[1]分別從退一步、轉(zhuǎn)視角、借數(shù)感、縝推演四個(gè)方面,闡述數(shù)學(xué)中考壓軸題的解題策略,筆者拜讀后受益匪淺.現(xiàn)結(jié)合筆者在教學(xué)實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn),談?wù)劇皹O端化策略”在解題中的一些做法,以與同行交流.

        1用“極端化策略”法探求函數(shù)關(guān)系中的變化規(guī)律

        對動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的圖形和圖象的函數(shù)關(guān)系式問題,有時(shí)考慮極端情形,如量的最大、最小,圖形特殊位置或臨界位置等,能找到解題的突破口,從極端情形的討論和研究找到解決最值問題的方法,進(jìn)而確定函數(shù)關(guān)系的大致圖象.

        例1如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)D作CD的垂線交射線CA于點(diǎn)E.設(shè)AD=x,CE=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是().

        分析由于點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),雖然不與點(diǎn)A、B重合,但我們可考慮其重合的情況,這樣把問題退到特殊情形.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),由于DE⊥DC,此時(shí)點(diǎn)E也與點(diǎn)A重合,則根據(jù)題意易求CE=AC=3;當(dāng)點(diǎn)D在AB中點(diǎn)時(shí),則CD=AD,∠ECD=∠DAC=30°,進(jìn)而求得CE=233;當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),由于DE⊥DC,此時(shí)點(diǎn)DE與AC平行,雖然x不能取到2,但y應(yīng)該是無窮大.

        解因?yàn)椤螦CB=90°,∠BAC=30°,AB=2,所以BC=1,AC=3.當(dāng)x=0時(shí),y的值是3;當(dāng)x=1時(shí),y的值是233;當(dāng)x=2時(shí),由于DE⊥DC,此時(shí)點(diǎn)DE與AC平行.雖然x不能取到2,但y應(yīng)該是無窮大,故結(jié)合圖象,分析可知y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B.

        點(diǎn)評本例直接處理,難度很大.但由于題目(包括已知條件、待求結(jié)論和圖形)中提取一些暗示信息,如D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)退到特殊位置——重合,繼而對圖形進(jìn)行定性、定量分析,將幾何圖形的直觀描述與代數(shù)的精確刻畫有機(jī)結(jié)合.這不僅找到了解題的切入口,而且迅速破解了問題的結(jié)論,并對此類問題的解決具有一定的導(dǎo)向作用.

        2用“極端化策略”法探求線段比值中的定值問題

        對于某些求解幾何圖形中的線段比值問題,若從所給圖形入手很難找到解題突破口.此時(shí),我們?nèi)舨捎靡恍缀巫儞Q手段,如平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等,使某些圖形回歸到特殊位置,蘊(yùn)涵在其中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的便會(huì)由隱變顯,從而達(dá)到順利而又簡捷地解決問題的目的.

        例2如圖2,四邊形ABCD和AEGH都是正方形,求GC∶HD的值.

        分析觀察圖形,直接求GC∶HD的值確實(shí)不知道從何處入手.但注意到四邊形ABCD和AEGH都是正方形,我們不妨把圖2退到圖3的特殊位置,此時(shí)因?yàn)檎叫蜛EGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上,所以∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,則A,G,C共線,AB-AE=AD-AH,進(jìn)而得HD=BE,因?yàn)锳G=AEsin45°=2AE,AC=ABsin45°=2AB,所以GC=AC-AG=2AB-2AE=2(AB-AE)=2BE=2HD,所以GC∶HD=2∶1.

        解如圖4,連接AG、AC,因?yàn)锳GAH=ACAD=2,所以AGAC=AHAD.又因?yàn)椤螱AH=∠CAD=45°,所以∠GAH-∠CAH=∠CAD-∠CAH,即∠GAC=∠HAD,所以△CAG∽△DAH,所以GC∶HD=AC∶AD=2∶1.

        點(diǎn)評本例從正方形AEGH的一般位置旋轉(zhuǎn)到圖3的特殊位置,發(fā)現(xiàn)了GC∶HD=2∶1,并由此獲得解題的啟發(fā),作出輔助線順利求解.這樣讓一個(gè)看似“靜態(tài)”的圖形通過旋轉(zhuǎn),打破了思維定勢,實(shí)現(xiàn)由隱至顯、由生至熟、由深至淺、由難至易的化歸與轉(zhuǎn)化,這是把對抽象、一般問題的探究轉(zhuǎn)向?qū)唧w、特殊問題的探究,此謂“退一步,海闊天空”!

        3用“極端化策略”法探求運(yùn)動(dòng)變化過程中的最值

        對于某些數(shù)學(xué)問題,如果按照題意直接求解(證)有很大的困難,我們可以嘗試變換一個(gè)角度去看問題,先找出符合題意的特殊值、特殊圖形、特殊位置來進(jìn)行試探,往往能得到啟示,找到解題的途徑.

        例3如圖5,兩平行線l1、l2的距離等于6,點(diǎn)A為l1上一定點(diǎn).以AC為直徑的半圓紙片的半徑等于4.將半圓紙片裁剪得到扇形紙片AOB,圓心角∠AOB=α.將此扇形紙片繞著點(diǎn)A在l1、l2之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn),并要保證點(diǎn)B能落在直線l2上,請求的最大值和最小值.

        (參考數(shù)椐:sin49°=34,cos41°=34,tan37°=34.)

        分析由于以AC為直徑的半圓紙片繞著點(diǎn)A在l1、l2之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn),所以只要考慮兩種特殊情形:當(dāng)OB⊥l2時(shí),即點(diǎn)B是弧AB與l2相切的切點(diǎn)時(shí),大到最大;當(dāng)AB⊥l2時(shí),達(dá)到最小值.

        解當(dāng)OB⊥l2時(shí),α最大.如圖6,延長BO交l1于點(diǎn)C.因?yàn)閘1∥l2,所以∠ACO=90°,所以cos∠AOC=COAO=12,所以∠AOC=60°,所以∠AOB=120°.

        當(dāng)AB⊥l2時(shí),α最小.如圖7,過O作OH⊥AB交于點(diǎn)H.由垂徑定理,得AH=BH=3,所以sin∠AOH=AHAO=34,所以∠AOH=49°.因?yàn)棣?2∠AOH,所以∠AOB=98°.

        綜上所述,α的最大值和最小值分別是120°和98°.

        點(diǎn)評本例看似較難入手,但由于扇形紙片繞著點(diǎn)A在l1、l2之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn),所以只要細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、積極思考,就能找到兩種特殊情形OB⊥l2或AB⊥l2,進(jìn)而求得的最大值和最小值,這種解決問題的方法思路稱為極端化策略.極端化策略在進(jìn)行某些數(shù)學(xué)過程的分析時(shí),具有獨(dú)特作用,恰當(dāng)應(yīng)用極端性原則能提高解題效率,使問題化難為易,化繁為簡,思路靈活,從而達(dá)到事半功倍的效果

        4用“極端化策略”法探求運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變量

        從特殊到一般,從一般到特殊的思維方法是數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)真理的重要途徑.對于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題,可先考慮特殊情形,探求解題思路或命題的結(jié)論,再給出一般情況下的證明,體現(xiàn)了以退為進(jìn),以屈求伸的解題策略.endprint

        例4如圖8,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn),AC⊥軸于點(diǎn)M,交直線于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APB=30°,BA⊥PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)不變,B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng),求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

        分析首先,用極端化策略考慮以下幾個(gè)位置:(1)點(diǎn)A與點(diǎn)M重合;(2)在ON上選取點(diǎn)P的幾個(gè)特殊位置(如O點(diǎn)、N點(diǎn)),描出相應(yīng)的點(diǎn)B位置.從B的幾個(gè)位置猜想點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑(或軌跡)為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次,如圖10所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長.

        解由題意可知,OM=22,點(diǎn)N在直線上,AC⊥x軸于點(diǎn)M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=2OM=2×23=6.如圖9所示,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)(起點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為B0,動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)(終點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為Bn,連接B0Bn.因?yàn)锳O⊥AB0,AN⊥ABn,所以∠OAC=∠B0ABn,又因?yàn)锳B0=AO·tan30°,ABn=AN·tan30°,所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°,所以△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

        現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).

        如圖10所示,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí),設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)B為Bi,連接AP、ABi、B0Bi.因?yàn)锳O⊥AB0,AP⊥ABi,所以∠OAP=∠B0ABi,又因?yàn)锳B0=AO·tan30°,ABi=AP·tan30°,所以AB0∶AO=ABi∶AP,所以△AB0Bi∽△AOP,所以∠AB0Bi=∠AOP.又因?yàn)椤鰽B0Bn∽△AON,所以∠AB0Bn=∠AOP,所以∠AB0Bi=∠AB0Bn,所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).綜上所述,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡)是線段B0Bn,其長度為22.

        點(diǎn)評蘇諄教授曾說:“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子,可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題,可以通過“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”,巧妙鎖定思維方向,迅速實(shí)現(xiàn)問題解決.“特例探路”實(shí)質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的策略——退中悟理,執(zhí)理而進(jìn).這樣,就大大避免了探索的盲目性,使思維過程優(yōu)化變短,顯得簡潔明快.所謂“難的不會(huì),想簡單的”,說的就是這個(gè)道理.

        以上僅從四個(gè)方面談了“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用.事實(shí)上,“極端化策略”法遠(yuǎn)不止這些.只要我們認(rèn)真總結(jié),用心感悟,靈活運(yùn)用,就會(huì)將“極端化策略”法變成解決數(shù)學(xué)問題的法寶和利器.

        參考文獻(xiàn)

        [1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學(xué)中考壓軸題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版),2014(2):51-53.endprint

        例4如圖8,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn),AC⊥軸于點(diǎn)M,交直線于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APB=30°,BA⊥PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)不變,B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng),求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

        分析首先,用極端化策略考慮以下幾個(gè)位置:(1)點(diǎn)A與點(diǎn)M重合;(2)在ON上選取點(diǎn)P的幾個(gè)特殊位置(如O點(diǎn)、N點(diǎn)),描出相應(yīng)的點(diǎn)B位置.從B的幾個(gè)位置猜想點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑(或軌跡)為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次,如圖10所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長.

        解由題意可知,OM=22,點(diǎn)N在直線上,AC⊥x軸于點(diǎn)M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=2OM=2×23=6.如圖9所示,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)(起點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為B0,動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)(終點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為Bn,連接B0Bn.因?yàn)锳O⊥AB0,AN⊥ABn,所以∠OAC=∠B0ABn,又因?yàn)锳B0=AO·tan30°,ABn=AN·tan30°,所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°,所以△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

        現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).

        如圖10所示,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí),設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)B為Bi,連接AP、ABi、B0Bi.因?yàn)锳O⊥AB0,AP⊥ABi,所以∠OAP=∠B0ABi,又因?yàn)锳B0=AO·tan30°,ABi=AP·tan30°,所以AB0∶AO=ABi∶AP,所以△AB0Bi∽△AOP,所以∠AB0Bi=∠AOP.又因?yàn)椤鰽B0Bn∽△AON,所以∠AB0Bn=∠AOP,所以∠AB0Bi=∠AB0Bn,所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).綜上所述,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡)是線段B0Bn,其長度為22.

        點(diǎn)評蘇諄教授曾說:“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子,可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題,可以通過“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”,巧妙鎖定思維方向,迅速實(shí)現(xiàn)問題解決.“特例探路”實(shí)質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的策略——退中悟理,執(zhí)理而進(jìn).這樣,就大大避免了探索的盲目性,使思維過程優(yōu)化變短,顯得簡潔明快.所謂“難的不會(huì),想簡單的”,說的就是這個(gè)道理.

        以上僅從四個(gè)方面談了“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用.事實(shí)上,“極端化策略”法遠(yuǎn)不止這些.只要我們認(rèn)真總結(jié),用心感悟,靈活運(yùn)用,就會(huì)將“極端化策略”法變成解決數(shù)學(xué)問題的法寶和利器.

        參考文獻(xiàn)

        [1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學(xué)中考壓軸題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版),2014(2):51-53.endprint

        例4如圖8,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn),AC⊥軸于點(diǎn)M,交直線于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APB=30°,BA⊥PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)不變,B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng),求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

        分析首先,用極端化策略考慮以下幾個(gè)位置:(1)點(diǎn)A與點(diǎn)M重合;(2)在ON上選取點(diǎn)P的幾個(gè)特殊位置(如O點(diǎn)、N點(diǎn)),描出相應(yīng)的點(diǎn)B位置.從B的幾個(gè)位置猜想點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑(或軌跡)為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次,如圖10所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長.

        解由題意可知,OM=22,點(diǎn)N在直線上,AC⊥x軸于點(diǎn)M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=2OM=2×23=6.如圖9所示,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)(起點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為B0,動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)(終點(diǎn))時(shí),點(diǎn)B的位置為Bn,連接B0Bn.因?yàn)锳O⊥AB0,AN⊥ABn,所以∠OAC=∠B0ABn,又因?yàn)锳B0=AO·tan30°,ABn=AN·tan30°,所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°,所以△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

        現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).

        如圖10所示,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí),設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)B為Bi,連接AP、ABi、B0Bi.因?yàn)锳O⊥AB0,AP⊥ABi,所以∠OAP=∠B0ABi,又因?yàn)锳B0=AO·tan30°,ABi=AP·tan30°,所以AB0∶AO=ABi∶AP,所以△AB0Bi∽△AOP,所以∠AB0Bi=∠AOP.又因?yàn)椤鰽B0Bn∽△AON,所以∠AB0Bn=∠AOP,所以∠AB0Bi=∠AB0Bn,所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡).綜上所述,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑(或軌跡)是線段B0Bn,其長度為22.

        點(diǎn)評蘇諄教授曾說:“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子,可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題,可以通過“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”,巧妙鎖定思維方向,迅速實(shí)現(xiàn)問題解決.“特例探路”實(shí)質(zhì)上是一種“以退為進(jìn)”的策略——退中悟理,執(zhí)理而進(jìn).這樣,就大大避免了探索的盲目性,使思維過程優(yōu)化變短,顯得簡潔明快.所謂“難的不會(huì),想簡單的”,說的就是這個(gè)道理.

        以上僅從四個(gè)方面談了“極端化策略”法在解題中的運(yùn)用.事實(shí)上,“極端化策略”法遠(yuǎn)不止這些.只要我們認(rèn)真總結(jié),用心感悟,靈活運(yùn)用,就會(huì)將“極端化策略”法變成解決數(shù)學(xué)問題的法寶和利器.

        參考文獻(xiàn)

        [1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學(xué)中考壓軸題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版),2014(2):51-53.endprint

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