岳休云

1 引言

合作者(C)付出代價c，另一個個體獲得收益b；背叛者(D)不需要付出任何代價。在進化博弈理論的框架[1]下：一個只包含合作者的種群，由于發(fā)生突變出現(xiàn)背叛者，變成了一個合作者和背叛者共存的混合種群，此時合作者相對背叛者繁殖率較低，所以合作者逐漸消失，最后種群完全由背叛者構(gòu)成(圖1)。進化的本質(zhì)是突變和自然選擇，而自然選擇青睞背叛，所以自然選擇需要相應的機制引導合作。Nowak[2]提出互惠利他主義、親緣選擇和種群選擇可以有效地促進合作的進化。

自然選擇青睞背叛

親緣選擇機制的本質(zhì)在于，基因有關(guān)的兩個體優(yōu)先考慮與對方發(fā)生博弈。Hamilton[3]用r表示親緣選擇的參數(shù)(非隨機接觸的概率)，并且得出r>c/b時，親緣選擇引導合作的進化。直接互惠表示：個體間的博弈進行了很多次。個體在每一次博弈時都有兩種選擇：合作(C)和背叛(D)，重復接觸的個體有可能會根據(jù)對方上一回合的行為來決定下一回合的選擇(合作還是背叛)。直接互惠會產(chǎn)生很多策略，如TFT，ALLD，ALLC，WSLS,GTFT等策略。TFT(tit-for-tat)策略者第一次與其他個體博弈時會采取合作行為，如果對手上一次采取合作行為，那么TFT策略者這一次也會選擇合作行為，如果對手上一次選擇背叛行為，那么TFT策略者這一次也會選擇背叛行為，TFT策略會根據(jù)對手的行為決定自己的行為。使用ALLD(always-defect)的個體每一次博弈都選擇背叛行為。以重復的囚徒困境作為背景，Axelrod[4]研究直接互惠中的隨機策略，最終發(fā)現(xiàn)TFT策略在引導個體選擇合作行為上具有極強的優(yōu)勢。如果TFT策略被ALLD策略侵占并且取代，那么將無法找到任何一個策略可以戰(zhàn)勝ALLD策略。所以TFT策略的穩(wěn)定發(fā)展就是合作行為的穩(wěn)定發(fā)展。Ale[5]等考慮親緣選擇與個體間重復接觸的概率w建立相應模型，研究結(jié)果表明：親緣選擇機制和w的增加有利于合作的進化，但是親緣選擇下不同博弈的收支比b/c對合作進化的影響還不太清楚，下文就這個問題展開分析和討論。

2 模型與方法

考慮收益矩陣

(1)

其中，C與D分別表示合作和背叛，收益矩陣(1)表示：當C與C相遇時，C獲得的收益是a；當C與D相遇時，C獲得的收益是b，D獲得的收益是c；當D與D相遇時，D獲得的收益是d。

定義r(0

由于親緣選擇下個體之間博弈的收益要兼顧隨機接觸與非隨機接觸，所以合作者與合作者博弈的收益要從兩方面考慮，首先隨機接觸下，合作者以1-r的概率隨機遇到合作者，此時它的收益是(1-r)a，另外合作者在非隨機選擇下以r的概率遇到合作者，此時它的收益是ra，兼顧兩類接觸可見，合作者此時的收益為(1-r)a+ra。同理可得親緣選擇下背叛者與背叛者博弈的收益為(1-r)d+rd。合作者與背叛者博弈，合作者以1-r隨機遇到背叛者，此時它的收益是(1-r)b，另外合作者在非隨機選擇下以r的概率遇到合作者，它的收益是ra，兼顧兩類接觸，合作者此時的收益為(1-r)b+ra，同理此時背叛者的博弈收益為(1-r)c+rd?；谑找婢仃?1)，兼顧兩類接觸可得

(2)

(3)

兼顧個體的兩類接觸情況，得到親緣選擇下合作者與背叛者進行一次博弈時的收益矩陣為

(4)

TFT策略者、ALLD策略者相互之間，自身與自身進行博弈[6]的行為圖如(5)所示。

(5)

假設博弈進行的次數(shù)為m，忽略個體出錯及突變的情況，由(5)式可見TFT策略者與TFT策略者進行博弈時，兩個體首次相遇都會選擇合作行為，之后由于TFT策略的屬性，它們彼此會采取對手上一次的博弈行為，兩個TFT策略者往后會一直選擇合作行為。由親緣選擇下合作者與背叛者進行一次博弈的收益矩陣(4)可知，兩個TFT策略者發(fā)生m次博弈獲得的收益是ma。ALLD策略者與ALLD策略者進行博弈，由于ALLD策略者的永恒背叛性，兩個ALLD策略者會一直選擇背叛行為，所以它們各自的收益都為m·d。TFT策略者與ALLD 策略者相互博弈，由TFT策略的屬性可知它會在第一次博弈時選擇合作行為，往后一直采用對手的行為，所以由親緣選擇下合作者與背叛者進行一次博弈的收益矩陣(4)可知此時TFT策略者的收益為1·[(1-r)b+ra]+(m-1)·d，ALLD策略者一直選擇背叛行為，它獲得的收益為1·[(1-r)c+rd]+(m-1)·d。個體間的博弈行為發(fā)生m次時，親緣選擇下TFT策略者與ALLD策略者的收益矩陣為

(6)

在三種博弈類型[7]-[9]—囚徒困境、雪堆博弈和鷹鴿博弈下建立相關(guān)模型，討論親緣選擇下b/c對合作進化的影響。

3 親緣選擇下不同博弈的收支比b/c對合作進化的影響

3.1 假設個體間發(fā)生博弈的次數(shù)為m

囚徒困境：

個體有合作和背叛兩種選擇，合作者遇到合作者，它們各自的收益都為b-c(b>c)。背叛者遇到背叛者，它們各自的收益都為0。合作者遇到背叛者，合作者的收益為-c，背叛者的收益為b，其收益矩陣如下

(7)

雪堆博弈：

大雪封路導致兩名司機同時被困在回家的路上。鏟雪表示合作行為，呆在車里休息屬于背叛行為，兩司機可以選擇去鏟雪或者待在車里休息。用b表示兩司機回家的收益，用-c表示鏟雪付出的代價。假如兩個司機都去鏟雪，那么兩人的工作量都將減少一半，這時兩人的收益都為b-c/2；假如兩司機都在車里休息，只有等到鏟雪的機器經(jīng)過時，雪被機器清理干凈后，他們才可以開車回家，這時他們的收益都為0；假如兩司機其中一個人去鏟雪，而另一個人在車里休息，那么鏟雪的司機獲益為b-c(b-c>0)，休息的司機獲益為b。其收益矩陣如下

(8)

鷹鴿博弈：

假設存在兩種策略：鷹策略和鴿策略，鷹策略是一種攻擊性策略，鷹策略遇到鷹策略會讓斗爭加劇，之后一個鷹獲勝，這過程既有收益又有損失。兩個鴿策略者相遇，斗爭比較溫和，最后一鴿獲勝，這過程中只有收益不會有損失。鷹策略者遇到鴿策略者，鷹策略者會讓斗爭變得更加殘酷，此時鴿策略者會選擇撤退，最后鷹獲得全部收益，鴿由于撤退所以既沒有收益也沒有損失。假設斗爭最后勝者獲益為b，敗者付出的代價為c。若兩者都選擇鴿策略(合作)，它們不會出現(xiàn)損失，最終其中一個會獲勝，其期望收益是b/2，若兩者都選擇鷹策略(背叛)，此時它們成敗的概率都是1/2，所以它們最后的期望收益是(b-c)/2，鷹策略遇到鴿策略，由于鴿策略者會選擇撤退，鷹策略者不戰(zhàn)而勝，此時鷹策略者獲益為b，鴿策略者獲益為0。將鷹策略看成背叛行為，鴿策略看成合作行為。其收益矩陣為

(9)

由個體之間發(fā)生m次博弈時，親緣選擇下TFT策略和ALLD策略的收益矩陣為(6)，將囚徒困境，雪堆博弈和鷹鴿博弈的收益矩陣分別代入(6)式可得，個體之間發(fā)生博弈的次數(shù)為m時，親緣選擇下三種不同博弈類型對應的TFT與ALLD的收益矩陣分別為(10)、(11)、(12)。

(10)

(11)

(12)

考慮兩策略A與B之間的收益矩陣

(13)

一個由A策略者構(gòu)成的無限大種群，假如有極少的B策略者入侵，A策略者與B策略者的收益矩陣為(13)，若a>c，則A策略是進化穩(wěn)定策略[10](ESS)，自然選擇會抵制B策略入侵A策略。假設個體間發(fā)生m次博弈，親緣選擇下三種博弈類型對應的TFT策略與ALLD策略的收益矩陣(10)、(11)、(12)，由進化穩(wěn)定策略的定義可知

對于囚徒困境下的收益矩陣(10)，若滿足

m(b-c)>(1-r)b

即滿足

(14)

時，TFT策略是ESS。

對于雪堆博弈下的收益矩陣(11)，若滿足

即滿足

(15)

時，TFT策略是ESS。

對于鷹鴿博弈下的收益矩陣(12)，若滿足

即

(16)

TFT策略是ESS。

圖2 囚徒困境下，TFT是進化穩(wěn)定策略的變量關(guān)系圖

圖3 雪堆博弈下，TFT是進化穩(wěn)定策略的變量關(guān)系圖

圖4 鷹鴿博弈下，TFT是進化穩(wěn)定策略的變量關(guān)系圖

在三種不同的博弈類型下，得到親緣選擇機制下TFT是進化穩(wěn)定策略(ESS)的條件(14)、(15)、(16)，由此給出囚徒困境、雪堆博弈和鷹鴿博弈下m與b/c的關(guān)系圖(圖2、3、4)。

由圖2、圖3及圖4可見，親緣系數(shù)r越大，所需博弈次數(shù)越少，TFT策略是ESS的條件(14)、(15)、(16)更容易滿足，所以親緣選擇機制在這三種博弈類型下都促進合作的進化。由圖2、圖3可見，m隨b/c的增加而減小，但是隨著b/c的達到某定值時，變化不再明顯，因此在囚徒困境與雪堆博弈的收益矩陣下，b/c在一定范圍內(nèi)逐漸增加促進合作的進化，當b/c達到某定值后對合作的進化沒有明顯的作用。由圖4可見，m隨b/c的增加而增加，所需博弈次數(shù)越來越多，TFT策略是ESS的條件(16)更加不容易滿足，因此在鷹鴿博弈的收益矩陣下，b/c的逐漸減少促進合作的進化。

3.2 博弈回合數(shù)不確定時

上面的模型建立在博弈回合數(shù)為m的前提下，假設兩個體博弈結(jié)束，它們之間再次發(fā)生博弈的概率是w(0

(17)

基于三種不同博弈收益矩陣下TFT策略是ESS的條件(14)、(15)、(16)中的m此時用1/(1-w)替代，得到囚徒困境下

若滿足

(18)

則TFT是ESS。

雪堆博弈下

若

(19)

則TFT是ESS。

鷹鴿博弈下

若

(20)

則TFT是ESS。

考慮各個參數(shù)的取值范圍，固定親緣系數(shù)r=0.2得出三種博弈收益矩陣下TFT是ESS時b/c與w的關(guān)系圖如下：

圖5 r=0.2不同博弈下b/c與w的關(guān)系圖

由圖5可見，令親緣參數(shù)r=0.2。在囚徒困境與雪堆博弈下，b/c在定區(qū)間內(nèi)逐漸增加有利于合作的進化。在鷹鴿博弈下，b/c在定區(qū)間內(nèi)逐漸減少有利于合作的進化。

4 結(jié)論

將親緣選擇機制引入到不同的博弈類型中，從個體之間發(fā)生博弈的次數(shù)確定以及不確定兩種情況進行討論，建立相應模型，通過TFT是進化穩(wěn)定策略(ESS)的條件分析可得：針對三種不同的博弈類型，親緣選擇都有利于合作的進化。

親緣選擇機制下，個體之間發(fā)生博弈的次數(shù)確定時，囚徒困境和雪堆博弈下b/c在一定范圍內(nèi)逐漸增加有利于合作的進化，當b/c增加到某一定值后對合作的進化并無明顯的作用；鷹鴿博弈下b/c的逐漸減少有利于合作的進化。

親緣選擇機制下，個體之間發(fā)生博弈的次數(shù)不確定時，囚徒困境和雪堆博弈下，b/c在一定范圍內(nèi)逐漸增加促進合作的進化；鷹鴿博弈下b/c在一定范圍內(nèi)逐漸減少促進合作的進化。