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        三元一次不等式表征的工程問題的線性圖解法

        2019-12-05 08:29:36黃滿良黃華寧齊月魁王虹宇
        天津科技 2019年11期
        關(guān)鍵詞:深度

        黃滿良,趙 濤,黃華寧,齊月魁,王虹宇

        (1.大港油田石油工程研究院 天津300280;2.大港油田井下作業(yè)公司 天津300280)

        油管柱的入井深度與油井井身結(jié)構(gòu)及井中液面位置有關(guān),對(duì)于中深井和深井常采用組合油管柱以滿足強(qiáng)度要求。而油管柱的強(qiáng)度能否滿足與油管本身的材質(zhì)、尺寸規(guī)格、密度等物理特性及其屈服強(qiáng)度、抗擠能力等機(jī)械特性,油管承受的內(nèi)、外壓差,井中流體密度、井中流體對(duì)油管柱的浮力、井身結(jié)構(gòu)以及各級(jí)油管的長度等因素有關(guān)。本文利用線性圖解法可以在油管柱承壓能力范圍內(nèi)進(jìn)行單一管柱和雙級(jí)油管組合管柱的強(qiáng)度校核及最大入井深度的求解。利用該方法進(jìn)行管柱強(qiáng)度校核及求解管柱最大入井深度具有直觀、快捷的特點(diǎn),提供了用平面圖解決三維問題的方法。

        1 不同規(guī)格組合加厚油管柱及組合平式油管柱最大下入深度圖解法

        下面通過對(duì)組合管柱的受力分析,進(jìn)行公式推導(dǎo),進(jìn)而依據(jù)公式找到一種采用平面圖求解管柱最大下入深度和進(jìn)行強(qiáng)度校核的方法。

        如圖1所示,上部為直徑較大的油管,其長度為lu,內(nèi)徑為 du,線密度為 ρu;下部為直徑較小的油管,其長度為 ld、內(nèi)徑為 dd,線密度為 ρd;油管的內(nèi)外壓差△P>0,由于液體浮力使管柱強(qiáng)度偏于安全,文中忽略浮力對(duì)油管強(qiáng)度的影響。

        圖1 組合管柱示意圖Fig.1 Schematic diagram of combined tubing string

        1.1 作用在下部油管的最大載荷

        作用在下部油管上的最大載荷發(fā)生在其最上部即 2種油管的連接處。最大載荷由下部油管自身重量 Gd、油管內(nèi)外壓差△P作用在下部油管上的拉力Fd△P和油管內(nèi)液體作用在下部油管上的拉力Fdl3部分載荷組成。

        作用在下部油管上的最大載荷Fdmax:

        式中:Gd為下部油管自身重量,N;ρd為下部油管的線密度,kg/m;ld為下部油管的長度,m;g為重力加速度,m/s2;Fd△P為油管內(nèi)外壓差△P作用在下部油管上的拉力,N;dd為下部油管內(nèi)徑,m;△P為油管內(nèi)外壓差,Pa;△P=Pi-Po;Pi為油管內(nèi)壓力,Pa;Po為油管外壓力,Pa;Fdl為油管內(nèi)液體作用在下部油管上的拉力,N;lu為上部油管的長度,m;ρl為井中液體的密度,kg/m3。

        1.2 作用在上部油管的最大載荷

        作用在上部油管上的最大載荷發(fā)生在井口油管掛處,最大載荷由上部油管自身重力Gu、下部油管自身重力 Gd、油管內(nèi)外壓差△p作用在上部油管上的拉力Fu△P和油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力Ful4部分載荷組成。

        作用在上部油管上的最大載荷Fumax:

        式中:Gu為上部油管自身重力,N;ρu為上部油管的線密度,kg/m;lu為上部油管的長度,m;Fu△P為油管內(nèi)外壓差△P作用在上部油管上的拉力,N;du為上部油管內(nèi)徑,m;Ful為油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力,N;Fulu為上部油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力,N;Fuld為下部油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力,N;ld為下部油管的長度,m。

        1.3 組合油管柱強(qiáng)度校核

        根據(jù)采油技術(shù)手冊(cè),油管強(qiáng)度校核應(yīng)滿足下式:

        式中:m為安全系數(shù)(取1.3);Fmax為油管所受最大載荷,N;Fs為油管的抗滑扣載荷,N;D 為油管外徑,m;d為油管內(nèi)徑,m;t為油管螺紡牙深,m;σs為油管材料的最小屈服強(qiáng)度,N/m2。

        據(jù)此得出組合油管柱強(qiáng)度校核公式:

        式中:Fus為上部油管的滑扣載荷,N;Fds為下部油管的滑扣載荷,N。

        1.4 圖板繪制

        1.4.1 給定條件下的強(qiáng)度校核公式

        上部油管的抗滑扣載荷Fus:

        式中:Du為上部油管外徑,m;t1u為上部油管螺紋牙深,m。查表可知不加厚油管 t1u=0.00142m,故:

        下部油管的抗滑扣載荷Fds:

        式中:Dd為下部油管外徑,m;t1d為下部油管螺紋牙深,m。查表可知不加厚油管t1d=0.00142m,故:

        查表得ρu=13.48kg/m,ρd=9.41kg/m。將已知數(shù)據(jù)代入式(5)、(6),整理得:

        從式(9)、(10)可以看出,lu、ld、△P 3 個(gè)變量之一是另2個(gè)變量的線性函數(shù)。

        式(9)與式(10)所代表的不等式相交于直線:

        1.4.2 組合管柱承壓計(jì)算

        根據(jù)采油技術(shù)手冊(cè):

        式中:ΔPmax為油管所能承受的壓差ΔP的最大值,MPa;N為壁厚系數(shù),取 0.875(考慮壁厚為 12.5%的負(fù)偏差);δ為油管壁厚,m;D為油管外徑,m。

        很明顯,組合油管柱所能承受的最大壓差應(yīng)為二者之中的較小值,即70.1MPa。

        1.4.3 圖板繪制及使用說明

        根據(jù)式(9)、(10)及組合油管柱所能承受的最大壓差,繪制 3個(gè)變量 lu、ld及△P之間的關(guān)系圖(圖2)。該關(guān)系圖的使用說明如下:

        ①可以求出任一壓差下,△P、lu、ld之間的匹配關(guān)系。

        ②可以看出,△P為定值時(shí),lu+ld最大值在直線lu-0.4520ld-14.628=0上。

        ③可以看出,△P為定值時(shí),單一管柱的最大入井深度分別在縱軸(不加厚管柱)和橫軸(油管柱)上,因而用此圖可以進(jìn)行單一管柱的強(qiáng)度校核。

        ④對(duì)于兩級(jí)油管組合管柱,在△P為定值時(shí),lu或 ld知其一的情況下,可得另一油管的最大入井深度,進(jìn)而求得此條件下管柱的最大入井深度。

        ⑤可以求出任意的 lu和 ld組合管柱所能承受的最大壓差△Pmax。

        ⑥可以在△P、lu、ld均已知的條件下進(jìn)行強(qiáng)度校核。

        圖2 滿足油管柱強(qiáng)度的ΔP、lu、ld匹配圖Fig.2 Matching diagram of ΔP,lu,and ldsatisfying strength of tubing string

        1.4.4 應(yīng)用舉例

        某井油管柱△P=15MPa,ld=2000m 時(shí),需要確定lu的最大值。如圖△P=10和△P=20之間用差分法畫△P=15的曲線(與△P=10和△P=20)平行;作直線ld=2000與△P=15的曲線相交,從交點(diǎn)處作水平線與縱軸相交,其交點(diǎn)即為此條件下不加厚油管的最大下入深度 lumax=1380m,故此時(shí)組合油管柱的最大下入深度為lumax+ld=1380+2000=3380m。

        2 同規(guī)格、同壁厚加厚與平式組合油管柱最大下入深度圖解法

        同規(guī)格、同壁厚組合的油管柱如圖3所示,上部為加厚油管,長度為 lu,下部為不加厚油管,長度為ld,兩級(jí)油管的內(nèi)徑均為d,油管內(nèi)部壓力為Pin,外部壓力為 Pout,油管內(nèi)外壓差ΔP=Pin-Pout>0,由于井中流體對(duì)管柱的浮力及井斜使管柱強(qiáng)度偏于安全,文中忽略它們對(duì)油管柱下入深度的影響。

        圖3 兩級(jí)組合管柱示意圖Fig.3 Schematic diagram of double-stage combined tubing string

        2.1 作用在上部油管的最大載荷及作用在下部油管的最大載荷

        前文已推導(dǎo)出作用在上部油管的最大載荷Fumax和Fdmax分別為(1)、(2)兩式,由于討論的5種工況是基于 du=dd=d的條件,故(1)、(2)兩式可簡化為(12)、(13)兩式。

        式中:ρu為加厚油管的線密度,kg/m;ρd為不加厚油管的線密度,kg/m;lu為加厚油管的長度,m;ld為不加厚油管的長度,m;g為重力加速度,m/s2;ΔP為油管內(nèi)外的壓力差,MPa;d為油管柱的內(nèi)徑,m;ρl為井中流體密度,kg/m3。

        2.2 組合油管柱強(qiáng)度公式

        根據(jù)采油技術(shù)手冊(cè),每級(jí)油管強(qiáng)度應(yīng)滿足(3)式,上部油管即加厚油管的抗滑扣載荷:

        式中:D為油管本體外徑,m;σs為上部油管材料的最小屈服強(qiáng)度,N/m2。

        下部油管即不加厚油管的抗滑扣載荷Fds為:

        式中:t1為下部油管螺紋牙深,m;σds為下部油管材料的最小屈服強(qiáng)度,N/m2。

        故組合油管柱強(qiáng)度校核公式為:

        2.3 組合油管柱所能承受的最大壓差ΔPmax

        根據(jù)采油技術(shù)手冊(cè):

        式中:n為壁厚系數(shù),取 0.875(考慮壁厚為 12.5%的負(fù)偏差);δ為油管壁厚,mm;D 為油管本體外徑,mm;sσ為油管材料的最小屈服強(qiáng)度,N/m2。

        本文考慮的 5種工況為同規(guī)格、同壁厚、同材質(zhì),即:

        σus=σds=σs,且均為N80材質(zhì)的情況,故σs=552MPa。

        5種工況對(duì)應(yīng)的各種參數(shù),通過查閱采油技術(shù)手冊(cè),列于表1。

        表1 5種工況對(duì)應(yīng)參數(shù)表Tab.1 Corresponding parameters of five working conditions

        根據(jù)(18)式及以上數(shù)據(jù),可以計(jì)算出A—E各種工況條件下,組合管柱承受壓差的能力,見表2。

        表2 對(duì)應(yīng)于5種工況條件的最大壓差Tab.2 Maximum pressure difference corresponding to five working conditions

        2.4 長度匹配關(guān)系圖的繪制

        為使本文所繪圖譜更具實(shí)用性,井中流體密度取1000kg/m3。這是因?yàn)樵谟凸苤惺茌^大壓差的條件下,井中流體密度一般小于此值,當(dāng)井中流體密度低于此值時(shí),使文中所取油管內(nèi)流體重量比實(shí)際偏大些,因此使用所繪圖譜求解油管柱的最大下入深度及強(qiáng)度校核,偏于安全。根據(jù)(16)、(17)兩式及已知數(shù)據(jù)可以推導(dǎo)出不同工況下滿足強(qiáng)度要求的關(guān)于lu、ld和ΔP的不等式組。

        A工況:

        式(19)、(20)所代表的不等式相交于直線:

        B工況:

        式(21)、(22)所代表的不等式相交于直線:

        C工況:

        式(23)、(24)所代表的不等式相交于直線:

        D工況:

        式(25)、(26)所代表的不等式相交于直線:

        E工況:

        式(27)、(28)所代表的不等式相交于直線:

        利用式(19)—(28),結(jié)合油管柱抗壓差能力,即可繪制出 A—E工況不同壓差下上部油管長度lu與下部油管長度ld的匹配關(guān)系圖,見圖4—圖8。

        2.5 利用長度匹配關(guān)系圖能解決的工程問題

        ①可以求出本文給定條件下及抗壓差范圍內(nèi)任一壓差值下lu與ld的匹配關(guān)系。

        ②在ΔP為定值時(shí),lu或ld兩者知其一的情況下,可查出另一油管的最大下入深度,進(jìn)而求出此條件下組合管柱的最大下入深度。

        圖4 A工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.4 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition A

        圖5 B工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.5 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition B

        圖6 C工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.6 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition C

        圖7 D工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.7 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition D

        圖8 E工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.8 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition E

        ③可以求出任意的lu與ld組合管柱所能承受的最大壓差。

        ④可以在ΔP、lu與ld均已知的條件下,進(jìn)行組合管柱的強(qiáng)度校核。

        2.6 長度匹配關(guān)系圖應(yīng)用舉例

        如圖5所示:

        ①在ΔP=10和ΔP=20之間用差分法畫出ΔP =15的曲線;

        ②作直線ld=2000與ΔP=15的曲線相交;

        ③從交點(diǎn)做水平線與縱軸相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1669)。

        故lumax=1669m。此時(shí)組合管柱的最大下入深度為:

        3 膨脹管最大下入深度與液面位置關(guān)系的圖解法

        膨脹管補(bǔ)貼施工中,施工管柱示意圖如圖 9所示,施工深度為 L;施工管柱與原井套管環(huán)空的頁面位置為 H;施工使用的油管為加厚油管(外徑73mm,內(nèi)徑62mm),鋼級(jí)為N80;施工壓力為P。

        圖9 補(bǔ)貼施工管柱示意圖Fig.9 Schematic diagram of patching construction tubing string

        3.1 作用在N80加厚油管上的最大載荷

        作用在加厚油管上的最大載荷發(fā)生在油管的頂端,最大載荷由油管自身重力 G、施工壓力作用在油管下端的拉力 FP和油管內(nèi)的液體作用在油管上的拉力FL以及油套環(huán)空的液體作用在油管柱上的浮力Ff這4部分載荷組成。

        油管自重力為:

        式中:G為油管自重,N;ρG為油管的線密度,kg/m;L為油管長度即膨脹管下入深度,m;g為重力加速度,m/s2。

        施工壓力作用在油管下端的拉力為:

        式中:FP為補(bǔ)貼施工壓力 P作用在有關(guān)柱下端的拉力,N;d為油管內(nèi)徑,mm;P為施工壓力,Pa。

        油管內(nèi)液體作用在油管上的拉力Fl為:

        式中:FL為油管內(nèi)液體作用在其底部底堵位置的拉力,N;ρli為油管內(nèi)液體密度,kg/m3。

        油套環(huán)空的液面位置對(duì)油管柱受力的影響有:

        ①當(dāng)H≥L時(shí),井中流體對(duì)膨脹管輸送管柱無浮力作用,即 Ff=0。

        ②當(dāng)H<L時(shí):

        式中:Ff油套環(huán)空的液體作用在管柱上的浮力,N;D為加厚油管管體外徑,mm;ρlo為油套環(huán)空液體的密度,kg/m3;H油套環(huán)空液面位置,m。

        所以作用在油管上的最大載荷Fmax:

        當(dāng)H≥L時(shí):

        當(dāng)H<L時(shí),

        3.2 施工管柱強(qiáng)度校核

        根據(jù)采油技術(shù)手冊(cè)油管強(qiáng)度應(yīng)滿足:

        式中,m 為安全系數(shù)(取 1.3);FS為油管柱抗滑扣載荷,N;σS為油管材料的最小屈服強(qiáng)度,N/m2。

        據(jù)此得出滿足膨脹管補(bǔ)貼施工管柱強(qiáng)度的校核公式:

        當(dāng)H≥L時(shí),

        當(dāng)H<L時(shí),

        當(dāng)H≥L時(shí),

        當(dāng)H<L時(shí),

        3.3 強(qiáng)度校核圖板

        3.3.1 圖板繪制

        式(12)、(13)所代表的不等式相交于直線 H=L,在給定不同 P值的情況下,所代表的不等式可以用直線簇的形式繪制在一張圖上,在該圖的左上區(qū)為H≥L即環(huán)空液面在補(bǔ)貼位置以下的區(qū)域,右下區(qū)為H<L,即環(huán)空液面在補(bǔ)貼位置以上的區(qū)域。

        3.3.2 圖板使用情況

        ①可以找出在任何 H、L組合下,施工管柱所能承受的最大內(nèi)壓。

        ②可以校核任何H、L、P組合下的施工管柱強(qiáng)度是否安全。

        ③因?yàn)樵谂蛎浌苎a(bǔ)貼前業(yè)界均要求施工管柱達(dá)到 45MPa,據(jù)此可以找出在不同 H 條件下,膨脹管補(bǔ)貼對(duì)應(yīng)最大深度。

        3.3.3 圖板應(yīng)用舉例

        某井在進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼前施工管柱進(jìn)行了45MPa內(nèi)壓試壓,合格。該井液面在 2000m,補(bǔ)貼施工壓力不大于 45MPa,需要確定該井可進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼的最大深度。參考圖10,從縱軸 2000的位置作橫軸的平行線與直線 P=45MPa相交(A 點(diǎn)),從該點(diǎn)作橫軸的垂線,該垂線與橫軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng) L=3360m即為本井可施工膨脹管補(bǔ)貼的最大深度。

        某井液面位置在 2000m,該補(bǔ)貼施工的位置在1520m,需要確定進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼時(shí)管柱是否強(qiáng)度安全。參考圖10,H=2000,L=1520的 2條直線的交點(diǎn)(B點(diǎn))位于H>L區(qū)域,在P=45MPa直線與縱軸所包含的區(qū)域內(nèi),故該井進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼管柱強(qiáng)度安全。

        圖10 膨脹管下入深度與膨脹壓力及液面位置匹配圖Fig.10 Matching diagram of penetration depth of expansion pipe,expansion pressure and liquid level position

        4 結(jié) 論

        ①本文找到了一種用平面方法解決三維問題的方式,即用平面圖板求解△P、lu、ld之間的匹配關(guān)系,具有快捷、直觀的特點(diǎn),具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

        ②由于本文的公式推導(dǎo)過程忽略了井中流體浮力對(duì)管柱入井深度的影響,據(jù)此求出的最大入井深度比理論最大入井深度小,因而是偏于安全的。

        ③對(duì)于井中流體密度小于 1000kg/m3的工況,由于液柱重量的下降,應(yīng)用本文求解是偏于安全的。

        ④圖10中H≥L區(qū)域與H≤L區(qū)域的工況忽略浮力影響的結(jié)果相同,因而在 H≤L時(shí),亦可采用H≥L對(duì)應(yīng)的區(qū)域進(jìn)行各項(xiàng)應(yīng)用,并且由于忽略了浮力的作用,其結(jié)果應(yīng)是偏于安全的。

        ⑤文中計(jì)算忽略了井斜的影響,由于井斜使管柱重量降低,按此系列圖表查得的結(jié)果是偏于安全的。

        ⑥文中的公式推導(dǎo)是基于新油管的情況,生產(chǎn)實(shí)踐中管柱的下入深度必須考慮油管的新舊程度。

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