王 鋒，付愛嵐

（1.安陽(yáng)工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南安陽(yáng)455000；2.林州市職業(yè)教育中心，河南林州456550）

1 研究的主要對(duì)象

在本文中我們將重點(diǎn)研究具有第二類功能反應(yīng)函數(shù)的率依賴捕食-被捕食模型[1],形式如下：

其中，x,y分別代表被捕食者和捕食者的種群密度,，a、b、c、m、f、d是正常數(shù)，分別代表被捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、環(huán)境容納量、捕獲率、半飽和捕獲常數(shù)、轉(zhuǎn)換率、捕食者的死亡率。

2 內(nèi)稟增長(zhǎng)率對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性[2]及Hopf分岔的影響

2.1 穩(wěn)定性分析

2）f＞d， 當(dāng)c≤ma時(shí).

系統(tǒng)有正平衡點(diǎn)E?(x?,y?)，其中.

則原系統(tǒng)在E?處可線性化為.

令λ=iω0，則其特征方程為(λ-p1+a)(λ-p4)-p2p3=0 ，

得λ2+(a-p1-p4)λ+p1p4-ap4-p2p3=0.

可知：當(dāng)a-p1-p4=0，即a0=p1+p4時(shí).

同時(shí)可得如下定理：

定理1對(duì)于系統(tǒng)（Δ），當(dāng)a-p1-p4＞0 ，p1p4-ap4-p2p3＞0時(shí)，系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)E?(x?,y?)處漸近穩(wěn)定.

下面分析參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響：

特征方程(λ-p1+a)(λ-p4)-p2p3=0兩端λ對(duì)a求導(dǎo)可得

在a0=p1+p4處，，得.

故當(dāng)a=a0時(shí)，原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E?處發(fā)生Hopf分岔。

定理2當(dāng)a穿過臨界值a0=p1+p4且在其附近時(shí)，原系統(tǒng)（Δ）在平衡點(diǎn)E?(x?,y?)處發(fā)生Hopf分岔，在小于臨界值時(shí)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，在大于臨界值時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定。

2.2 Hopf分岔的方向和周期解的穩(wěn)定性

下面分析Hopf分岔的方向和周期解的穩(wěn)定性.

設(shè)對(duì)應(yīng)于λ=iω0的特征向量為，得

(p1-a)+p2V1=iω0，即，

其中

現(xiàn)系統(tǒng)（Δ）取定b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,a0=1.97703，系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)(6.25676,8.45508)附近發(fā)生Hopf分岔，且ω0=0.176872，進(jìn)行如下計(jì)算：

由描述Hopf分岔性質(zhì)的公式[3]的結(jié)論判斷可知：由于u2＜0，率依賴捕食-被捕食系統(tǒng)(Δ)的Hopf分岔是亞臨界的，當(dāng)a＞a0時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)a穿過a0，即a＜a0時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生一簇周期解，因β2＜0，周期解是穩(wěn)定的。

3 數(shù)值研究

現(xiàn)應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)軟件Winpp[1],取定b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，讓a變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)(Δ)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行模擬，在驗(yàn)證所得結(jié)論正確的同時(shí)，展示了系統(tǒng)(Δ)在a不同取值時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為，如圖1～圖4所示。

圖1是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值為x0=7,y0=9,a=1.971＜a0=1.97703時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖，系統(tǒng)有穩(wěn)定的周期解。

圖2是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值為x0=7,y0=9,a=1.974＜a0=1.97703時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖，系統(tǒng)有穩(wěn)定的周期解。

圖2 參數(shù)2時(shí)捕食和被捕食密度變化及穩(wěn)定情況

圖3是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值為x0=7,y0=9,a=1.978＞a0=1.97703時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖，平衡點(diǎn)E*是穩(wěn)定焦點(diǎn)。

圖3 參數(shù)3時(shí)捕食和被捕食密度變化及穩(wěn)定情況

圖4是當(dāng)系統(tǒng)(Δ)取參數(shù)為b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值為x0=7,y0=9,a=2＞a0=1.97703時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間歷程及相圖，平衡點(diǎn)E*是穩(wěn)定焦點(diǎn)。

圖4 參數(shù)4時(shí)捕食和被捕食密度變化及穩(wěn)定情況

4 結(jié)論

通過本文的研究可以看出，對(duì)于含多個(gè)參數(shù)的率依賴捕食-被捕食系統(tǒng)模型，我們可以通過系統(tǒng)的參數(shù)的變化來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況。當(dāng)其他參數(shù)取定數(shù)值時(shí)，我們可以找到所討論內(nèi)稟增長(zhǎng)率參數(shù)a的臨界值，根據(jù)計(jì)算出來(lái)的u2、β2符號(hào)，來(lái)判斷所取參數(shù)a大于或小于臨界值時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性或分岔性質(zhì)，以分析捕食者和被捕食者兩種群是否有穩(wěn)定的數(shù)量，或在一個(gè)范圍內(nèi)有周期的變化。通過研究可知，內(nèi)稟增長(zhǎng)率對(duì)率依賴捕食-被捕食系統(tǒng)模型有著重要影響，其取值變化會(huì)決定系統(tǒng)種群規(guī)模穩(wěn)定或是波動(dòng)，對(duì)于保護(hù)生物種類的多樣性有重要的理論意義。