蔣 聰，吳 斌，王順利，熊 鑫

(西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010)

0 引言

近年來(lái)，隨著鋰電池內(nèi)部正負(fù)極、隔膜和電解液等材料的不斷優(yōu)化改進(jìn)，工作性能高速發(fā)展，使得鋰電池大量運(yùn)用在新能源汽車(chē)、航空、分布式儲(chǔ)能等領(lǐng)域。而鋰電池荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)的準(zhǔn)確估算是鋰電池組安全高效工作的重要參數(shù)[1]，是判斷電池管理系統(tǒng)(battery management system，BMS)優(yōu)劣的關(guān)鍵依據(jù)。但因?yàn)閯?dòng)力鋰電池所具有很強(qiáng)的非線性特征，以及外部復(fù)雜環(huán)境和使用工況的影響，如溫度、放電倍率等，在實(shí)際應(yīng)用中仍然難以保證算法的可靠性和對(duì)SOC估計(jì)精度，最終將降低電池管理系統(tǒng)的工作效率和安全性。本文提出一種基于改進(jìn)擴(kuò)展卡爾曼的SOC估算算法，可以有效防止因計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)度有限而引起的濾波發(fā)散。

1 等效模型構(gòu)建

1.1 理論分析

電池等效電路模型圖如圖1所示。

圖1 電池等效電路模型

一般電池模型分為電化學(xué)模型、等效電路模型、純數(shù)學(xué)模型，由于等效電路模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、物理意義明確的特點(diǎn)，在研究中使用較為廣泛。常用等效電路模型有Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型和二階等效模型。

在Rint模型中：R0為鋰電池的歐姆內(nèi)阻，表征鋰電池電流突變引起的瞬時(shí)壓降；UOC為理想電壓源表征開(kāi)路電壓；I為電池的環(huán)路電流，設(shè)定其放電方向?yàn)檎?；UL為鋰電池負(fù)載端電壓。在Rint模型基礎(chǔ)上添加1個(gè)RC并聯(lián)回路表征電池的極化效應(yīng)，分別為極化內(nèi)阻Rp、極化電容Cp，模擬電池充放電過(guò)程中的電壓緩慢變化，得到了Thevenin模型。在Thevenin模型上添加Cb，表征負(fù)載電流隨時(shí)間產(chǎn)生的開(kāi)路電壓變化，得到了PNGV模型。在Thevenin模型上再添加一個(gè)RC并聯(lián)回路，得到了二階等效模型。

簡(jiǎn)單的模型便于計(jì)算，但不能準(zhǔn)確地描述電池的工作特性，復(fù)雜的模型能更好地表征電池的充放電特性，但計(jì)算量會(huì)大大增加，降低了模型的適應(yīng)性和推廣應(yīng)用。Lai等比較了不同階數(shù)等效電路模型對(duì)于SOC估算效果的影響[2-5]，其中二階以上，模型精度增加并不明顯，但計(jì)算量大大增加。綜合考慮精確建模和模型簡(jiǎn)約，本文采用二階等效電路模型。根據(jù)基爾霍夫(Kirchhoff)電路定律，結(jié)合圖1(d)，可以列出式(1)。

(1)

式中:UL為負(fù)載端電壓；Uoc(SOC)為開(kāi)路電壓；i為負(fù)載電流；RO為歐姆內(nèi)阻；UP1、UP2為兩個(gè)極化電容端電壓；CP1、CP2為極化電容；t為時(shí)間。

針對(duì)所選取的二階等效模型，選取[SOCUP1UP2]作為狀態(tài)變量，結(jié)合式(1)及SOC的定義，經(jīng)過(guò)離散化可以列出鋰電池離散狀態(tài)空間方程如式(2)所示。

(2)

式中:下標(biāo)k為當(dāng)前時(shí)刻，k+1代表下一時(shí)刻；Qn為電池額定電量；SOC為電池荷電狀態(tài)，當(dāng)前電量和電池額定電量的比值；h為庫(kù)倫效率；T為采樣周期；RO為歐姆內(nèi)阻；Rp1、Rp2為極化內(nèi)阻；UP1、UP2為兩個(gè)極化電容端電壓；t1、t2為時(shí)間常數(shù)，t1=Rp1Cp1、t2=Rp2Cp2；UL為負(fù)載端電壓；Uoc為開(kāi)路電壓。

二階等效電路模型所需要辨識(shí)的參數(shù)有歐姆內(nèi)阻RO、開(kāi)路電壓Uoc、極化內(nèi)阻Rp1、Rp2和極化電容Cp1、Cp2。這里選擇對(duì)動(dòng)力鋰電池進(jìn)行混合脈沖功率性能(hybridge pulse power characteristic，HPPC)測(cè)試試驗(yàn)，根據(jù)鋰電池外部特性變化，運(yùn)用Matlab軟件根據(jù)最小二乘原理進(jìn)行離線參數(shù)辨識(shí)。

1.2 HPPC試驗(yàn)

以中航鋰電三元鋰電池LFP50AH為研究對(duì)象，電池測(cè)試設(shè)備為亞科源BTS750-200-100-4，參考《美國(guó)Freedom CAR電池試驗(yàn)手冊(cè)》對(duì)鋰電池進(jìn)行HPPC試驗(yàn)。單次HPPC試驗(yàn)工步過(guò)程為：以放電倍率1 C(這里電流為50 A)恒流放電10 s、擱置40 s、以放電倍率1 C(這里電流為50 A)恒流充電10 s、再擱置。HPPC試驗(yàn)電流電壓曲線如圖2所示。

圖2 HPPC試驗(yàn)電流電壓曲線圖

分析圖2，可以得到以下4個(gè)階段特點(diǎn)。

①t1時(shí)刻開(kāi)始放電。鋰電池端電壓從U1突降變?yōu)閁2。這主要是由于鋰電池歐姆內(nèi)阻引起的電壓變化。

②從t2到t3期間，鋰電池端電壓從U2緩慢下降到U3。這是由于電池極化效應(yīng)存在，放電電流對(duì)極化電容充電的過(guò)程，是雙RC串聯(lián)回路的零狀態(tài)響應(yīng)。

③從t3到t4期間，鋰電池端電壓從U3突升變?yōu)閁4。這同樣是由于鋰電池歐姆內(nèi)阻引起的電壓變化。

④從t4到t5期間，鋰電池端電壓從U4緩慢回升到U5。這是極化電容對(duì)極化電阻放電的過(guò)程，是雙RC電路的零輸入響應(yīng)。

1.3 模型參數(shù)辨識(shí)

1.3.1 開(kāi)路電壓

開(kāi)路電壓UOC是電池在長(zhǎng)時(shí)間靜置狀態(tài)下電池正負(fù)兩端穩(wěn)定的電壓。試驗(yàn)表明，將電池靜置40 min后的電壓穩(wěn)定，可以認(rèn)為等于電池的開(kāi)路電壓。故可以取圖2(a)中U1為該SOC值下對(duì)應(yīng)的開(kāi)路電壓。通過(guò)上述HPPC試驗(yàn)，可以直接讀出SOC值0.1～1對(duì)應(yīng)的10個(gè)開(kāi)路電壓值。

1.3.2 歐姆內(nèi)阻

由特征可知，鋰電池在放電瞬間以及停止瞬間端電壓會(huì)突變，均是由于歐姆內(nèi)阻導(dǎo)致的。故可以選取兩電壓差求均值除以電流得到歐姆電阻，如式(3)所示。

(3)

式中：U1為圖2(c)中開(kāi)始放電時(shí)鋰電池端電壓；U2為圖2(c)中U1突降后端電壓；U3為圖2(c)中放電10 s結(jié)束時(shí)端電壓；U4為圖2(c)中U3電壓突升后端電壓；I為放電電流，其值為50 A。

1.3.3 極化電容極化電阻

從圖2(a)特征可以看出，從t2到t3期間，鋰電池端電壓從U2緩慢下降到U3。這是由于電池極化效應(yīng)存在，放電電流對(duì)極化電容充電的過(guò)程是雙RC回路串聯(lián)的零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)電路進(jìn)行時(shí)域分析，選取t2到t3期間數(shù)據(jù)，可以得到一個(gè)端電壓UL與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，如式(4)所示。

UL(t)=U2-IRP1[1-e-t/τ1]-IRP2[1-exp-t/τ2]

(4)

式中：UL(t)為負(fù)載端電壓；t為時(shí)間，從U2為0時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)。

將極化內(nèi)阻Rp1、Rp2以及t1、t2作為未知量，根據(jù)公式(4)和從t2到t3期間的數(shù)據(jù)。運(yùn)用Matlab中的cftool擬合工具，可以直接得到4個(gè)值，再根據(jù)公式t1=Rp1Cp1、t2=Rp2Cp2，求出極化電容Cp1、Cp2。

2 SOC估算算法

電池的SOC估算是一個(gè)明顯的隱馬爾科夫模型，針對(duì)傳統(tǒng)SOC估算方法對(duì)初值的依賴以及算法的穩(wěn)定性，提出一種在擴(kuò)展卡爾曼算法基礎(chǔ)上，將狀態(tài)協(xié)方差矩陣進(jìn)行平方根分解得到的擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)算法，具有SOC初值自適應(yīng)修正能力，也有效防止因?yàn)橛?jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限而可能引起的濾波發(fā)散。

卡爾曼濾波主要步驟是設(shè)定狀態(tài)向量初值X(0|0)及其協(xié)方差矩陣初值P(0|0)，根據(jù)模型計(jì)算下一時(shí)刻估計(jì)值，再計(jì)算卡爾曼增益，通過(guò)卡爾曼增益修正估計(jì)值。在實(shí)際運(yùn)用中，有時(shí)出現(xiàn)濾波發(fā)散問(wèn)題。這可能是由于計(jì)算機(jī)的舍入誤差(計(jì)算誤差)，使得P(k|k-1)、P(k|k)的計(jì)算值失去非負(fù)定性，導(dǎo)致K(k)的計(jì)算失真，造成誤差越來(lái)越大。對(duì)于矩陣S，可得SST是對(duì)稱非負(fù)定的。

鋰電池SOC估算流程如圖3所示。

圖3 鋰電池SOC估算流程圖

因此，可將狀態(tài)協(xié)方差矩陣P(k|k)進(jìn)行分解為S(k|k)S(k|k))T，任何時(shí)刻至少具有非負(fù)定性。矩陣的分解方法如式(5)和式(6)所示。

(5)

(6)

式中：Pnn為協(xié)方差矩陣中第n行n列的值；Snn為分解協(xié)方差矩陣中第n行n列的值。

根據(jù)式(5)、式(6)，對(duì)協(xié)方差矩陣P進(jìn)行矩陣分解，故此可以得到相應(yīng)的改進(jìn)擴(kuò)展卡爾曼算法。首先是設(shè)定算法初值X(0|0)、S(0|0)。然后進(jìn)入時(shí)間更新預(yù)測(cè)階段，根據(jù)狀態(tài)空間模型從(k-1)時(shí)刻的最優(yōu)預(yù)測(cè)值X(k-1|k-1)根據(jù)式(2)直接計(jì)算出的k時(shí)刻預(yù)測(cè)值X(k|k-1)及其對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量協(xié)方差矩陣P(k|k-1)的分解矩陣S(k|k-1)，改進(jìn)的擴(kuò)展卡爾曼算法計(jì)算過(guò)程預(yù)測(cè)階段式(7)和式(8)所示。

X(k|k-1)=A(k)X(k-1|(k-1)+BIk

(7)

S(k|k-1)=A(k)S(k-1|k-1)

(8)

式中：X(k|k-1)為根據(jù)公式從(k-1)時(shí)刻計(jì)算得到k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)；X(k-1|k-1)為(k-1)時(shí)刻觀測(cè)更新修正后的系統(tǒng)狀態(tài)；A(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B為控制矩陣；S(k|k-1)為從(k-1)時(shí)刻計(jì)算得到k時(shí)刻協(xié)方差分解矩陣；S(k-1|k-1)為(k-1)時(shí)刻觀測(cè)更新修正后協(xié)方差分解矩陣。

接著觀測(cè)更新修正階段，通過(guò)計(jì)算卡爾曼增益K(k),如式(9)所示。再對(duì)直接計(jì)算出的k時(shí)刻預(yù)測(cè)值X(k|k-1)及協(xié)方差分解矩陣S(k|k-1)進(jìn)行修正，得到了最優(yōu)估計(jì)值X(k|k)。計(jì)算過(guò)程如式(10)和式(11)所示。

(9)

X(k|k)=X(k|k-1)+K(k)[UL(k)-H(k)×

(k|k-1)-BI(k)]

(10)

(11)

式中：K(k)為卡爾曼增益；Fk、αk、γk為使公式簡(jiǎn)潔的中間量；R為觀測(cè)白噪聲的方差；H(k)為觀測(cè)矩陣；X(k|k)為k時(shí)刻觀測(cè)更新修正后的系統(tǒng)狀態(tài)；H(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；S(k|k)為k時(shí)刻觀測(cè)更新修正后協(xié)方差分解矩陣。

在給定初值X(0|0)、S(0|0)的情況下，通過(guò)以上公式進(jìn)行迭代，就可以得到每個(gè)時(shí)刻狀態(tài)向量X(k|k)。根據(jù)所選取的狀態(tài)向量為[SOCUP1UP2]T,輸出估計(jì)狀態(tài)量的第一項(xiàng)即為需要的SOC估計(jì)值。根據(jù)以上算法進(jìn)行SOC估算，因?yàn)镻(0|0)非負(fù)定，至少應(yīng)保證狀態(tài)協(xié)方差矩陣P(k|k)總是非負(fù)定的，從而克服因計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限而可能引起的濾波發(fā)散。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 BBDST工況

本文參考北京公交動(dòng)態(tài)測(cè)試(Beijing bus dynamic stress test，BBDST)工況，設(shè)置工況試驗(yàn)，對(duì)所用中航鋰電LFP50AH三元鋰電池進(jìn)行測(cè)試。電池充放電設(shè)備是由深圳市亞科源科技有限公司提供的BTS750-200-100- 4電池檢測(cè)設(shè)備，BBDST工況是對(duì)北京公交車(chē)起步、加速、滑行、制動(dòng)、急加速、停車(chē)等各個(gè)環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)采集后進(jìn)行處理所得到工況。由于本文是對(duì)鋰電池單體進(jìn)行研究，根據(jù)實(shí)際情況，將每步工況功率按比例縮小。BBDST工況描述如表1所示。

表1 BBDST工況描述

表1中:Ph為真實(shí)的公交車(chē)起步加速滑行等工況下電池輸出功率。由于是對(duì)50 Ah鋰電池單體進(jìn)行試驗(yàn)，對(duì)Ph進(jìn)行減小，得到了Pc中數(shù)據(jù)。Pc為本次對(duì)中航鋰電LFP50AH三元鋰電池進(jìn)行試驗(yàn)所用工況數(shù)據(jù)。單步為每一步工況時(shí)長(zhǎng)，累計(jì)為工況累計(jì)時(shí)長(zhǎng)。從表1可知，一次完整BBDST工況時(shí)長(zhǎng)300 s。這里對(duì)電池進(jìn)行20次BBDST工況測(cè)試。BBDST工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 BBDST工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)

隨著循環(huán)次數(shù)增加，放電電流增大，電池端電壓整體呈現(xiàn)下降趨勢(shì)

3.2 仿真結(jié)果與分析

選擇在Matlab/Simulink中建立仿真系統(tǒng)模型，用于驗(yàn)證算法SOC估算效果。結(jié)合根據(jù)前面知識(shí)，如所獲得二階等效電路模型參數(shù)數(shù)據(jù)、BBDST試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立Simulink仿真模型[6-10]。

運(yùn)行仿真后得到SOC估算結(jié)果如圖5所示。

圖5 SOC估算結(jié)果

從圖5(a)所示的SOC估算圖可知：20次BBDST工況試驗(yàn)，所用鋰電池SOC從100%下降到65%，初始SOC誤差為25%；改進(jìn)EKF迭代10s后誤差降低到10%，80 s后最大誤差低于2%。對(duì)誤差值取絕對(duì)值后，再取平均數(shù)，得到平均誤差為0.45%。結(jié)果表明，算法估算效果良好，且具有很強(qiáng)的修正初值誤差的能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)動(dòng)力鋰電池LFP50AH建立二階等效電路模型，使用改進(jìn)EKF算法進(jìn)行SOC估算。在BBDST工況下，設(shè)定初始SOC誤差為25%。仿真結(jié)果表明，鋰電池SOC估算誤差在10 s后低于10%，在80 s后最大誤差低于2%，全程平均誤差為0.45%。改進(jìn)EKF算法能有效修正SOC初值引起的誤差，并防止因?yàn)橛?jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限而引起的濾波發(fā)散，且估算效果良好。