孫延修， 潘 斌

(1.沈陽工學院基礎(chǔ)課部，遼寧 撫順 113122；2.遼寧石油化工大學理學院，遼寧 撫順 113001)

0 引言

觀測器理論源于 20 世紀六七十年代對線性系統(tǒng)所設(shè)計的卡爾曼濾波器[1]和Luenberger 觀測器[2]。觀測器設(shè)計問題實質(zhì)上是利用原系統(tǒng)中可直接測量的信息(如輸入或輸出)作為新系統(tǒng)的輸入信號，重新構(gòu)造一個系統(tǒng)，使其輸出在一定的形式下能度量出原系統(tǒng)的狀態(tài)[3]。近幾十年，針對系統(tǒng)觀測器的研究已經(jīng)取得了許多重要成果，比如反饋控制、系統(tǒng)監(jiān)控、故障檢測等。文獻[4]～文獻[8]分別從基于觀測器的狀態(tài)反饋控制、觀測器存在的條件及基于觀測器的故障診斷等方面進行了研究。

廣義系統(tǒng)在機械、電氣、經(jīng)濟、電路等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上，針對非線性離散廣義系統(tǒng)進行了研究?？紤]非線性項的特點給出了觀測器的兩個存在性判據(jù)，避免了觀測器設(shè)計中增益矩陣求解的盲目性。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下非線性離散廣義系統(tǒng)：

(1)

式中：E∈Rn×n為奇異矩陣且滿足rank(E)=q

系統(tǒng)(1)可等價轉(zhuǎn)換為：

Ny(k+1)

(2)

相對正常系統(tǒng)，廣義系統(tǒng)是一種更具廣泛形式的系統(tǒng)，許多正常系統(tǒng)的結(jié)論已經(jīng)相繼被推廣到廣義系統(tǒng)中[9]。本文通過等價變換，將廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為正常系統(tǒng)的形式進行狀態(tài)觀測器的設(shè)計。

本文的目的是針對系統(tǒng)(1)設(shè)計狀態(tài)觀測器，并得到狀態(tài)觀測器的存在性判據(jù)，以獲得觀測器的增益矩陣。下面給出文中用到的兩個引理[10-11]。

引理1 設(shè)x、y是具有相同維數(shù)的實數(shù)向量，則對于任意正數(shù)ε>0，有下面不等式成立：

2 觀測器的設(shè)計

考慮系統(tǒng)(2)，設(shè)計如下狀態(tài)觀測器：

Ny(k+1)

(3)

(4)

為保證式(3)是系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測器，需狀態(tài)誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定且狀態(tài)收斂于0。

3 觀測器存在性判據(jù)

(5)

則誤差系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定。

由式(5)可知，ΔV<0，誤差漸近穩(wěn)定，證明完畢。

若系統(tǒng)(1)中的非線性部分φ[x(k)]滿足Lipschitz條件，即φ[x(k)]滿足：

則有：

定理2 考慮系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)，若存在正定矩陣P和增益L滿足不等式:

(6)

證明 由于φ(x)為Lipschitz非線性項，即滿足：

則有：

根據(jù)式(4)則有：

根據(jù)Schur補引理2，M<0等價于不等式(6)，這時ΔV<0誤差狀態(tài)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，證明完畢。

定理2 考慮到系統(tǒng)非線性部分φ[x(k)]滿足Lipschitz條件，通過選取李亞普諾夫函數(shù)，以線性矩陣不等式的形式給出了誤差漸進穩(wěn)定的充分條件，便于利用MATLAB的LMI工具箱對狀態(tài)觀測器中增益矩陣進行求解。

4 數(shù)值算例

考慮非線性離散廣義系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下：

①利用MATLAB計算，可得誤差方程中非線性部分允許的界限：

②根據(jù)系統(tǒng)①可觀測，可以得到如下矩陣：

系統(tǒng)中的非線性項φ[x(k)]滿足Lipschitz條件并取α=0.5時，利用MATLAB求解線性矩陣不等式(6)，可得:

增益矩陣L=(XP-1)T為：

5 結(jié)束語

觀測器的設(shè)計在控制理論中具有廣泛的應(yīng)用，本文提出了非線性離散廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計方法，并通過討論系統(tǒng)中的非線性項，給出了觀測器的兩個存在性判據(jù)。定理1以范數(shù)形式給出了觀測誤差漸進穩(wěn)定的充分條件，并得出了觀測器誤差方程中非線性部分允許的界限；定理2以線性矩陣不等式的形式給出了當系統(tǒng)中的非線性部分滿足Lipschitz條件時觀測器存在性的充分條件。最后，通過一個數(shù)值算例，驗證了非線性廣義離散系統(tǒng)觀測器存在性判據(jù)的有效性。