董瑞琦，吳愛國，張 穎，賀 亮

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院·深圳·518055；2. 上海航天控制技術(shù)研究所·上海·201109)

0 引 言

姿態(tài)穩(wěn)定控制律設(shè)計是航天器控制系統(tǒng)設(shè)計最重要的一部分，為了滿足姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計的高精度、高穩(wěn)定度的要求[1]，很多控制方法被提出，比如比例微分(Proportion Differentiation，PD)控制算法[2]、滑?？刂品椒╗3]以及自適應(yīng)律[4]。

滑模控制律(Sliding Mode Control, SMC)是一種非線性控制策略，由于它自身的強(qiáng)魯棒性和易實現(xiàn)性，吸引了很多學(xué)者的注意。實際上，滑?？刂坡蛇€具有對于模型匹配不確定性以及外部干擾的不敏感性[5]等優(yōu)點。因此，滑?？刂坡杀粡V泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制律設(shè)計中。在文獻(xiàn)[6]中，通過解一個簡化模型的最優(yōu)控制問題，提出了滑?？刂坡?。該文基于姿態(tài)角速度和姿態(tài)角信息構(gòu)造了最優(yōu)的切換面。為了進(jìn)一步提高到達(dá)滑模面過程中系統(tǒng)狀態(tài)的瞬態(tài)響應(yīng)，文獻(xiàn)[7]提出了光滑的模型參考滑?？刂坡?。在文獻(xiàn)[8]中，滑模控制律用于解決航天器的姿態(tài)跟蹤問題。為了處理滑?？刂坡傻亩墩駟栴}，文獻(xiàn)[9]針對剛體航天器設(shè)計了高階滑?？刂坡?。文獻(xiàn)[10]針對撓性航天器設(shè)計滑模姿態(tài)控制律。

前述的滑模控制律包含兩個部分：由被控系統(tǒng)的名義部分推導(dǎo)得到的等效控制，以及處理系統(tǒng)的不確定性和外部干擾的控制項。并且上述文獻(xiàn)中提出的算法在設(shè)計滑?？刂坡蛇^程中，要求由系統(tǒng)不確定性和外部干擾構(gòu)成的函數(shù)的上界可以得到。然而，在實際應(yīng)用中，這個函數(shù)的上界很難得到。因此，解決該問題非常保守的辦法就是選擇一個非常大的切換增益，以保證設(shè)計的控制律對于系統(tǒng)的不確定和干擾有足夠的魯棒性。然而，非常大的控制增益會激發(fā)抖振，甚至導(dǎo)致航天器姿態(tài)系統(tǒng)失穩(wěn)[11]。目前，有兩種主要的策略可以解決不確定性和干擾上界未知的問題。一種方法是利用文獻(xiàn)[12]描述的干擾觀測器方法，利用該方法設(shè)計控制律時，通常假設(shè)干擾和模型的不確定性由線性外源性系統(tǒng)引發(fā)[13]。由于參數(shù)不確定性和干擾很難預(yù)測，因此該條件在實際應(yīng)用中很難滿足。另一種方法是利用參數(shù)自適應(yīng)策略。通過假設(shè)不確定性上界與系統(tǒng)狀態(tài)線性相關(guān)，文獻(xiàn)[14]提出了兩種自適應(yīng)滑模控制律。但是，該文獻(xiàn)中構(gòu)造的滑模函數(shù)是非連續(xù)的，不連續(xù)的滑模函數(shù)可以引起抖振。為了減弱抖振問題，文獻(xiàn)[15]對滑模面設(shè)計了一個邊界層，并且提出基于改進(jìn)自適應(yīng)律的滑?？刂坡?。此外，自適應(yīng)滑?？刂品椒ū挥糜谔幚聿淮_定撓性航天器的魯棒姿態(tài)控制問題[16]。

上述提到的研究都是針對剛體航天器設(shè)計姿態(tài)控制律。然而，現(xiàn)代航天器攜帶大型的、復(fù)雜的輕質(zhì)材料，比如太陽能電池板、天線等，因此現(xiàn)代航天器都是撓性的。航天器的這些撓性結(jié)構(gòu)通常會有低頻的振動模態(tài)[1]。這些振動模態(tài)可能會導(dǎo)致一系列問題包括姿態(tài)控制精度，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。此外，當(dāng)航天器在軌運行時，材料消耗、撓性附件的伸展和收縮都可能會影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。因此，撓性航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計必須要考慮轉(zhuǎn)動慣量不確定性。

本文是會議論文[17]的修改提高版本。本文內(nèi)容安排如下：首先，簡單介紹撓性航天器系統(tǒng);其次，利用可獲得的姿態(tài)信息構(gòu)造了部分狀態(tài)觀測器估計撓性航天器的撓性模態(tài)；再次，利用姿態(tài)信息設(shè)計滑模面，并且設(shè)計自適應(yīng)律估計由不確定性和外部干擾組成的函數(shù)的上界；最后，利用Lyapunov穩(wěn)定理論設(shè)計了可以鎮(zhèn)定閉環(huán)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模姿態(tài)控制律。此外，采用本文設(shè)計的控制律和現(xiàn)有方法對一個撓性航天器進(jìn)行對比試驗。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 數(shù)學(xué)模型

本文采用單位四元數(shù)描述撓性航天器的姿態(tài)，得到如下航天器姿態(tài)運動學(xué)方程：

(1)

式中：q0和qv=[q1q2q3]T∈R3分別為單位四元數(shù)q的標(biāo)量部分和向量部分；ω=[ω1ω2ω3]T∈R3為航天器本體角速度；T(q0,qv)為

(2)

其中，I3為3×3的單位矩陣，對于任意的向量x=[x1x2x3]T∈R3，x×的定義為：

(3)

顯然，對于任意的三維向量x，x×是一個反對稱矩陣。并且，單位四元數(shù)滿足如下的約束：

(4)

假設(shè)撓性附件的彈性形變很小[18]，利用歐拉定理，得到如下?lián)闲院教炱鞯淖藨B(tài)動力學(xué)方程[19]：

(5)

式中：Jmb為撓性航天器剛體部分的轉(zhuǎn)動慣量；Φ∈R3×4為撓性附件與航天器主體之間的耦合矩陣，用以描述撓性附件對航天器本體的影響；η為撓性附件的位移向量；ψ為中間變量；u為作用在航天器主體上面的外部輸入力矩；d為作用在航天器上的外部干擾力矩；C,K分別為撓性航天器的阻尼矩陣和剛性矩陣。針對本模型，考慮N階撓性模態(tài)，并且C,K為：

(6)

其中，ωni,i=1,2，…,N和ζi,i=1,2，…,N分別為自然頻率和阻尼系數(shù)。

注1：本文將文獻(xiàn)[20]中剛體航天器的結(jié)果推廣至撓性航天器。類似地，針對撓性航天器系統(tǒng)(5)，為了避免矩陣T(q0,qv)在q0=0時發(fā)生奇異，本文中對撓性航天器的工作區(qū)間給出如下約束：

(7)

下面引理給出矩陣T(q0,qv)的性質(zhì)。

引理1[19]：針對矩陣T(q0,qv)，有下述關(guān)系式成立：

(8)

式中：x=[x1x2x3]T∈R3為任意一個三維列向量。

1.2 問題描述

2 主要結(jié)果

本節(jié)首先構(gòu)造部分狀態(tài)觀測器估計不可測的撓性模態(tài)(η,ψ)。然后，基于姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω設(shè)計滑模函數(shù)。其次，為了估計轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾組成的函數(shù)的上界，提出自適應(yīng)律。最后，推導(dǎo)帶有轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。

2.1 撓性模態(tài)觀測器

為了估計不可測的撓性模態(tài)，構(gòu)造下述撓性模態(tài)觀測器，

(9)

式中：矩陣P為下述Lyapunov方程的解

其中，矩陣Q滿足Q=QT>0。

利用構(gòu)造的撓性模態(tài)觀測器(9)可以得到撓性模態(tài)位移的估計，利用估計得到的撓性模態(tài)信息，接下來設(shè)計撓性航天器(5)的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。

2.2 基于部分狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)滑?？刂坡?/h3>

針對撓性航天器(5)，假設(shè)姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω可測，我們將要設(shè)計動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。首先，構(gòu)造如下的滑模函數(shù)：

s=ω+Gqv

(10)

式中：G為3×3的對稱正定常數(shù)矩陣。接下來，通過下述定理給出構(gòu)造的滑模函數(shù)的有效性，即證明姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω在滑模面s=0上可以滑動至0。

定理1針對帶有轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器系統(tǒng)(5)，當(dāng)系統(tǒng)的姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω限制在滑模面s=0上時，系統(tǒng)的狀態(tài)最終趨于0。

證明：首先，選擇下述的Lyapunov函數(shù)：

(11)

利用條件s=0，以及引理1，可得

(12)

定理1證畢。

基于上述構(gòu)造的滑模面，下面將要設(shè)計撓性航天器的動態(tài)自適應(yīng)滑?？刂坡伞？紤]下述形式的狀態(tài)反饋控制律：

u=ueq+ud+uh

(13)

(14)

通過撓性航天器系統(tǒng)(5)的第二個方程可得名義系統(tǒng)如下：

ΦT(Cψ+Kη-CΦω)+u]

(15)

將上述表達(dá)式和系統(tǒng)(5)的第一個方程代入(14)，可得ueq

ueq=ω×(Jmb0ω+ΦTψ)-ΦT(Cψ+Kη-

(16)

(17)

為了設(shè)計控制項ud，首先給出函數(shù)?的定義如下，

(18)

(19)

式中：函數(shù)ρ(t,ω)僅與姿態(tài)變量ω有關(guān)，而與ΔJ、d無關(guān)。

假設(shè)1：假設(shè)存在正數(shù)c0、c1使得下述等式成立：

(20)

基于上述假設(shè)，設(shè)計控制項ud如下：

(21)

(22)

最后，設(shè)計控制項uh如下：

uh=-Ws-DF(s)

(23)

式中：W、D均為正定對角矩陣，矩陣F為

(24)

總結(jié)前述推導(dǎo)，可以得到下述基于部分狀態(tài)觀測器動態(tài)自適應(yīng)滑?？刂坡?，

(25)

接下來，通過下述定理驗證所設(shè)計的基于部分狀態(tài)觀測器的動態(tài)自適應(yīng)滑?？刂坡傻挠行浴?/p>

定理2針對存在未知上界的轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器系統(tǒng)(5)，首先定義下述撓性模態(tài)觀測誤差：

(26)

采用動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律(25)，撓性模態(tài)的觀測誤差eη、eψ以及切換函數(shù)s最終趨于0。

證明：選擇如下的Lyapunov函數(shù)：

V2(t)=V3(t)+V4(t)

式中：

(27)

(28)

對(27)和(28)分別求導(dǎo)可得：

(29)

(30)

將式(5)中的第一個等式和第二個等式代入(29)中可得，

(31)

(32)

根據(jù)式(18)和(26)可得：

ΦTKeη)+sT(?+ud)

(33)

通過利用式(21)可得，

(34)

利用式(20)和(22)，可得，

(35)

結(jié)合式(22)，可得，

(36)

對式(28)求導(dǎo)，并結(jié)合式(9)可得，

(37)

結(jié)合式(36)和(37)可得，

(38)

這表明，滑模函數(shù)最終趨于滑模面s=0，并且撓性模態(tài)的觀測誤差eη、eψ最終趨于0。證畢。

本文中提出的動態(tài)自適應(yīng)滑模控制律適用于存在轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的航天器撓性模態(tài)不可測時的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，并且該控制律不需要已知轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的上界。

3 仿真分析

為了驗證控制器(25)的有效性，參考文獻(xiàn)的仿真算例，將航天器各參數(shù)選取如下：

撓性航天器的名義轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)稱值Jmb(kg·m2)為：

撓性附件與剛體之間的耦合矩陣Φ(kg1/2·m)為：

此外，考慮前四階撓性附件的振動頻率為：

ωn1=0.7681rad/s,ωn2=1.1038rad/s
ωn3=1.8733rad/s,ωn4=2.5496rad/s

和前四階撓性附件的振動阻尼為：

ζ1=0.005607,ζ2=0.00862
ζ3=0.01283,ζ4=0.02516

姿態(tài)四元數(shù)的初始值為：

q0(0)=0.173648

在仿真中，角速度的初始值設(shè)為：

撓性航天器撓性模態(tài)變量的初始值為：

ηi=0.001,ψi=0.001,i=1,2,3,4

外界干擾信號d為：

10-3(N·m)

控制器的可調(diào)參數(shù)選取為

G=diag{0.5,0.5,0.5},l0=5,l1=5
W=20I3×3,D=5I3×3,Q=2I3×3

考慮撓性航天器的旋轉(zhuǎn)角度為160°，歐拉軸為：

機(jī)動目標(biāo)為：在40s內(nèi)使撓性航天器從初始狀態(tài)機(jī)動到目標(biāo)狀態(tài)，并且有效地抑制振動。

與文獻(xiàn)[21]中定理2提出的控制律(在本文中稱為Controller A)對比的仿真結(jié)果在圖1中。其中，實線代表本文提出的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律(Dynamical Adaptive Sliding Mode Control, DASMC)，藍(lán)色虛線代表文獻(xiàn)[21]中提出的Controller A。

通過總結(jié)仿真結(jié)果可得，本文提出的動態(tài)自適應(yīng)滑模控制律不會產(chǎn)生抖振，并且在有限時間內(nèi)可以鎮(zhèn)定撓性航天器系統(tǒng)。

(a)撓性模態(tài)位移響應(yīng)

(b)控制力矩響應(yīng)曲線

(c)姿態(tài)四元數(shù)響應(yīng)

(d)姿態(tài)角速度響應(yīng)圖1 DASMC控制律與 Controller A比較Fig.1 Comparison of DASMC law and controller A

4 結(jié) 論

本文主要研究了存在轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，并設(shè)計基于觀測器的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。

本文設(shè)計的控制律不需要轉(zhuǎn)動慣量不確定性以及外部干擾的先驗知識，并且還適用于撓性模態(tài)不可測的情況。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了撓性航天器閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，通過將所設(shè)計的控制律運用于四階撓性模態(tài)撓性航天器系統(tǒng)中，驗證了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性。