我們知道，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法既貫穿于高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以函數(shù)問(wèn)題一直是高考命題重點(diǎn)與熱點(diǎn).而導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)必選的重要知識(shí)之一.由于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性，可為解決所學(xué)過(guò)的函數(shù)問(wèn)題提供更有效的工具或更一般性的方法，因此在高考中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)“形影不離”.那么從高考命題角度看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主要有哪些熱點(diǎn)呢？

熱點(diǎn)一?函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

例1?（1）（山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（14）=1，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=log2（-x）+m，則實(shí)數(shù)m=????.

（2）（2019年高考天津改編）已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為????.

解析：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（14）=1，且x<0時(shí)，f（x）=log2（-x）+m，∴f（-14）=log214+m=-2+m=-1，∴m=1.

（2）∵c=0.30.2<0.30=1，a=log27>log24=2，1

說(shuō)明：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

熱點(diǎn)二?函數(shù)的圖象

例2?（1）（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)）函數(shù)f（x）=sinx+xcosx+x2在[-π，π]的圖象大致為（??）

（2）（北京市朝陽(yáng)區(qū)2019屆高三5月模擬）已知函數(shù)f（x）=2x，x≥a

-x，x

解析：（1）由f（-x）=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-f（x），得f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

又f（π2）=1+π2（π2）2=4+2ππ2>1，f（π）=π-1+π2>0，可知應(yīng)為D選項(xiàng)中的圖象.故選D.

（2）函數(shù)f（x）=2x，x≥a

-x，x

若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）.

說(shuō)明：對(duì)于函數(shù)圖象同學(xué)們要做到以下三點(diǎn)：

（1）會(huì)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法.圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換.尤其注意y=f（x）與y=f（-x）、y=-f（x）、y=-f（-x）、y=f（|x|）、y=|f（x）|及y=af（x）+b的相互關(guān)系.

（2）會(huì)識(shí)圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（3）會(huì)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.

熱點(diǎn)三?函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

例3?（1）函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是????.

（2）（2015·江蘇）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，

g（x）=0，0

|x2-4|-2，x>1，則方程|f（x）+g（x）|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為????.

解析：（1）因?yàn)閒′（x）=2xln2+3x2>0，所以函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）上遞增，

且f（0）=1+0-2=-1<0，f（1）=2+1-2=1>0，所以有1個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)，由|f（x）+g（x）|=1得|lnx|=3-|x2-4|或|lnx|=1-|x2-4|.分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|lnx|與y=3-|x2-4|的圖象（如圖1）和函數(shù)y=|lnx|與y=1-|x2-4|的圖象（如圖2）.

當(dāng)x>1時(shí)，它們分別有1個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)，故x>1時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根.

綜上，方程|f（x）+g（x）|=1共有4個(gè)不同的實(shí)根.

說(shuō)明：函數(shù)零點(diǎn)（即方程的根）的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的有①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定;②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定;③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定.解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.

熱點(diǎn)四?函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）與參數(shù)的范圍?例4?（2019年高考江蘇）設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=1-（x-1）2，g（x）=k（x+2），0

-12，10.若在區(qū)間（0，9]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是????.

解析：作出函數(shù)f（x），g（x）的圖象，如圖所示.由圖可知，函數(shù)f（x）=1-（x-1）2的圖象與g（x）=-12（1

要使關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則f（x）=1-（x-1）2，x∈（0，1]與g（x）=k（x+2），x∈（0，1]的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

由點(diǎn)（1，0）到直線kx-y+2k=0的距離為1，可得|3k|k2+1=1，解得k=24（k>0），

∵兩點(diǎn)（-2，0），（1，1）連線的斜率k=13，

∴13≤k<24，

綜上可知，滿(mǎn)足f（x）=g（x）在（0，9]上有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的k的取值范圍為[13，24）.

說(shuō)明：已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù);也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進(jìn)行求解.

熱點(diǎn)五?導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義

例5?（1）（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷）曲線y=3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為????.

（2）（2019年高考江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-e，-1）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是????.

解析：（1）因?yàn)閥′=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，

所以切線的斜率k=y′|x=0=3，

則曲線y=3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=3x，即3x-y=0.

（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值，可得切點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），則y0=lnx0.

又y′=1x，當(dāng)x=x0時(shí)，y′=1x0，

則曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線為

y-y0=1x0（x-x0），即y-lnx0=xx0-1，

將點(diǎn)（-e，-1）代入，得-1-lnx0=-ex0-1，即x0lnx0=e，

考察函數(shù)H（x）=xlnx，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H（x）<0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，H（x）>0，且H′（x）=lnx+1，當(dāng)x>1時(shí)，H′（x）>0，H（x）單調(diào)遞增，注意到H（e）=e，

故x0lnx0=e存在唯一的實(shí)數(shù)根x0=e，此時(shí)y0=1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（e，1）.

說(shuō)明：（1）求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.

熱點(diǎn)六?利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

例6?（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷）已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說(shuō)明理由.

解析：（1）f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f′（x）=0，得x=0或x=a3.

若a>0，則當(dāng)x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）時(shí)，f′（x）>0;當(dāng)x∈（0，a3）時(shí)，f′（x）<0.故f（x）在區(qū)間（-∞，0），（a3，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，a3）單調(diào)遞減;

若a=0，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）單調(diào)遞增;

若a<0，則當(dāng)x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）時(shí)，f′（x）>0;當(dāng)x∈（a3，0）時(shí)，f′（x）<0.故f（x）在區(qū)間（-∞，a3），（0，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間（a3，0）單調(diào)遞減.

（2）滿(mǎn)足題設(shè)條件的a，b存在.

（i）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知，f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=2-a+b.此時(shí)a，b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.

（ii）當(dāng)a≥3時(shí)，由（1）知，f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，所以f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=2-a+b.此時(shí)a，b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.

（iii）當(dāng)0

若-a327+b=-1，b=1，則a=332，與0

若-a327+b=-1，2-a+b=1，則a=33或a=-33或a=0，與0

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，b=-1或a=4，b=1時(shí)，f（x）在[0，1]的最小值為-1，最大值為1.

說(shuō)明：這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合題，題目難度比往年降低了不少，考查函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值這種基本量的計(jì)算.注意：求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無(wú)窮區(qū)間（或開(kāi)區(qū)間）上的最值時(shí)，方法是不同的.求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間（或開(kāi)區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

熱點(diǎn)七?導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、不等式的綜合

例7?（2019年高考天津）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）ex，其中a∈R.

（1）若a≤0，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若0

（3）設(shè)x0為f（x）的極值點(diǎn)，x1為f（x）的零點(diǎn)，且x1>x0，證明3x0-x1>2.

解析：（1）由已知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且

f′（x）=1x-[aex+a（x-1）ex]=1-ax2exx.

因此當(dāng)a≤0時(shí)，1-ax2ex>0，從而f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）證明：（i）由（1）知f′（x）=1-ax2exx.

令g（x）=1-ax2ex，由0

可知g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，

又g（1）=1-ae>0，且

g（ln1a）=1-a（ln1a）21a=1-（ln1a）2<0.

故g（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有唯一解，從而f′（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為x0，則1g（x0）x=0，所以f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）=g（x）x

令h（x）=lnx-x+1，則當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）=1x-1<0，故h（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x>1時(shí)，h（x）

f（ln1a）=ln（ln1a）-a（ln1a-1）eln1a

=ln（ln1a）-ln1a+1=h（ln1a）<0，

又因?yàn)閒（x0）>f（1）=0，所以f（x）在（x0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn).又f（x）在（0，x0）內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，f（x）在（0，+∞）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

（3）由題意，f′（x0）=0，

f（x1）=0，即ax20ex0=1，

lnx1=a（x1-1）ex1，

從而lnx1=x1-1x20ex1-x0，即ex1-x0=x20lnx1x1-1.因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，lnxx0>1，故ex1-x02.

說(shuō)明：研究函數(shù)零點(diǎn)及不等式問(wèn)題，都要運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具.基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，必要時(shí)畫(huà)出函數(shù)的草圖輔助思考.

熱點(diǎn)八?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例8?（江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）鹽城市政府響應(yīng)習(xí)總書(shū)記在十九大報(bào)告中提出的“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，對(duì)環(huán)境進(jìn)行了大力整治.目前鹽城市的空氣質(zhì)量位列全國(guó)前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社組織了一個(gè)旅游團(tuán)于近期來(lái)到了鹽城市黃海國(guó)家森林公園.數(shù)據(jù)顯示，近期公園中每天空氣質(zhì)量指數(shù)近似滿(mǎn)足函數(shù)f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），其中x為每天的時(shí)刻.若在凌晨6點(diǎn)時(shí)刻，測(cè)得空氣質(zhì)量指數(shù)為29.6.

（1）求實(shí)數(shù)m的值;

（2）求近期每天在[4，22]時(shí)段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻.（參考數(shù)值：ln6=1.8）

解析：（1）由題f（6）=29.6，代入

f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），

解得m=12.

（2）由已知函數(shù)求導(dǎo)得：

f′（x）=12-xx+600144-x2（x2+144）2

=（12-x）[1x+600（12+x）（x2+144）2]，

令f′（x）=0得x=12，

所以函數(shù)在x=12時(shí)取極大值也是最大值，即每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻為12時(shí).

答：（1）實(shí)數(shù)m的值為12;（2）每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻為12時(shí).

說(shuō)明：（1）關(guān)于解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識(shí)求解，解答后再回到實(shí)際問(wèn)題中去.（2）對(duì)函數(shù)模型求最值的常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法.

（作者：王佩其，太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)）