郭明軍， 李偉光， 楊期江， 趙學(xué)智

(1. 華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510640；2. 廣州航海學(xué)院 輪機(jī)工程學(xué)院，廣州 510725)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部分，其工作性能直接決定旋轉(zhuǎn)機(jī)械的穩(wěn)定性和安全性，在長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)受到各種隨機(jī)因素的影響，使其表現(xiàn)出極其豐富的動(dòng)力學(xué)行為，而許多機(jī)械故障與轉(zhuǎn)子振動(dòng)行為密切相關(guān)[1]。因此，基于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷是一種行之有效的方法。軸心軌跡是轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)的重要組成部分，工程當(dāng)中常采用軸心軌跡來(lái)監(jiān)測(cè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在同一軸截面相互垂直布置兩個(gè)位移傳感器來(lái)獲取轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移信號(hào)，然后將兩個(gè)位移信號(hào)合成為軸心軌跡[2]。轉(zhuǎn)子軸心軌跡包含著豐富的故障信息，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷當(dāng)中有重要的作用，然而實(shí)際采集的振動(dòng)信號(hào)通常會(huì)受到諸如電機(jī)工頻干擾、轉(zhuǎn)子碰磨及其他隨機(jī)噪聲等各種因素的影響，導(dǎo)致直接合成的軸心軌跡形狀很復(fù)雜而無(wú)法判斷其故障[3]。如何獲取清晰且真實(shí)的軸心軌跡，是軸心軌跡提純的研究?jī)?nèi)容，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)軸心軌跡提純進(jìn)行了大量研究，常用的方法包括：數(shù)字或模擬低通濾波法、小波變換和小波包變換、粒子群算法、EMD(Empirical Mode Decomposition)降噪[4]及形態(tài)濾波[5]等。上述這些降噪方法一般都存在頻帶選擇不明確、降噪畸變大、初相位影響嚴(yán)重等問(wèn)題，而軸心軌跡提純的本質(zhì)是對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理后合成軸心軌跡[6]。因此，需要對(duì)已有的降噪方法進(jìn)行改進(jìn)或?qū)で笮碌姆椒?，以達(dá)到理想的軸心軌跡提純效果。

近年來(lái)，奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)技術(shù)被廣泛應(yīng)用于消噪、信號(hào)特征提取、數(shù)據(jù)壓縮、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別及故障診斷等領(lǐng)域[7-11]。經(jīng)實(shí)踐證明，SVD是一種有效的降噪方法，可用于受加性噪聲污染的信號(hào)增強(qiáng)[9]。趙學(xué)智等[10]提出根據(jù)奇異值差分譜的峰值位置確定有用分量的個(gè)數(shù)，并從理論上證明了采用Hankel時(shí)SVD可以將信號(hào)分解為一系列分量信號(hào)的簡(jiǎn)單線性疊加。張景潤(rùn)等[11]進(jìn)一步將奇異值差分譜理論應(yīng)用于大型軸承試驗(yàn)臺(tái)主軸的軸心軌跡提純。遺憾的是，奇異值差分譜理論僅僅是利用奇異值的簡(jiǎn)單相減，缺乏普遍適用性。文獻(xiàn)[12]深入研究了有效奇異值個(gè)數(shù)與有用信號(hào)的基本參數(shù)(幅值、相位、頻率)及其頻率個(gè)數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在Hankel矩陣方式下，信號(hào)的有效奇異值數(shù)量取決于頻率個(gè)數(shù)，而與其基本參數(shù)無(wú)關(guān)，每一個(gè)頻率成分總是最多只產(chǎn)生兩個(gè)相鄰的非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)奇異值也越大。

本文針對(duì)實(shí)測(cè)的主軸位移信號(hào)存在噪聲污染的問(wèn)題，提出基于有效奇異值數(shù)量規(guī)律的軸心軌跡提純方法，并與基于EMD的改進(jìn)諧波小波算法進(jìn)行軸心軌跡提純的效果作對(duì)比，同時(shí)給出單獨(dú)采用EMD或諧波小波的軸心軌跡提純結(jié)果。此外，筆者研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)奇異值差分譜的首個(gè)峰值和緊隨其后的差分譜幅值很接近(≥97.16%)時(shí)，若還是根據(jù)最大峰值位置確定的奇異值個(gè)數(shù)來(lái)重構(gòu)信號(hào)，將會(huì)導(dǎo)致提純的軸心軌跡發(fā)生扭曲而無(wú)法判斷轉(zhuǎn)子的故障類(lèi)型，并從能量損失的角度對(duì)這種情況進(jìn)行了剖析，最后指出，在此種情況下應(yīng)該以第2個(gè)差分譜峰值對(duì)應(yīng)的分量個(gè)數(shù)重構(gòu)信號(hào)才能提純到正確的軸心軌跡。

1 SVD基本理論

對(duì)任意實(shí)矩陣A，其奇異值分解表示為[13]

A=UΣVT

(1)

式中：U=(u1,u2,…,um)∈Rm×n；V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n分別為左奇異矩陣和右奇異矩陣且都為正交矩陣,ui∈Rm×1,vi∈Rn×1分別為左奇異向量和右奇異向量；Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)為對(duì)角矩陣,其對(duì)角線元素為按降序排列的奇異值, 即σ1≥σ2≥…≥σr≥0，r=min(m,n)是矩陣A的秩。

將矩陣U,V的各個(gè)分量分別代入式(1)，可將其改寫(xiě)為如下的分量形式

(2)

(3)

由式(3)可知，在Hankel矩陣方式下，從原信號(hào)中提取某一個(gè)分量信號(hào)的過(guò)程通過(guò)簡(jiǎn)單的減法運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)，這種減法運(yùn)算并不會(huì)影響各分量信號(hào)在原信號(hào)中的相位，即具有零相位偏移特性。

2 基于有效奇異值數(shù)量規(guī)律的特征提取原理

基于有效奇異值數(shù)量規(guī)律的特征提取算法主要包括三個(gè)步驟： Hankel的構(gòu)造及分解、有效奇異值選擇及分量信號(hào)重構(gòu)。

2.1 Hankel矩陣構(gòu)造

式(1)中的矩陣A通常采用Hankel矩陣結(jié)構(gòu)，對(duì)正弦信號(hào)x(t)=asin(2πft+θ)以采樣間隔Ts進(jìn)行離散化， 可得X=[x(1),x(2),…,x(N)]， 利用離散序列X按照以下方法構(gòu)造Hankel

(4)

矩陣A稱(chēng)為重構(gòu)吸引子軌跡矩陣，也稱(chēng)為Hankel矩陣。趙學(xué)智等的研究證明了噪聲去除量與列數(shù)呈拋物線的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，并得出結(jié)論：如果信號(hào)長(zhǎng)度N為偶數(shù)，應(yīng)取列數(shù)n=N/2、行數(shù)m=N/2+1來(lái)構(gòu)造Hankel矩陣；如果N為奇數(shù)，應(yīng)取列數(shù)n=(N+1)/2、行數(shù)m=(N+1)/2來(lái)構(gòu)造Hankel矩陣。

2.2 有效奇異值選擇

趙學(xué)智等研究發(fā)現(xiàn)，在Hankel矩陣方式下，信號(hào)的有效奇異值數(shù)量取決于頻率個(gè)數(shù)，而與信號(hào)的基本參數(shù)(頻率、幅值和相位)無(wú)關(guān)，每一個(gè)頻率成分總是最多只產(chǎn)生兩個(gè)相鄰的非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)奇異值也越大。若某個(gè)特征頻率在幅值譜中的幅值大小排序?yàn)閕，則選擇奇異值分布圖中的第2i-1與第2i個(gè)奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量重構(gòu)分量矩陣，即

(5)

(6)

根據(jù)SVD理論， 奇異向量ui,vi都是規(guī)范正交向量，故可得

(7)

(8)

2.3 分量信號(hào)重構(gòu)

(9)

(10)

2.4 算法流程

根據(jù)上述原理，提出一種基于有效奇異值數(shù)量規(guī)律的軸心軌跡提純算法(簡(jiǎn)稱(chēng)有效值法)，其具體步驟如下：

步驟1對(duì)某個(gè)給定的信號(hào)x′(t)， 進(jìn)行零均值化處理后得到信號(hào)x(t)， 利用信號(hào)x(t)構(gòu)造Hankel矩陣A。

步驟2對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解處理，得到所有降序排列的奇異值，即有σ1≥σ2≥…≥σr， 及其對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量ui∈Rm×1和vi∈Rn×1。

3 試驗(yàn)分析

3.1 試驗(yàn)裝置介紹

作者所在團(tuán)隊(duì)研制了能夠模擬汽輪機(jī)實(shí)際工況的滑動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)，該試驗(yàn)臺(tái)主要由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、潤(rùn)滑系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、采集系統(tǒng)及機(jī)械結(jié)構(gòu)等部分組成；采用空氣彈簧有效隔離地基傳遞到試驗(yàn)臺(tái)的振動(dòng)，在小鑄鐵臺(tái)面和大鑄鐵臺(tái)面之間以及水泥地基與大鑄鐵臺(tái)面之間都增加了減振阻尼材料，降低外界干擾對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，從而最大程度地隔絕外界因素對(duì)試驗(yàn)臺(tái)的干擾。圖1為轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖，圖2為試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖。

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotor-bearing system

圖2 試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖Fig.2 Rotor test-bed

3.2 位移信號(hào)測(cè)量

分別在轉(zhuǎn)子兩端垂直方向兩邊斜45°位置各布置一個(gè)電渦流傳感器，標(biāo)記為D1，D2，D3，D4，左端位移傳感器安裝如圖3所示。利用便攜式LMS SCADASD多功能數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)(見(jiàn)圖4)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集。

圖3 位移傳感器測(cè)點(diǎn)布置Fig.3 Location of displacement sensor

圖4 LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.4 LMS data acquisition system

3.3 振動(dòng)信號(hào)預(yù)處理

本文對(duì)某次試驗(yàn)(采樣頻率為1 024 Hz)中支承1兩側(cè)的位移信號(hào)D1(X方向)和D2(Y方向)進(jìn)行分析，其時(shí)域波形如圖5所示，從圖中可以看出位移信號(hào)當(dāng)中同時(shí)包含直流分量和交流分量，因此需要進(jìn)行隔離直流分量處理，其結(jié)果如圖6所示。

圖5 位移信號(hào)時(shí)域波形Fig.5 Time domain waveform of displacement signal

圖6 去直流分量位移信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜圖Fig.6 Time domain waveform and spectrum of signals with DC components removed

由圖6可知，信號(hào)中23 Hz和46 Hz對(duì)應(yīng)的分量信號(hào)幅值較大，同時(shí)在全頻段內(nèi)存在隨機(jī)噪聲的干擾。

4 軸心軌跡提純

研究表明軸心軌跡的形狀與故障類(lèi)型存在密切關(guān)系，如外“8”字形或香蕉形對(duì)應(yīng)不對(duì)中故障、內(nèi)“8”字形對(duì)應(yīng)油膜渦動(dòng)故障等。然而，實(shí)際采集到的振動(dòng)信號(hào)，由于受到各種噪聲的干擾，導(dǎo)致直接合成的軸心軌跡雜亂無(wú)章而難以判斷轉(zhuǎn)子的故障類(lèi)型。

下面，將本文提出的有效奇異值法應(yīng)用于大型轉(zhuǎn)子的軸心軌跡提純，并與差分譜方法及基于EMD的改進(jìn)諧波小波算法的提純效果對(duì)比，同時(shí)給出單獨(dú)采用EMD及諧波小波的軸心軌跡提純結(jié)果。

4.1 基于有效值法的軸心軌跡提純

4.1.1 軸心軌跡提純

采用有效值法對(duì)圖6所示的信號(hào)進(jìn)行處理，利用圖6的兩個(gè)信號(hào)分別構(gòu)造513×512維的Hankel矩陣A和B并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解。奇異值分布如圖7(a)和圖7(b)所示，為方便顯示，圖7中只給出前50個(gè)奇異值的分布情況。

圖7 奇異值分布曲線Fig.7 Curve of singular values

圖8 信號(hào)重構(gòu)結(jié)果Fig.8 Results of signal reconstruction

由圖6中的原始信號(hào)合成的軸心軌跡如圖9(a) 所示，由圖可見(jiàn)，原始軸心軌跡顯得雜亂無(wú)章，無(wú)法判斷轉(zhuǎn)子的故障類(lèi)型。而由圖8中的重構(gòu)信號(hào)合成的軸心軌跡如圖9(b) 所示，由圖可知，提純后的軸心軌跡為明顯的外“8”字形，依此可判斷滑動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子存在不對(duì)中故障。另外，根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果，轉(zhuǎn)子信號(hào)中出現(xiàn)1/2倍頻的原因有動(dòng)靜件碰磨及油膜振蕩等，有關(guān)這個(gè)現(xiàn)象的具體的機(jī)理有待后續(xù)進(jìn)一步研究。

圖9 原始及提純軸心軌跡圖Fig.9 Original and purified axis trajectories

4.1.2 有效值法的頻率定位特性

理論上，采用有效值法能夠提取頻譜圖中任意的頻率成分，前提是要知道頻率的幅值大小排序。為了驗(yàn)證這種特性，以圖6(c)中的D1的頻譜圖為例，將前6個(gè)降序排列的幅值及其對(duì)應(yīng)的頻率列于表1。

表1 前6個(gè)降序排列的幅值及對(duì)應(yīng)的頻率Tab.1 The first 6 descending magnitude and frequency

以提取137 Hz分量信號(hào)為例(由表1可知該頻率排在第6位)，采用有效值法選擇圖7(a)所示的中的第11和第12個(gè)奇異值進(jìn)行重構(gòu)，結(jié)果如圖10所示。重構(gòu)信號(hào)幅值為0.005 3與原始幅值0.004 9相差甚微，可見(jiàn)該分量信號(hào)幾乎完整的被提取出來(lái)。

圖10 137 Hz分量信號(hào)提取結(jié)果Fig.10 Extraction results of 137 Hz signal

4.2 與其他軸心軌跡提純方法對(duì)比

4.2.1 基于差分譜理論的軸心軌跡提純

張景潤(rùn)等提出一種基于奇異值差分譜理論的軸心軌跡提純方法(簡(jiǎn)稱(chēng)差分譜法)，根據(jù)奇異值差分譜的首個(gè)峰值的位置來(lái)確定有效奇異值個(gè)數(shù)。其基本理論如下：

(1) 能量的累積貢獻(xiàn)率

本文“2.2”節(jié)中已經(jīng)證明了分量信號(hào)的能量大小與其幅值或奇異值的平方成正比，據(jù)此，我們定義能量的累積貢獻(xiàn)率來(lái)衡量重構(gòu)信號(hào)的重構(gòu)完整度

(11)

式中：k為主奇異值個(gè)數(shù)；m為有效奇異值個(gè)數(shù)(σi≥1)。

(2) 差分譜理論

所謂奇異值差分譜是指相鄰的兩個(gè)奇異值兩兩相減而得到的差分序列，即

bi=σi-σi+1(i=1,2,…,k-1)

(12)

稱(chēng)bi形成的序列B=(b1，b2，…，bk-1)為奇異值差分譜。根據(jù)差分譜的定義，奇異值序列在位置k處發(fā)生一個(gè)最大突變，這種突變反映了有用信號(hào)和噪聲的相關(guān)性的差異，代表理想信號(hào)和噪聲的分界。據(jù)此，可以確定k的數(shù)值。

對(duì)圖6中的位移信號(hào)進(jìn)行SVD分解，得到的差分譜圖及奇異值曲線如圖11所示(圖中只給出前50個(gè)值)。

圖11 位移信號(hào)的奇異值及其差分譜圖Fig.11 Singular value and difference spectrum of signals

(3) 軸心軌跡提純及其畸變?cè)蚍治?/p>

為了便于分析我們將圖11中的主要特征值列于表2中。

表2 位移信號(hào)的主要奇異值Tab.2 The main singular value of D1 and D2

由圖11(a)可知，差分譜最大峰值坐標(biāo)為(4, 2.192)，而緊隨其后的峰值坐標(biāo)為(6, 0.462 8)，后者幅值僅為前者的21.11%，故選前4個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的分量重構(gòu)D1，結(jié)果如圖12(a)和圖12(b)所示。由圖11(b)可知，差分譜最大峰值位置坐標(biāo)為(2,1.797)，而緊隨其后的峰值坐標(biāo)為(4,1.746)，后者幅值為前者的97.16 %，分別選擇前2個(gè)及前4個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的分量重構(gòu)D2，結(jié)果如圖12(c)～圖12(f)所示。

采用圖12(a)和圖12(c)中的兩個(gè)信號(hào)合成的軸心軌跡如圖13(a)所示，可見(jiàn)與圖9(a)相比，該軸心軌跡發(fā)生了嚴(yán)重的畸變，無(wú)法判斷轉(zhuǎn)子的故障類(lèi)型。由圖12(d)可知，此時(shí)提純的D2信號(hào)中只有一個(gè)頻率成分(46 Hz),對(duì)應(yīng)表1中的前2個(gè)奇異值(5.719 2，5.694 2)，此時(shí)可算出能量貢獻(xiàn)率為53.03%(k2=2，m2=16)。另外,我們將信號(hào)D2的差分譜B2的前幾個(gè)值放于表2中，從表中可清晰地看到b2≈b4，(即第2個(gè)奇異值與第3個(gè)奇異值之差與第4個(gè)奇異值與第5個(gè)奇異值之差幾乎相等)，說(shuō)明此時(shí)幅值第2大的頻率(23 Hz)與幅值最大(46 Hz)及幅值第3大(114 Hz)的兩個(gè)頻率之間的能量差幾乎相等。根據(jù)上述分析可知，若根據(jù)b2(即最大峰值)位置提純D2將會(huì)損失23 Hz成分對(duì)應(yīng)的能量，這是造成軸心軌跡發(fā)生畸變的本質(zhì)原因。

圖12 基于差分譜法的重構(gòu)信號(hào)Fig.12 Reconstruction signals based on singular value difference spectrum method

采用圖12(a)和圖12(e)中的兩個(gè)信號(hào)合成的軸心軌跡如圖13(b)所示，可見(jiàn)提純結(jié)果與圖9(a)的完全一樣，都能識(shí)別出轉(zhuǎn)子的不對(duì)中故障。由圖12(f)可知，此時(shí)提純的D2信號(hào)中含有兩個(gè)頻率成分(23 Hz和46 Hz),對(duì)應(yīng)表1中的前4個(gè)奇異值(5.719 2，5.694 2，3.897 7，3.880 3)，此時(shí)可算出能量貢獻(xiàn)率為77.66%(k2=4，m2=16)，提純信號(hào)較好的保留了原始信號(hào)的能量。

圖13 基于差分譜法的提純軸心軌跡Fig.13 Purified axis trajectories based on singular value difference spectrum

4.2.2 基于改進(jìn)諧波小波算法的軸心軌跡提純

鑒于實(shí)測(cè)的轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)較為復(fù)雜，無(wú)論是單獨(dú)使用EMD方法還是諧波小波變換方法都無(wú)法全面反映振動(dòng)信號(hào)的特征，而且使用其中任何一種方法提純軸心軌跡的效果都不理想。因此，越來(lái)越多的學(xué)者將傳統(tǒng)的信號(hào)分析方法結(jié)合起來(lái)，并取得了較為理想的效果[14-16]。針對(duì)實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的非平穩(wěn)特性，提出基于EMD的改進(jìn)諧波小波算法用于滑動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子軸心軌跡提純。算法流程如圖14所示。

圖14 改進(jìn)諧波小波算法提純軸心軌跡的流程圖Fig.14 Flow chart of improved harmonic wavelet algorithm

分別采用EMD、諧波小波變換及圖14所示的基于EMD的改進(jìn)諧波小波算法分別對(duì)圖6所示信號(hào)進(jìn)行軸心軌跡提純，結(jié)果如圖15所示。由圖15(a)可知，直接采用EMD提純的效果最差，軸心軌跡混亂；圖15(b)為采用諧波小波算法提純的軸心軌跡，外“8”字的頭部消失；而圖15(c)所示算法相對(duì)較好，能看出外“8”字輪廓。圖15(a)～圖15(c)的結(jié)果都比有效值法的提純效果差很多。

圖15 傳統(tǒng)方法提純的軸心軌跡圖Fig.15 Axis trajectory diagram purified by traditional method

5 結(jié) 論

總結(jié)全文可以得出如下結(jié)論：

(1) 提出一種基于有效奇異值數(shù)量規(guī)律的軸心軌跡提純方法，采用該方法提純的軸心軌跡清晰、干凈、聚集性好，成功識(shí)別了大型滑動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子的不對(duì)中故障；該法同樣適用于其他工程旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷，具有廣泛的應(yīng)用前景。

(2) 通過(guò)工程實(shí)例分析，發(fā)現(xiàn)了基于差分譜理論提純軸心軌跡方法的缺陷，從能量損失的角度，分析了軸心軌跡發(fā)生畸變的原因，指出當(dāng)奇異值差分譜的首個(gè)峰值和緊隨其后的差分譜幅值很接近(≥97.16%)時(shí)，應(yīng)該以第2個(gè)差分譜峰值對(duì)應(yīng)的分量個(gè)數(shù)重構(gòu)信號(hào)才能提純到正確的軸心軌跡，從而進(jìn)一步完善了差分譜理論。最后指出，利用改進(jìn)的差分譜法的軸心軌跡提純效果與本文提出的有效值法的效果相當(dāng)。

(3) 提出一種基于EMD的改進(jìn)諧波小波算法，成功識(shí)別轉(zhuǎn)子的不對(duì)中故障，但提純效果比有效值法差得多；同時(shí)給出了單獨(dú)使用EMD及諧波小波提純軸心軌跡的效果，其中前者提純的軸心軌跡無(wú)法識(shí)別轉(zhuǎn)子的故障類(lèi)型，而后者提純的圖形外“8”字形頭部消失，兩者的提純效果都比有效值法的更差。