李得洋， 丁旺才， 丁 杰， 李 飛

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070； 2.天津鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300010)

由于制造工藝、機(jī)械零部件之間的熱脹冷縮等因素的影響，在實(shí)際工程力學(xué)系統(tǒng)中存在大量的非光滑因素，如列車車輪與鋼軌的碰撞、飛船對(duì)接引起的碰撞[1]等。近年來國內(nèi)外學(xué)者對(duì)含非光滑因素的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)展開了廣泛的研究[2]，通過建立不同的模型，利用理論分析和數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證逐步揭示了非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Shaw等[3]采用接縫法精確地求解了分段線性振子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并通過復(fù)合的全局映射研究了系統(tǒng)周期響應(yīng)的穩(wěn)定性問題。Bernardo等[4]系統(tǒng)研究了分段光滑系統(tǒng)的擦邊流，得到了擦邊分岔的規(guī)范型映射。Kundu等[5]構(gòu)建了四種單自由度彈性約束系統(tǒng)Grazing分岔的范式映射，并研究了擦碰軌道鄰域內(nèi)Poincaré映射的特性。徐慧東等[6]研究了一類單自由度分段線性非光滑系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的分岔現(xiàn)象和混沌行為。張惠等[7]研究了含間隙和預(yù)緊彈簧碰撞振動(dòng)系統(tǒng)由于擦邊引起不動(dòng)點(diǎn)處Jacobian矩陣的行列式和跡的變化特性。吳志強(qiáng)等[8]利用平均法和約束分岔理論分析了一類含非連續(xù)阻尼的單自由度分段線性系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)性能的影響。汪諍等[9]應(yīng)用等效模擬電子電路高效快速的對(duì)對(duì)稱間隙單自由度振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，為非線性系統(tǒng)的仿真和試驗(yàn)提供了一種參考。

胞映射方法最先由Hsu[10]在20世紀(jì)80年代初提出，隨后Levitas等[11-12]基于胞映射的思想發(fā)展出龐加萊型的簡單胞映射法，這種方法是在狀態(tài)空間的定相位面中形成胞空間，并通過在此空間中運(yùn)用簡單胞映射方法對(duì)原動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行研究。本文利用龐加萊型的簡單胞映射法對(duì)系統(tǒng)周期共存現(xiàn)象進(jìn)行分析。李健等[13]根據(jù)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特點(diǎn)，得到了非光滑系統(tǒng)吸引子和吸引域的胞映射計(jì)算方法，并在一類單自由度碰振系統(tǒng)上驗(yàn)證了方法的有效性。Chong等[14]利用數(shù)值方法對(duì)簡諧激勵(lì)下含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近周期共存現(xiàn)象進(jìn)行了研究。田亞平等[15]采用PNF(Poincaré-Newton-Floquet)法和延續(xù)追蹤法研究了三自由度單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在多參平面內(nèi)的分岔、沖擊特性隨參數(shù)轉(zhuǎn)遷和參數(shù)間的耦合關(guān)系。

近年來學(xué)者們大多都是基于單個(gè)參數(shù)變化下對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。為更全面地分析非光滑系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，本文在多個(gè)參數(shù)協(xié)同變化下進(jìn)行數(shù)值仿真，同時(shí)結(jié)合胞映射方法分析了一類單自由度含對(duì)稱彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在不同參數(shù)域內(nèi)經(jīng)各種非光滑分岔進(jìn)行轉(zhuǎn)遷的規(guī)律。

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1所示為單自由度含對(duì)稱彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型，質(zhì)量為M的振子由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線性阻尼器相連接，并在簡諧激振力F0sin(ΩT+τ)的作用下沿水平方向振動(dòng)。以系統(tǒng)的靜平衡位置為空間坐標(biāo)的原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，振子M的位移為X，在振子M的兩側(cè)距離為B的位置固定兩個(gè)剛度為K2的彈性約束。在簡諧激勵(lì)的作用下，當(dāng)振子的位移較小時(shí)，系統(tǒng)為單自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng)；而當(dāng)振子的位移小于-B或大于B時(shí)，振子會(huì)與左右兩側(cè)的彈性約束接觸在一起振動(dòng)，由于間隙的存在和碰撞的產(chǎn)生，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性和非光滑的特性。

圖1 單自由度含對(duì)稱彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1 The model of a single-degree-of-freedom vibro-impact system with symmetrical soft constraints

系統(tǒng)無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

方程的通解為

(2)

2 系統(tǒng)n-1-1S周期運(yùn)動(dòng)的周期解

為便于周期運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)，引入下列符號(hào)

則系統(tǒng)n-1-1S周期運(yùn)動(dòng)的周期解可表示為

(3)

將t=0及t=t1+代入式(3)，可得積分常數(shù)關(guān)于初始條件的表達(dá)式

j1=Φ1(0)-1(z(0)-M1(0)CS-Q)j2=Φ2(0)-1(z(t1)-M2(0)NCS)

(4)

將j1,j2代入式(3)有

(5)

(6)

由初始條件x(0)=b和x(t1+)=b可得初相位

(7)

(8)

根據(jù)初相位的表達(dá)式，可以得到n-1-1S周期運(yùn)動(dòng)存在必須要滿足的必要條件:

(9)

通過數(shù)值方法可獲得方程的根t1，進(jìn)而確定系統(tǒng)n-1-1S周期運(yùn)動(dòng)的周期解。

3 系統(tǒng)Poincare映射的建立及穩(wěn)定性分析

為了研究系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性、存在區(qū)域以及局部分岔問題，建立三個(gè)Poincaré映射選擇定相位面可以統(tǒng)計(jì)出系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)；選擇碰撞面可以統(tǒng)計(jì)出振子與左右約束面的碰撞次數(shù)。根據(jù)金棟平等研究中的方法選擇碰撞面Σp+構(gòu)造系統(tǒng)Poincaré映射——p∶Σp+→Σp+，則通過Poincaré映射的Jacobi矩陣在不動(dòng)點(diǎn)處的特征值來研究系統(tǒng)n-p-q運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性及分岔類型。

4 不同參數(shù)域內(nèi)相鄰周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

將系統(tǒng)參數(shù)間隙b和激勵(lì)頻率ω作為研究對(duì)象。為研究系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)類型和轉(zhuǎn)遷規(guī)律的多樣性，取系統(tǒng)參數(shù)(1):ξ=0.2,μk=100,b∈[0.1,3]和ω∈[0.1,2]。系統(tǒng)在(ω,b)參數(shù)平面內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)分布圖,如圖2所示。圖中用不同深淺的顏色及相應(yīng)的符號(hào)表示各類

圖2 在(ω,b)參數(shù)平面內(nèi)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)分布圖Fig.2 The distribution diagram of periodic motions in the (ω,b)-parameter plane for the system

根據(jù)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)分布及轉(zhuǎn)遷規(guī)律的不同，將圖2(a)所示的參數(shù)平面劃分為兩個(gè)區(qū)域：ω∈[0.1,2]，b∈[0.1,0.556]區(qū)域?yàn)閰?shù)域Ⅰ；ω∈[0.1,2]，b∈[0.556,3]區(qū)域?yàn)閰?shù)域Ⅱ,在b>1.2的區(qū)域，系統(tǒng)主要存在1-0-0S,1-1-0,1-0-1和1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)。1-0-0S與1-1-1S之間主要通過擦邊和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷，1-0-0S與1-1-0,1-0-1周期運(yùn)動(dòng)之間主要通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷。

4.1 參數(shù)域Ⅰ內(nèi)相鄰周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

在參數(shù)域Ⅰ內(nèi)，系統(tǒng)在高頻區(qū)主要以1-1-1S和1-1-1AS周期運(yùn)動(dòng)為主；隨著ω的減小，1-p-pS和1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)被一些具有相似轉(zhuǎn)遷規(guī)律的過渡區(qū)隔開，過渡區(qū)內(nèi)各周期運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)遷規(guī)律為：在ω從大到小的過程中，1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-p-pAS周期運(yùn)動(dòng)；在經(jīng)歷若干個(gè)倍周期分岔序列(如1-(p+1)-p和1-p-(p+1)倍周期分岔序列等)后從最后一個(gè)倍周期分岔序列的混沌運(yùn)動(dòng)中退化出1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)。在ω從小到大的過程中，1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔進(jìn)入混沌；在經(jīng)歷若干個(gè)逆倍周期分岔序列后從最后一個(gè)逆倍周期分岔序列中退化出1-(p+1)-p或1-p-(p+1)周期運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷成兩種反對(duì)稱1-p-qAS的周期運(yùn)動(dòng)，最后經(jīng)逆叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)。過渡區(qū)內(nèi)系統(tǒng)主要通過鞍結(jié)、叉式和倍周期分岔進(jìn)行周期運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)遷，系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的類型豐富，且在周期運(yùn)動(dòng)之間還夾雜著若干混沌帶，所以稱此區(qū)域?yàn)椤爸芷趭A雜區(qū)”。這些周期夾雜區(qū)區(qū)域大小隨著ω的減小會(huì)縮小，其左側(cè)邊界線由1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)組成，右側(cè)邊界線由1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)的叉式分岔點(diǎn)組成。

由于參數(shù)域Ⅰ內(nèi)各周期運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的參數(shù)區(qū)域隨著間隙的增大而逐漸減小，故取小間隙b=0.1時(shí)以位于1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)與1-2-2S周期運(yùn)動(dòng)之間的周期夾雜區(qū)為例來具體分析上述的轉(zhuǎn)遷過程，系統(tǒng)在定相位面Σn上的分叉圖如圖3所示，圖中用不同深淺顏色來表示不同吸引子，從而可方便觀察不同參數(shù)處吸引子共存現(xiàn)象。在ω從大到小的過程中，1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)叉式分岔轉(zhuǎn)遷為兩個(gè)反對(duì)稱的1-1-1AS周期運(yùn)動(dòng)(將一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，它會(huì)和另一周期運(yùn)動(dòng)的相圖完全重合)；隨后系統(tǒng)經(jīng)1-1-1AS周期運(yùn)動(dòng)的倍化序列通向混沌運(yùn)動(dòng)；隨著ω的減小系統(tǒng)經(jīng)若干個(gè)倍周期分岔序列后由混沌退化出1-2-2S周期運(yùn)動(dòng)。在ω從小到大的過程中，1-2-2S周期運(yùn)動(dòng)首先經(jīng)鞍結(jié)分岔進(jìn)入混沌；在經(jīng)歷若干個(gè)逆倍周期分岔序列后經(jīng)最后一個(gè)逆倍周期分岔序列產(chǎn)生1-2-1或1-1-2周期運(yùn)動(dòng)；在ω=2.362 337 7處不動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征值為：λ1=1.000 263 639 007 594,λ2=0.345 025 671 782 827。

圖3 b=0.1時(shí)系統(tǒng)局部分叉圖Fig.3 Local bifurcation diagrams of the system for b=0.1

此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔，1-2-1或1-1-2周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為兩種反對(duì)稱1-1-1AS周期運(yùn)動(dòng)，最后1-1-1AS周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)。

結(jié)合分岔圖和通過胞映射所得到的吸引域分布圖可以得出：1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷到1-2-2S周期運(yùn)動(dòng)要經(jīng)歷凸起的周期夾雜區(qū)；由于叉式和鞍結(jié)分岔的存在使得周期夾雜區(qū)內(nèi)存在豐富的吸引子共存現(xiàn)象；其左側(cè)邊界線由1-2-2S周期運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)組成，右側(cè)邊界線由1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)的叉式分岔點(diǎn)組成。

圖4 b=0.1時(shí)定相位面Σn上的吸引域Fig.4 The attractor and its attracting domain on fixed phase Σn for b=0.1

4.2 參數(shù)域Ⅱ內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

由于此系統(tǒng)的對(duì)稱性，叉式分岔和逆叉式分岔為其特有的分岔類型，擦邊分岔與此兩種分岔發(fā)生的次序不同將會(huì)導(dǎo)致1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)之間的相互轉(zhuǎn)遷變得復(fù)雜。以叉式分岔和逆叉式分岔為參考基準(zhǔn)，如果擦邊分岔發(fā)生在叉式分岔和逆叉式分岔之間，擦邊分岔將導(dǎo)致1-(p+1)-(p+1)AS與1-(p+1)-p或1-p-(p+1)之間的相互轉(zhuǎn)遷(以b=0.825 5為例分析)；如果擦邊分岔發(fā)生在叉式分岔和逆叉式分岔之后，擦邊分岔將導(dǎo)致1-(p+1)-(p+1)S與1-p-pS之間的相互轉(zhuǎn)遷(以b=0.764 8為例分析)；倍周期分岔如果發(fā)生在叉式分岔后，擦邊分岔在此過程中將會(huì)導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)與3-(3p+1)-(3p+1)S周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)與1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)之間的相互轉(zhuǎn)遷(以b=0.700 5為例分析)。

當(dāng)不出現(xiàn)叉式分岔時(shí)，由于擦邊分岔和鞍結(jié)分岔的不可逆，將會(huì)導(dǎo)致在1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)之間存在多態(tài)共存區(qū)(以b=0.6為例分析)。

結(jié)合系統(tǒng)在碰撞面Σp+上的單參分岔圖和圖2所示的周期運(yùn)動(dòng)分布圖對(duì)以上參數(shù)所代表的系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律進(jìn)行詳細(xì)的分析(顏色較淺表示ω從大到小變化時(shí)得到的分岔曲線，顏色較深表示ω從小到大變化時(shí)得到的分岔曲線)。

(1)取b=0.6時(shí)系統(tǒng)的單參分岔圖(見圖5)并結(jié)合圖2(a)有：

①隨著ω的減小，在ω=0.598 26時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)1-1-1S擦邊運(yùn)動(dòng)(如圖6所示,虛線表示彈性約束的位置，論文后面相圖中的情況和此處一致)，由于擦邊分岔的奇異性導(dǎo)致振子與兩側(cè)約束面碰撞次數(shù)同時(shí)加一，而周期數(shù)不變，1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為1-2-2S。同理，在ω逐漸減小的過程中會(huì)有一系列的1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)通過擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)，并且1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的參數(shù)域逐漸變窄，當(dāng)p足夠大時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為Chatting-impact動(dòng)力學(xué)特性。所以隨著ω的逐漸減小，在參數(shù)域Ⅱ內(nèi)存在如下的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖5 b=0.6時(shí)系統(tǒng)單參分岔圖Fig.5 The single-parameter bifurcation diagram of the system for b=0.6

②隨著ω的增加，在ω=0.636 812 12處不動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征值為

λ1=1.000 622 463 428，λ2=0.019 303 201 837。

此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔，由此導(dǎo)致振子與兩側(cè)約束面碰撞次數(shù)同時(shí)減一，1-2-2S周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為1-1-1S周期運(yùn)動(dòng)。所以在參數(shù)域Ⅱ內(nèi)隨著的逐漸變大存在如下的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖6 振子1-1-1S擦邊運(yùn)動(dòng)的相圖Fig.6 Phase plane of 1-1-1S grazing motion

圖7 b=0.6時(shí)定相位面Σn上的吸引域Fig.7 The attractor and its attracting domain on fixed phase Σn for b=0.6

通過以上分析可以總結(jié)出：在參數(shù)域Ⅱ內(nèi)1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)在相互轉(zhuǎn)遷的過程中會(huì)經(jīng)歷1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)共存的過渡區(qū)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)遷過程不可逆。由于此過渡區(qū)內(nèi)僅僅共存有相互轉(zhuǎn)遷的這兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，與前面定義的周期夾雜區(qū)在共存周期運(yùn)動(dòng)的個(gè)數(shù)和轉(zhuǎn)遷的過程上有明顯的區(qū)別，所以將此區(qū)域定義為“多態(tài)共存區(qū)”。此區(qū)域的左側(cè)邊界線由1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔點(diǎn)組成，右側(cè)邊界線由1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)組成。

(2)當(dāng)b=0.825 5,b=0.764 8和b=0.700 5時(shí)，系統(tǒng)的單參分岔圖如圖8所示，結(jié)合圖2(b)～圖2(d)可以觀察到：在每個(gè)1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)擦邊分岔的邊界處分布著具有相似轉(zhuǎn)遷規(guī)律的過渡區(qū)。

過渡區(qū)內(nèi)都存在以下兩條基本的轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖8 系統(tǒng)的單參分岔圖Fig.8 The single-parameter bifurcation diagram of the system

圖9 周期運(yùn)動(dòng)的相圖圖9 Phase plane portraits of periodic motions

圖10 b=0.700 5時(shí)Σn截面上的吸引域Fig.10 The attractor and its attracting domain of periodic motion of the system for b=0.700 5

通過以上的分析可得出：由于擦邊、叉式和倍周期分岔的同時(shí)存在以及產(chǎn)生順序不同導(dǎo)致1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)在轉(zhuǎn)遷的過程中有過渡區(qū)的存在；對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)之間、非對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)之間、混沌運(yùn)動(dòng)與3-(3p+1)-(3p+1)S周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)與1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷。此區(qū)域的左側(cè)邊界線由1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)的叉式分岔點(diǎn)組成，右側(cè)邊界線由1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔點(diǎn)組成。

5 結(jié) 論

本文以單自由度含對(duì)稱彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的邊界條件和銜接條件確定了n-1-1S周期運(yùn)動(dòng)的周期解；在參數(shù)ω和b協(xié)同變化下進(jìn)行數(shù)值仿真，同時(shí)結(jié)合龐加萊型胞映射方法詳細(xì)分析了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律和全局動(dòng)力學(xué)行為。

(1) 在ω∈[0.1,2]，b∈[0.1,0.556]的參數(shù)域Ⅰ內(nèi)，系統(tǒng)在高頻區(qū)主要以1-1-1S和1-1-1AS周期運(yùn)動(dòng)為主；1-p-pS和1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)之間的周期夾雜區(qū)具有相似的周期轉(zhuǎn)遷規(guī)律：1-p-pS與1-p-pAS周期運(yùn)動(dòng)通過叉式分岔轉(zhuǎn)遷；1-p-pAS,1-(p+1)-p,1-p-(p+1)周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入混沌；1-(p+1)-p或1-p-(p+1)周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為1-p-pAS周期運(yùn)動(dòng)；混沌運(yùn)動(dòng)退化為1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)。共存的周期吸引子主要有:兩個(gè)反對(duì)稱的2i-2ip-2ipAS周期運(yùn)動(dòng)、2i-2i(p+1)-2ip與2i-2ip-2i(p+1)(i=0,1,2,…)周期運(yùn)動(dòng)以及1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)與混沌等。

(2) 在ω∈[0.1,2]，b∈[0.556,3]的參數(shù)域Ⅱ內(nèi)：① 1-p-pS在周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔的邊界處分布著具有相似轉(zhuǎn)遷規(guī)律的過渡區(qū)，過渡區(qū)內(nèi)的轉(zhuǎn)遷過程主要有：1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-(p+1)-(p+1)AS周期運(yùn)動(dòng)；1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)與1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷；1-(p+1)-(p+1)AS與1-(p+1)-p,1-p-(p+1)周期運(yùn)動(dòng)之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷；混沌運(yùn)動(dòng)與3-(3p+1)-(3p+1)S周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)與1-p-pS周期運(yùn)動(dòng)之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷;② 在有多態(tài)共存區(qū)的區(qū)域，由擦邊和鞍結(jié)分岔完成1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)之間相互轉(zhuǎn)遷，由于擦邊分岔和鞍結(jié)分岔的分岔點(diǎn)不在同一位置，使得系統(tǒng)在這兩個(gè)分岔點(diǎn)之間的參數(shù)區(qū)域共同存在兩個(gè)穩(wěn)定的1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運(yùn)動(dòng)。