李海超， 龐福振， 田宏業(yè)， 劉江濤

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

柱殼結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶、化工、機(jī)械等領(lǐng)域，因此開展一般邊界條件下柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析，明確其自由振動(dòng)特性規(guī)律，對(duì)豐富圓柱殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論及指導(dǎo)工程應(yīng)用具有重要的意義。在此方面，Rayleigh[1]對(duì)光圓柱殼的拉伸振動(dòng)和彎曲振動(dòng)進(jìn)行了研究，給出了無限長圓柱殼在真空環(huán)境中的自由振動(dòng)固有頻率計(jì)算公式。Galletly等[2]采用數(shù)值算法求解不同端部結(jié)構(gòu)的圓柱殼的自由振動(dòng)。Cheng等[3]以圓柱殼-圓板為模型，采用Rayleigh-Ritz法求解特征值方程從而求解其自由振動(dòng)特性。駱東平等[4]采用Flügge和有限差分法，以環(huán)肋增強(qiáng)圓柱殼為研究對(duì)象。Yu[5]討論了簡支和固支邊界條件下有限長圓柱殼的自由振動(dòng)特性。王宇等[6]基于Love殼體理論對(duì)固支-自由約束條件下受徑向載荷的薄壁圓柱殼構(gòu)件開展受迫振動(dòng)響應(yīng)特征分析。汪志強(qiáng)等[7]采用Flügge經(jīng)典薄殼理論和波傳播方法討論了正交各向異性圓柱殼的自由振動(dòng)問題，且所提出方法可考慮正交各向異性圓柱殼在復(fù)雜和受外力的情況。向宇等[8]提出了一種半解析方法，求解飽和多孔介質(zhì)圓柱殼動(dòng)力學(xué)問題。Li等[9]依據(jù)Flügge薄殼理論建立振動(dòng)分析模型，采用Jacobi-Ritz法分析了均厚度以及變厚度圓柱殼、球殼等組合殼體結(jié)構(gòu)的自由及受迫振動(dòng)特性。龐福振等[10]基于Flügge殼體振動(dòng)理論，將改進(jìn)精細(xì)傳遞矩陣法應(yīng)用于水下加筋柱殼聲輻射問題，分析了經(jīng)典邊界條件、結(jié)構(gòu)損耗因子、流體介質(zhì)以及殼體厚度對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射的影響。Pang等[11]提出了一種求解雙曲率殼自由振動(dòng)的半解析方法。對(duì)于區(qū)域能量分解法，最重要的是廣義變分原理理論的成熟，我國著名數(shù)學(xué)和力學(xué)家錢偉長[12]對(duì)廣義變分原理進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，對(duì)廣義變分原理成熟應(yīng)用起到了極大的推動(dòng)作用，也為區(qū)域分解法在彈性體中的應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。Zienkiewicz等[13]在其《有限元法》一書對(duì)變分約束條件進(jìn)行了講解，確定拉格朗日乘子系數(shù)，并應(yīng)用到彈性力學(xué)中。宋文煜[14]應(yīng)用區(qū)域分解法，分別研究了鉆柱縱向、扭轉(zhuǎn)、橫向以及耦合振動(dòng)的固有頻率及長度、鉆柱壁厚等對(duì)鉆柱固有頻率的影響。Zhou等[15]提出了一種求解圓柱和實(shí)心圓柱自由振動(dòng)的通用方法。分析過程基于小應(yīng)變、線性和精確彈性理論。利用Chebyshev多項(xiàng)式級(jí)數(shù)乘以邊界函數(shù)滿足幾何邊界條件作為可容許函數(shù)，應(yīng)用Ritz法導(dǎo)出了圓柱的頻率方程。

由以上分析可知：一方面現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)任意邊界條件下圓柱殼自由振動(dòng)特性研究較少；另一方面，現(xiàn)有研究方法尚未形成統(tǒng)一的形式，且現(xiàn)有半解析方法仍有待進(jìn)一步豐富。為此，本文基于區(qū)域能量分解法，開展圓柱殼自由振動(dòng)特性分析，旨在提出統(tǒng)一的求解公式，為任意邊界條件圓柱殼自由振動(dòng)特性分析提供數(shù)據(jù)積累和方法依據(jù)。此外，運(yùn)用區(qū)域能量分解法時(shí)，可通過改變邊界控制參數(shù)可快速地分析不同組合邊界條件下殼體的振動(dòng)特性，無須重新形成整個(gè)殼體的質(zhì)量和剛度矩陣，從而大幅提高計(jì)算效率。

1 柱殼結(jié)構(gòu)區(qū)域能量分析模型的建立

本文基于區(qū)域能量分解方法的基本原理，對(duì)其進(jìn)行深度擴(kuò)展，并運(yùn)用到求解柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性當(dāng)中。圓柱殼示意圖如圖1所示，結(jié)構(gòu)的長度為L，半徑為R，殼體厚度為h，結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 柱殼結(jié)構(gòu)的理論模型Fig.1 Theoretical model of cylindrical shell structure

1.1 柱殼結(jié)構(gòu)的能量泛函建立

將圓柱殼體沿圓柱的軸線方向均勻地截?cái)喑蒒L段，即每一段的長度Li=L/NL。根據(jù)修正的Hamilton原理，考慮到每一段的能量和相鄰兩段之間的影響，圓柱殼體的總勢能為

(1)

式中：TL,i，UL,i，WL,i分別為圓柱殼體的第i段的動(dòng)能、應(yīng)變能、外力功和附加能量泛函；ΠK,L為相鄰分段i和i+1之間的附加界面勢能。

當(dāng)忽略圓柱殼體旋轉(zhuǎn)慣性的條件下，圓柱殼體的第i段的動(dòng)能可以表示為

(2)

式中：ui，vi，wi分別為不同方向的位移矢量；ρ為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量密度；hi為第i段的結(jié)構(gòu)厚度；Si為結(jié)構(gòu)中面面積。

根據(jù)Reissner-Naghdi’s線性薄殼理論，i分段的最大結(jié)構(gòu)應(yīng)變能可以表示為

(3)

假設(shè)外部載荷全部作用在中面位置處，圓柱殼結(jié)構(gòu)的第i分段分布著沿x方向、θ方向、z方向外力fu,i,fv,i,fw,i，此時(shí)結(jié)構(gòu)第i分段的外力作功為

(4)

圓柱殼體的第i段、第i+1段的界面上的附加能量泛函為

(5)

式中：λ,β,?,ψ分別為柱殼結(jié)構(gòu)分段i與i+1交界面處的未知拉格朗日乘子；Θu,Θv,Θw和Θr分別為柱殼結(jié)構(gòu)分段i與i+1交界面處位移協(xié)調(diào)方程，它們可以表示為

(6)

將式(2)～式(5)代入式(1)，并且根據(jù)廣義變分原理，對(duì)ui，vi，wi，ui+1，vi+1，wi+1，?wi/?x，?wi+1/?x，λ，β，?和ψ做變分運(yùn)算，可得到

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(7)～式(10)代入式(1)后得到新的能量泛函

(11)

式中：Nx=λ；Nθ=β;Qx=?;-Mx=ψ。

為了保證數(shù)值算法的計(jì)算穩(wěn)定性，在式(11)的基礎(chǔ)上添加一項(xiàng)子結(jié)構(gòu)交界面位移連續(xù)方程的最小二乘加權(quán)參數(shù)殘值Πκ,L，此時(shí)結(jié)構(gòu)的完整能量泛函表示為

(12)

(13)

式中：κu,κv,κw和κr分別為柱殼分區(qū)后第i段和第i+1段分區(qū)界面加權(quán)參數(shù)。

在式(13)中引入邊界條件控制參數(shù)?u，?v,?w,?r, 通過控制參數(shù)的選取來控制邊界條件。此時(shí)的能量泛函可以表示為

(14)

表1給出了邊界條件控制權(quán)參數(shù)，通過選擇不同的權(quán)參數(shù)來得到不同的邊界條件。

表1 不同邊界條件對(duì)應(yīng)的控制參數(shù) ?t(t=u,v,w,r)Tab.1 Control parameters ?t(t=u,v,w,r)corresponding to different boundary conditions

1.2 位移函數(shù)的表達(dá)式

對(duì)于柱殼結(jié)構(gòu)，柱殼結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)采用Chebyshev行列式[16]和傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，系統(tǒng)的位移可以寫成

(15)

(16)

(17)

式中：P為圓柱殼母線方向上位移分量的Chebyshev多項(xiàng)式截?cái)嘀?N為殼體周向位移分量的Fourier級(jí)數(shù)截取階數(shù)；Φp(x)為Chebyshev多項(xiàng)式，表示圓柱殼體軸向階數(shù);fni(θ)為傅里葉級(jí)數(shù)，表示圓柱殼體周向波數(shù)，它們分別表示為

Φ0(x)=1,Φ1(x)=x,Φi+2(x)=2xΦi+1(x)-Φi(x)

(18)

fn1(θ)=cos(nθ)+sin(nθ)

(19)

fn2(θ)=sin(nθ)+cos(nθ)

(20)

fn3(θ)=cos(nθ)+sin(nθ)

(21)

2 柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析

2.1 柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性方程的求解

由“1.1”節(jié)可知，結(jié)構(gòu)的整體能量泛函可表示為

(22)

對(duì)自由振動(dòng)而言

(23)

對(duì)未知位移系數(shù)進(jìn)行變分運(yùn)算，此時(shí)可得到結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性方程

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

(29)

對(duì)式(29)求解，即可得結(jié)構(gòu)的模態(tài)陣型。為統(tǒng)一表述，下文無量綱公式定義為

Ω=ωR(ρ(1-μ2)/E)1/2

(30)

2.2 最小二乘加權(quán)參數(shù)與分段數(shù)的收斂性研究

本節(jié)選取結(jié)構(gòu)參數(shù)為：L=6 m，R=1 m，h/R=0.01，E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，μ=0.3。彈性參數(shù)取值設(shè)為ku=kv=2×108N/M[17]，位移容許函數(shù)在母線方向上的切比雪夫正交多項(xiàng)式的截?cái)嘀禐?，結(jié)構(gòu)的分段數(shù)NL=2。F-E邊界條件下最小二乘加權(quán)參數(shù)收斂性分析如表2所示。

由表2可知，當(dāng)加權(quán)參數(shù)增大時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率也隨之增大，然而當(dāng)加權(quán)參數(shù)達(dá)到某一個(gè)臨界取值時(shí)，結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果已趨于穩(wěn)定，在實(shí)際數(shù)值計(jì)算中，加權(quán)參數(shù)的取值不可能無窮大，因此，加權(quán)參數(shù)取臨界值即可。從表2可以看出，當(dāng)κ取值1×1012時(shí)，已達(dá)到臨界值，但為保證計(jì)算的絕對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性，在后續(xù)的計(jì)算中，最小二乘殘差加權(quán)系數(shù)取值為κ=1×1014。

表2 最小二乘加權(quán)參數(shù)收斂性分析Tab.2 Convergence analysis of least squares weighted parameters

為兼顧求解精度和計(jì)算效率，需開展區(qū)域分段收斂性分析。選取結(jié)構(gòu)參數(shù)與表2保持一致，并且加權(quán)參數(shù)取值為κ=1×1014。同時(shí)，為驗(yàn)證本文方法有效性，將本文計(jì)算方法與有限元法進(jìn)行了對(duì)比，不同分段數(shù)下結(jié)構(gòu)無量綱化固有頻率Ω如表3所示。

表3 區(qū)域分段數(shù)收斂性分析Tab.3 The convergence analysis of the number of regional segments

從表3可知，當(dāng)NL=8時(shí)，其計(jì)算結(jié)果已收斂，且與有限元法相比具有較高的計(jì)算精度。因此，在后續(xù)的計(jì)算中，如不做特別說明，其分段數(shù)取值為NL=8。

3 柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析

3.1 經(jīng)典邊界條件

在前文研究基礎(chǔ)上，本節(jié)主要對(duì)經(jīng)典邊界條件(C-C)下的結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算分析。結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)為：E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，μ=0.3。結(jié)構(gòu)參數(shù)與表2相同。兩端固支邊界條件下結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)計(jì)算結(jié)果如表4所示。

從表4可知，在C-C邊界條件下的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果吻合良好，為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，計(jì)算S-S,F-F,F-S,C-S邊界條件下的頻率參數(shù)Ω，并與其他文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，其對(duì)比結(jié)果如表5所示(圓柱殼幾何參數(shù)及材料參數(shù)與文獻(xiàn)中圓柱殼相同，h/R=0.05，R/L=0.05，m=1)。

表4 圓柱殼在C-C邊界條件下結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)ΩTab.4 Structural frequency parameters Ω of a cylindrical shell under C-C boundary condition

表5 圓柱殼在不同邊界條件下文獻(xiàn)對(duì)比結(jié)果Tab.5 Comparison of cylindrical shells under different boundary conditions

從表5中對(duì)比結(jié)果可以看出，在不同邊界條件下，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)對(duì)比結(jié)果吻合良好，更進(jìn)一步說明本文方法的有效性。

3.2 一般邊界條件

在前文研究基礎(chǔ)上，本節(jié)主要對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)一般彈性邊界條件下的自由振動(dòng)特性進(jìn)行研究。材料參數(shù)及結(jié)構(gòu)參數(shù)與“3.1”節(jié)相同。使用區(qū)域能量分解法，可通過改變邊界控制參數(shù)快速形成不同組合邊界條件，這也是本方法的優(yōu)勢之一。首先定義三種彈性邊界：E1彈性邊界，其中只有u向?yàn)閺椥约s束，其余為固定邊界條件(u≠0,v=w=?w/?x=0)；E2彈性邊界，其中只有v向?yàn)閺椥约s束，其余為固定邊界條件(v≠0,u=w=?w/?x=0)；E3彈性邊界，其中只有v向與u向?yàn)閺椥约s束，其余為固定邊界條件(v≠0,u≠0,w=?w/?x=0)。在u向的彈性約束剛度值大小為κu=4×106N/m，在v向的彈性約束剛度值大小為κv=8×106N/m。表6～表8給出了E1-E2,E1-E3,E2-E3邊界條件下結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)。

表6 圓柱殼在E1-E2邊界條件下頻率參數(shù)ΩTab.6 The frequency parameters Ω of a cylindrical shell under the E1-E2 boundary condition

表7 圓柱殼在E1-E3邊界條件下頻率參數(shù)ΩTab.7 The frequency parameters Ω of a cylindrical shell under the E1-E3 boundary condition

表8 圓柱殼在E2-E3邊界條件下頻率參數(shù)ΩTab.8 The frequency parameters Ω of a cylindrical shell under the E2-E3 boundary condition

由表6～表8可知，在彈性邊界條件下，本文的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好，說明本文方法可應(yīng)用于一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析。

在此基礎(chǔ)上，計(jì)算另外三組邊界條件(SS-F，SS-SD，SS-C)圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性，為一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析提供數(shù)據(jù)積累(見表9)。

表9 SS-F，SS-SD，SS-C邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)ΩTab.9 The frequency parameters Ω under the boundary conditions of SS-F, SS-SD and SS-C

從表9可知，母線與半徑長度比對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較大，在相同半徑長度與厚度比情況下，母線長度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率會(huì)隨之增大。同理，在相同的母線長度與半徑的長度比下，結(jié)構(gòu)厚度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率也隨之增大，但在不同軸向波數(shù)情況下，其增長率并不一致。

4 結(jié) 論

本文基于區(qū)域能量分解法，位移容許函數(shù)采用第一類正交切比雪夫多項(xiàng)式與三角級(jí)數(shù)表示，基于廣義變分原理和最小二乘殘差原理，建立了一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析模型，并對(duì)最小二乘殘差加權(quán)系數(shù)與區(qū)域分段數(shù)對(duì)于數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性進(jìn)行研究分析，在此基礎(chǔ)上，從固有頻率參數(shù)出發(fā)，對(duì)經(jīng)典邊界條件及一般彈性邊界下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了本文方法的有效性。為柱殼結(jié)構(gòu)的前期快速設(shè)計(jì)提供一種可靠的手段。研究成果可為一般邊界條件下圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析提供數(shù)據(jù)積累和方法依據(jù)。