王國波

太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024

癌是醫(yī)學(xué)上對(duì)惡性腫瘤的一種通稱.癌細(xì)胞幾乎可以影響到身體的每個(gè)器官，其主要特點(diǎn)是可以使得正常細(xì)胞失去調(diào)節(jié)生命的能力.這種現(xiàn)象使它們能夠超越正常的界限，侵入周圍的組織和器官而導(dǎo)致患者死亡，醫(yī)學(xué)上稱之為癌癥擴(kuò)散.

近幾年，數(shù)學(xué)模型成為數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家研究癌癥復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的主要工具之一.癌癥數(shù)學(xué)模型建立的過程必須和臨床結(jié)果、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合，同時(shí)也要考慮腫瘤細(xì)胞和免疫細(xì)胞之間的相互作用.這種復(fù)雜的模型過程數(shù)學(xué)家主要利用微分方程進(jìn)行建立，通常是常微分方程和時(shí)滯微分方程對(duì)模型加以刻畫和描述.文獻(xiàn)[1～6]對(duì)癌癥以及關(guān)于癌癥所建立起來的數(shù)學(xué)模型做了大量有意義的工作.

De Pillis LG和Radunskaya A在文獻(xiàn)[7]中建立了惡性腫瘤模型：

(1)

其中，T(t)表示t時(shí)刻腫瘤細(xì)胞的密度；N(t)表示t時(shí)刻健康的宿主細(xì)胞的密度；I(t)表示t時(shí)刻單個(gè)腫瘤間隔區(qū)的效應(yīng)免疫細(xì)胞密度；ri(i=1,2)分別表示腫瘤細(xì)胞和健康細(xì)胞在忽略其他細(xì)胞對(duì)其影響下的增長率；ki(i=1,2)分別表示腫瘤細(xì)胞和健康細(xì)胞的最大承載量；a13表示免疫細(xì)胞對(duì)腫瘤細(xì)胞的殺傷率；a21表示腫瘤細(xì)胞對(duì)健康細(xì)胞的滅活率；a31表示腫瘤細(xì)胞對(duì)免疫細(xì)胞的滅火率；d3表示免疫細(xì)胞的正常死亡率；a12,r3,k3分別表示正常數(shù).文獻(xiàn)[7，8]利用局部緊不變集方法(LCIS)得到模型中腫瘤細(xì)胞消除的充分條件和腫瘤細(xì)胞不受約束下平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上研究在免疫細(xì)胞死亡這一極端條件下的腫瘤細(xì)胞和健康細(xì)胞的動(dòng)力學(xué)行為，以便更好地分析腫瘤細(xì)胞擴(kuò)散的復(fù)雜過程.文章主要對(duì)腫瘤細(xì)胞和健康細(xì)胞模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性進(jìn)行了定性分析，并給出模型在正平衡點(diǎn)處經(jīng)歷Hopf分支的條件.

1 模型在x3=0限制條件下的穩(wěn)定性分析

(2)

為了更好地理解系統(tǒng)(2)在最大不變集上解軌跡的情況，我們假設(shè)x3=0.于是方程(2)變?yōu)?/p>

(3)

(A1):r2>a21,1>a12.

(A2):r2

下面我們接著分析方程(3)在四個(gè)平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性以及Hopf分支存在性.以此，我們假設(shè)

則方程(3)的線性化方程為

其中

定理1若(A1)成立時(shí)， 在平衡點(diǎn)Si(i=1,2,3)處不穩(wěn)定.

證明 當(dāng)S=S1時(shí)，方程(3)在S1處對(duì)應(yīng)線性化方程的特征方程為

(1-λ)(r2-λ)=0

于是得λ1=1>0，λ2=r2>0所以方程(3)在S1處不穩(wěn)定.同理方法我們可以同樣處理S2,S3.

在條件(A1)成立時(shí)，對(duì)于S=S2,可得到其對(duì)應(yīng)特征方程的根為λ1=1>0，λ2=r2-a21>0，所以方程(3)在S2處不穩(wěn)定.

對(duì)于S=S3,可得到其對(duì)應(yīng)特征方程的根為λ1=a12-1>0，λ2=-r2<0所以方程(3)在S3處不穩(wěn)定.證畢.

定理2方程(3)滿足如下：

(i)當(dāng)A1(r2)>0,A2(r2)>0時(shí)，方程(3)在S4處漸近穩(wěn)定；

(ii)當(dāng)(A1),(A3)～(A5)成立時(shí)，方程(3)在S4處產(chǎn)生Hopf分支.

證明 當(dāng)S=S4，可得到其對(duì)應(yīng)特征方程為

λ2+A1(r2)λ+A2(r2)=0

(4)

其中

于是得

利用Routh-Hurwotz[9]準(zhǔn)則法可得出，當(dāng)A1(r2)>0,A2(r2)>0時(shí)，方程(4)的所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部，則有方程(3)在S4處漸近穩(wěn)定.

同時(shí)滿足

2 數(shù)值仿真

(a)方程(3)在t-x1坐標(biāo)下的波圖(b)方程(3)在t-x2坐標(biāo)下的波圖

圖1 方程(3)在特定參數(shù)下數(shù)值解
Fig.1 Simulated solution of equation (3)

(c) 方程(3)在x-y坐標(biāo)下的相圖(d)(c)在(1,0)處局部放大圖

圖2 方程(3) 的相圖
Fig.2 Phase plots for equation (3)

3 結(jié)語

本文主要利用常微分方程的定性理論分析了惡性腫瘤增長模型平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性并給出系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的條件，同時(shí)數(shù)值模擬得出方程的解收斂到死亡平衡點(diǎn).然而，此模型在參數(shù)變化情況下還有許多更有意義的分支現(xiàn)象，它們將可能在醫(yī)學(xué)上對(duì)癌癥治療方案產(chǎn)生積極的意義，這些問題有待于進(jìn)一步的分析和研究.