張華夏

(中山大學(xué) 哲學(xué)系，廣東 廣州 510275)

一、從標(biāo)準(zhǔn)分析看哲學(xué)上的運(yùn)動(dòng)論題和黑格爾的辯證法

(一)關(guān)于辯證法所說(shuō)的“時(shí)點(diǎn)”與“地點(diǎn)”

(二)關(guān)于極限定義的本質(zhì)

(三)關(guān)于無(wú)理數(shù)、“死去了的量的鬼魂”和改進(jìn)辯證法問(wèn)題

就此公式而言，貝克萊根本抓不到什么把柄。這里 dy/dx根本不是陳文所說(shuō)的除數(shù)與被除數(shù)；而Δx是個(gè)變量，本身不是0，它的極限值是0，這里根本不出現(xiàn)陳曉平所說(shuō)的“Δx既是0又不是0”[1]6的矛盾。而且，這里根本不是變量與常量的關(guān)系問(wèn)題。不管Δx的極限值是什么，Δx和它的函數(shù)Δy都是變量，它們都有定義域，這個(gè)定義域是由一定的實(shí)數(shù)常量域組成，不要認(rèn)為，只要Δx是個(gè)變量就萬(wàn)事大吉了，就可以說(shuō)明運(yùn)動(dòng)“在這一點(diǎn)又不在這一點(diǎn)”(初步辯護(hù))，并且還說(shuō)明“運(yùn)動(dòng)‘在這一點(diǎn)又不在這一點(diǎn)’本身不是矛盾的”(改進(jìn)辯證法的表達(dá)方式的終極辯護(hù))。陳曉平在論文摘要中一再提出這幾個(gè)問(wèn)題，向當(dāng)代的微積分的常識(shí)進(jìn)攻，使人感到有點(diǎn)故弄玄虛。不過(guò)他的積極意義要到我們討論非標(biāo)準(zhǔn)分析微積分的時(shí)候才能展露出來(lái)。

(四)關(guān)于黑格爾和恩格斯所講到的機(jī)械位移的矛盾

陳曉平對(duì)“此時(shí)”、“此刻”(“now”或“instant”)給出了一個(gè)意指“無(wú)窮小區(qū)間”的意思。前面筆者提問(wèn)過(guò)，他們?cè)谀睦镎f(shuō)過(guò)“此無(wú)窮小區(qū)間”和“彼無(wú)窮小時(shí)刻”的話？其實(shí)黑格爾和恩格斯對(duì)于陳文強(qiáng)加給他們的話并不領(lǐng)情，因?yàn)樗麄冎v的是矛盾辯證法，指的是運(yùn)動(dòng)在此時(shí)此刻在這一點(diǎn)又不在這一點(diǎn)，并聲明這是違反形式邏輯的。這是矛盾辯證法的常識(shí)之一。

二、從非標(biāo)準(zhǔn)分析來(lái)看哲學(xué)上的運(yùn)動(dòng)論題和黑格爾的辯證法

(一)歷史

圖1 牛頓求切線的微分法

圖2 萊布尼茨求導(dǎo)數(shù)的微分法

這里ds/n=dx/y或yds=ndx。這些無(wú)窮小的總和便得到[5]：

不過(guò)萊布尼茨還沒(méi)有建立一個(gè)系統(tǒng)的實(shí)無(wú)窮小理論，從認(rèn)識(shí)論上看，他將它看作是一種有很好基礎(chǔ)的“虛構(gòu)”，像虛數(shù)一樣，它是有用的，并服從通常數(shù)的規(guī)律。但從本體論上看，他更多地將無(wú)窮小看作是萬(wàn)物由此組成的不可再分的最小的原子，無(wú)窮小是小于一切甚至小于任何實(shí)數(shù)的實(shí)無(wú)窮小[4]2,7。非標(biāo)準(zhǔn)分析(9)關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)分析的一些參考文獻(xiàn)：魯濱遜.非標(biāo)準(zhǔn)分析[M].申又棖,王世強(qiáng),張錦文,等譯.北京:科學(xué)出版社,1980; KEISLER H J.Elementary calculus: An infinitesimal approach[M].Long Island:Courier Corporation,2013; SALBANY S, TODOROV T.Nonstandard analysis in point-set topology[M].Vienna:Preprint ESI 666,1999.繼承萊布尼茨的理論，承認(rèn)實(shí)無(wú)窮小。提出了超實(shí)數(shù)的概念，它包含了實(shí)數(shù)作為它的子集，用各種各樣的無(wú)窮小擴(kuò)展了實(shí)數(shù)。

(二)什么是非標(biāo)準(zhǔn)分析

20世紀(jì)60年代初，德國(guó)數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·魯濱遜(Abraham Robinson)提出非標(biāo)準(zhǔn)分析，重新回到萊布尼茨的實(shí)無(wú)限進(jìn)路，并以此為數(shù)學(xué)分析建構(gòu)出一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)(10)魯濱遜的《非標(biāo)準(zhǔn)分析》(ROBINSON A.Non-standard analysis[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1966)一書(shū)發(fā)表于1966年，書(shū)中的某些主題已出現(xiàn)于其1961年的同名文章(ROBINSON A.Non-standard analysis[J].Proceedings of the Royal Society A,1961,64:432-440)中。參見(jiàn)：Non-standard analysis[EB/OL].(2019-03-27)[2019-04-01].https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Non-standard_analysis&oldid=889717193:5.Robinson’s book; ROBINSON A.Introduction to model theory and to the metamathematics of algebra[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1963:278.。數(shù)學(xué)家與邏輯學(xué)家哥德?tīng)?Kurt G?del)說(shuō)：“不論從哪方面看，非標(biāo)準(zhǔn)分析將會(huì)成為未來(lái)的數(shù)學(xué)分析……在實(shí)數(shù)之后，下一個(gè)十分自然的步驟，即引入無(wú)限小竟被輕易地忽略了……它在發(fā)明微積分后300年才發(fā)展起來(lái)，這是數(shù)學(xué)史上的一件大怪事?！盵6]

1.定義與組成

超實(shí)數(shù)域*R是將實(shí)數(shù)域R作為它的子集的一個(gè)系統(tǒng)。其中的實(shí)無(wú)窮小數(shù)x用δ，ε來(lái)表示，這與標(biāo)準(zhǔn)分析對(duì)它們的用法不同，如果對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)r，有|x|r。實(shí)數(shù)和超實(shí)數(shù)都是有序(ordered sequences)的，例如可以由小到大(或由大到小)排個(gè)隊(duì)。這些都是實(shí)數(shù)與超實(shí)數(shù)的共同性質(zhì)。在這方面，它們是同構(gòu)的。這個(gè)組成可以用下面的超實(shí)數(shù)組成圖表示。(見(jiàn)圖3)

圖3 超實(shí)數(shù)組成圖[7]

2.運(yùn)算法則

非標(biāo)準(zhǔn)分析認(rèn)為在任何兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有許多(前面講過(guò)是無(wú)限多個(gè))無(wú)窮小存在。至少有這樣的法則：無(wú)窮小×有限量=無(wú)窮小，無(wú)窮小+無(wú)窮小=無(wú)窮小，[8]很可能還有一個(gè)公式：無(wú)窮小×無(wú)窮大=有限數(shù)。萊布尼茨正是以這個(gè)公式求得圓的面積和曲線的周長(zhǎng)(12)萊布尼茨的學(xué)生洛必達(dá)在《無(wú)限小分析》(L′HPITAL G D.Analyse des Infiniment Petits pour l′Intelligence des Lignes Courbes[M].Paris:Imprimerie royale,1696.)以公理的形式寫(xiě)道：“第二公理：曲線是由無(wú)窮多個(gè)長(zhǎng)度為無(wú)限小量的直線組成”。參見(jiàn)：張錦文.無(wú)限小量方法與非標(biāo)準(zhǔn)分析[J].曲阜師院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1979(1):1-7.。魯濱遜說(shuō)*R除了它是非阿基米德域這一點(diǎn)外，其他性質(zhì)與R相同，稠密性、有序性等等在*R中同R一樣，能進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算[9]。實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)中的結(jié)合律、交換律、分配律、同一律、傳遞律在超實(shí)數(shù)中都成立。而最基本的與實(shí)數(shù)域同構(gòu)的運(yùn)算法則可以用公式簡(jiǎn)要表示為：*R= (*R ,+, ?，<) 這里*R為超實(shí)數(shù)有序域，*R為超實(shí)數(shù)；它們同構(gòu)于實(shí)數(shù)域R= (R，+, ?，<)。

根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)分析，如果x，y∈*R，并且x-y是無(wú)窮小，則稱(chēng)x與y彼此無(wú)限逼近，記作x≈y；如果x，y是有限的超實(shí)數(shù)，則x≈y≈r，r為唯一實(shí)數(shù)。我們稱(chēng)r為x，y的標(biāo)準(zhǔn)部分，記作：r=st(x) 和r=st(y),即st(x)=st(y) 。獨(dú)立變量的導(dǎo)數(shù)的定義就是df(x)/dx=st((f(x+Δx)-f(x))/Δx)，這里實(shí)無(wú)窮小Δx≈0。

圖4 積分圖

(三)非標(biāo)準(zhǔn)分析對(duì)標(biāo)準(zhǔn)分析的批評(píng)

關(guān)于連續(xù)性，從標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看，在數(shù)軸上，實(shí)數(shù)不但是稠密的、有序的，而且是連續(xù)的。因?yàn)閷?shí)數(shù)在進(jìn)到一點(diǎn)之后，無(wú)下一點(diǎn)可言，所有的點(diǎn)都是連起來(lái)的?？墒菑姆菢?biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看，在任何兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)之間有無(wú)數(shù)的實(shí)無(wú)窮小，這就打破了標(biāo)準(zhǔn)分析及其運(yùn)動(dòng)概念的連續(xù)性。因?yàn)閺姆菢?biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看，數(shù)軸上的點(diǎn)的長(zhǎng)度就只是0，線段如果是點(diǎn)的集合，那么數(shù)軸上無(wú)限個(gè)0的集合也只能是0。與此相反，實(shí)無(wú)窮小無(wú)論怎樣小，超實(shí)數(shù)數(shù)軸都是離散的，在數(shù)軸上總有一個(gè)不能忽略的長(zhǎng)度，正是它足夠?qū)?shù)軸填滿(mǎn)，我們說(shuō)過(guò)它被假定有無(wú)限個(gè)長(zhǎng)度點(diǎn)，這豈不是芝諾對(duì)了，這里有數(shù)不完的空間點(diǎn)要數(shù)。但是，在數(shù)空間點(diǎn)的數(shù)量的有限時(shí)間里也有數(shù)不完的時(shí)間點(diǎn)。我們?cè)诜菢?biāo)準(zhǔn)分析的運(yùn)算法則中創(chuàng)立了一個(gè)公式：“無(wú)窮小×無(wú)窮大=有限數(shù)”，這等于說(shuō)“無(wú)窮大÷無(wú)窮大=有限數(shù)”。這意味著阿基里斯能夠在足夠的時(shí)間里走過(guò)有限的實(shí)數(shù)距離。如果實(shí)無(wú)窮小意味著它在數(shù)軸上有連續(xù)性，運(yùn)動(dòng)便可以連續(xù)走過(guò)去。無(wú)論怎么說(shuō)，芝諾第一悖論的“阿基里斯趕不上龜”不能成立：阿基里斯可以趕上龜。[10]

關(guān)于黑格爾的矛盾運(yùn)動(dòng)觀念，陳文從標(biāo)準(zhǔn)分析的極限論出發(fā)，認(rèn)為只要有一個(gè)無(wú)窮小變量的觀念，在此種變量觀念下，“在這一點(diǎn)又不在這一點(diǎn)”便很好解釋(初步辯護(hù))并且又不違反形式邏輯。殊不知黑格爾和恩格斯講矛盾運(yùn)動(dòng)時(shí)從來(lái)就是指“既是(在這一點(diǎn))又不是(在這一點(diǎn))”，他們?cè)谠撘饬x下明確地說(shuō)了這是違反形式邏輯的。相反，非標(biāo)準(zhǔn)分析講的運(yùn)動(dòng)從來(lái)就是符合(形式)邏輯的，而且它的建立首先從邏輯上得到很好的論證。在這里，黑格爾沒(méi)有得到任何便宜，他也不想得到這個(gè)便宜。

(四)非標(biāo)準(zhǔn)分析與芝諾悖論

從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看，芝諾悖論(13)關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)分析與芝諾悖論的一些參考文獻(xiàn)：SALMON W C.Space, time and motion[M].Minneapolis:University of Minnesota Press,1980; DOWDEN B. Zeno’s paradoxes[EB/OL].[2019-04-01].https://www.iep.utm.edu/zeno-par/；MCLAUGHLIN W I.Resolving Zeno’s paradoxes[J].Scientific American,1994,271(5):84-89；MCLAUGHLIN W I, MILLER S L.An epistemological use of nonstandard analysis to answer Zeno’s objections against motion[J].Synthese,1992,92(3):371-384；PAPA-GRIMALDI A.Why mathematical solutions of Zeno’s paradoxes miss the point: Zeno’s one and many relation and Parmenides’prohibition[J].The Review of Metaphysics,1996,50(2):299-314； Zeno’s paradoxes[EB/OL].(2019-02-20)[2019-04-01].https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeno%27s_paradoxes&oldid=884310256.主要是三個(gè)問(wèn)題：阿基里斯趕不上龜，一分為二永遠(yuǎn)數(shù)不完和飛矢不動(dòng)。無(wú)論實(shí)無(wú)窮小是多么短的線段，不論烏龜走得多遠(yuǎn)，一分為二分得多細(xì)，都可以將它數(shù)完(或量度完)。這樣，芝諾悖論的問(wèn)題便集中在“飛矢不動(dòng)”上。從“飛矢不動(dòng)”看，在每一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上，飛矢的確是不動(dòng)的。無(wú)論標(biāo)準(zhǔn)分析還是非標(biāo)準(zhǔn)分析都是如此。必須在一個(gè)區(qū)間里，例如(a，b)里，才能說(shuō)它從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。這就是羅素的at-at理論。(“運(yùn)動(dòng)的at此時(shí)-at此地的理論”)這個(gè)觀點(diǎn)首先是亞里士多德提出來(lái)的。這又是關(guān)系到一個(gè)長(zhǎng)度是怎樣被形成、是怎樣被經(jīng)過(guò)的問(wèn)題，它首先要求有一個(gè)時(shí)間段落，對(duì)應(yīng)著它才有一個(gè)被決定的空間段落，如果速度等于零，它還是不動(dòng)的。羅素的意見(jiàn)是，運(yùn)動(dòng)是位置對(duì)于時(shí)間的函數(shù)，無(wú)論標(biāo)準(zhǔn)分析還是非標(biāo)準(zhǔn)分析情況都是這樣。按照這個(gè)意見(jiàn)，黑格爾沒(méi)有得到任何便宜：從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看，在數(shù)軸上當(dāng)t進(jìn)到實(shí)數(shù)劃分的t1處時(shí)，s只能夠按照s=f(t) 在s1處，不能同時(shí)在s2處(這里s1≠s2)。而在數(shù)軸上，當(dāng)t進(jìn)到超實(shí)數(shù)劃分的t1+ε1處時(shí)，按照*s=f(t+ε)，它只能在f(t1+ε1)處，不能也在另一個(gè)地方，例如f(t1+ε2)處。這里ε1與ε2都是實(shí)無(wú)窮小，它們不定義在自然數(shù)和實(shí)數(shù)上。而是在實(shí)數(shù)之外進(jìn)行定義，黑格爾自我欣賞的在這里又不在這里的自相矛盾是錯(cuò)誤的。非標(biāo)準(zhǔn)分析沒(méi)有這個(gè)錯(cuò)誤。

事實(shí)上，用戴德金分割來(lái)解決芝諾悖論只是一個(gè)權(quán)宜之計(jì)，因?yàn)樗纫幸粋€(gè)前提。戴德金分割解決了實(shí)數(shù)是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的集合這一問(wèn)題，這是該進(jìn)路的貢獻(xiàn)，但是沒(méi)能觸及到“數(shù)軸是點(diǎn)的集合”這一前提。對(duì)此，我們可以從超實(shí)數(shù)的研究得到一些啟示。我們的進(jìn)路不但要從數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)來(lái)分析運(yùn)動(dòng)，而且要從物理學(xué)的觀點(diǎn)分析運(yùn)動(dòng)，這時(shí)運(yùn)動(dòng)的物體是有長(zhǎng)度的，夸克也是有長(zhǎng)度的，從這個(gè)觀點(diǎn)看，芝諾悖論是很容易駁倒的。不過(guò)這是非標(biāo)準(zhǔn)分析微積分，它是未來(lái)的微積分，現(xiàn)在，柯西的微積分占了主導(dǎo)地位。用非標(biāo)準(zhǔn)分析來(lái)講授微積分，目前在美國(guó)的大學(xué)里也只是試驗(yàn)性的。本文也只是以非標(biāo)準(zhǔn)分析解決芝諾悖論與辯證法運(yùn)動(dòng)論題的初步嘗試，望能拋磚引玉，引起學(xué)界對(duì)此研究進(jìn)路的重視。