夏自由

（長沙師范學院 長沙 410100）

1 引言

扭索曲線是版紋防偽的基本要素。扭索曲線在防偽底紋制作上得到廣泛應用。我國2005 年版、2015年版百元鈔票都采用了扭索曲線進行防偽。

在版紋防偽設計軟件中，扭索曲線主要通過數學函數生成，以正弦函數、余弦函數為主。曲線光滑、對稱、美觀，常規(guī)圖形設計軟件無法繪制出來，具有一定的防偽性，同時可對正（余）弦函數進行線性運算，改變曲線的形狀，提升扭索曲線的防偽性能［1～4］。

2 傅里葉級數理論

根據傅里葉級數理論，周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示，如式（1）所示［5～6］。

反過來，用有限項傅里葉級數可構建周期函數，生成扭索曲線，曲線的波形為各單項函數的諧波之和［7～11］。

采用傅里葉級數公式建立的曲線光滑、美觀，而且具有一定的周期性，適合制作防偽扭索曲線。而且，曲線形狀隨傅里葉級數中單項函數的幅值變化而變化，曲線的防偽效果好，仿造者如沒有破解復合函數的參數，就無法仿制出曲線。因此，傅里葉級數公式適用于防偽扭索曲線設計［12～18］。

3 實驗

采用傅里葉級數公式設計扭索曲線時，為了保證曲線的美觀度，需要按照一定的規(guī)律來構建復合函數。本研究采用Cerber3.0 防偽版紋設計軟件進行實驗，探尋復合函數構建中，諧波分量、級數對曲線形狀的影響。

Cerber3.0為俄羅斯開發(fā)的防偽版紋設計軟件，可基于圖形界面構建二維傅里葉級數復合函數。如圖1所示。

圖1 Cerber3.0中傅里葉級數復合函數的構建

諧波AB 表示Y 軸方向傅里葉級數的各單項函數的幅值，對應式（2）。諧波CD 表示X軸方向傅里葉級數的各單項函數的幅值，對應式（3）。

構建復合函數時，諧波A、B、C、D 的值采取相對值方式，大小范圍為-10～10，級數n 的范圍為0～255 級。設置好復合函數的參數后，就可生成對應的扭索曲線。

3.1 Y軸方向構建復合函數

Y 軸方向，基于公式（2）構建復合函數，曲線的波形沿著Y軸方向進行諧波變換。如圖2所示。

圖2 Y軸方向復合函數的曲線形狀

從圖3 中可以看出，當級數為1 時，可生成正（余）弦曲線；當級數為2 時，可生成雙頻干涉扭索曲線；隨著級數的增加，曲線的形狀變得復雜。

在實際應用中，為了保持曲線的美觀，需要按照一定的原則設置n、A、B的值。有以下幾個原則：

1）級數n 決定一個周期內Y 軸方向波峰的數量，最多波峰數量與n值相等。

2）調整A、B值，會改變曲線波峰、波谷的形狀、位置。

3）當B 取值都為0 時，復合函數都是由余弦函數構成，形成的函數曲線具有左右對稱性。如圖3所示。

圖3 B=0，復合函數的曲線左右對稱

3.2 X軸方向構建復合函數

X 軸方向，基于式（3）構建復合函數，曲線的波形沿著X軸方向進行諧波變換。如圖4所示。

圖4 X軸方向復合函數調整曲線形狀

從圖4 中可以看出，調整C、D 值，曲線波形出現傾斜、交錯的效果。在實際應用中，為了保持曲線的美觀，需要按照一定的原則設置n、C、D 的值。有以下幾個原則：

1）級數n 決定一個周期內X 軸方向波峰的數量，最多波峰數量與n 值相等。另外，如果曲線形成交錯效果時，最多的交錯次數也與n值相等。

2）調整C、D 值，曲線在X 軸方向進行諧波變換，即曲線沿著X軸方向出現傾斜或變形。

3）當D 取值為0 時，式（3）中的復合函數都是由余弦函數構成，形成的波形曲線具有上下旋轉對稱性。如圖5所示。

圖5 D=0，復合函數的曲線上下旋轉對稱

3.3 二維方向構建復合函數

在X軸、Y軸方向同時構建復合函數時，曲線在X軸方向、Y軸方向同時進行諧波變換，形狀變得復雜。如圖6所示。

4 結果分析

根據以上分析，利用傅里葉級數公式，可以復合出復雜的三角函數，對應的扭索曲線復雜，仿制難度非常大，同時又具有周期性，適合用于防偽底紋的制作。但設計制作防偽底紋時，還需要考慮底紋的美觀因素，因此并不是任意復合函數都適用于扭索曲線的設計。綜合考慮，利用傅里葉級數公式制作扭索曲線時，以下設計經驗值得借鑒。

圖6 二維方向構建復合函數形成的曲線

1）構建的復合函數時，使用的級數越多，生成曲線越復雜，防偽效果越好，但級數增加，一方面會增加計算的時間，軟件處理速度變慢，另一方面，值越大，調整意圖具有盲目性，效果也無法控制，導致曲線形狀過于復雜，影響版紋的美觀度。當Y 軸方向達到4 級，X 軸方向達到2 級時，曲線被反向分解破解的難度已經較大，生成的曲線較為美觀。

2）構建復合函數時，諧波B、D 的值設置為0，只調整A 值、C 值，扭索曲線具有對稱性，制作的底紋美觀度高。

3）利用傅里葉級數公式建立的復合函數，曲線形狀各異，但并不是所有的曲線都適用于制作防偽版紋，因為還要考慮版紋的美觀性。生產應用中，可以通過實驗選擇適合的復合函數來制作扭索曲線。圖7為復合函數曲線制作的防偽底紋效果。

圖7 復合函數曲線及底紋填充效果

5 結語

利用傅里葉級數公式設計防偽扭索曲線時，需要把防偽性能與美觀度結合起來。復合函數的參數簡單，造假者容易破解參數，仿制出版紋；復合函數參數復雜，曲線形狀變得復雜，版紋的美觀度降低。因此，設計時需要綜合考慮，平衡處理。