■河北省秦皇島市第一中學(xué) 張守業(yè)

含參一元二次不等式恒成立問題,歷來是高考命題中的一個熱點(diǎn),這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),一般難度中等或偏大。那么我們該如何解答這類問題呢?

【引例】若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2＞0的解集是R,則m的范圍是( )。

A.[1,9)

B.(1,9)

C.(-∞,1]∪(9,+∞)

D.(-∞,1)∪(9,+∞)

解析：將原問題轉(zhuǎn)化為不等式(m-1)·x2+(m-1)x+2＞0在R 上恒成立,解題時需注意對參數(shù)m取值的分類討論。

由題意得不等式(m-1)x2+(m-1)x+2＞0在R 上恒成立。

①當(dāng)m=1時,不等式為2＞0,不等式恒成立,符合題意。

②當(dāng)m≠1 時,由不等式恒成立得解得1＜m＜9。

綜上可知 ,1≤m＜9,所以實數(shù)m的范圍是[1,9),故選A。

點(diǎn)評：不等式ax2+bx+c＞0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：(1)a=0 時,b=0,c＞0；(2)當(dāng)a≠0時,

【變式1】當(dāng)a∈[-1,1]時,不等式x2+(a-4)x+4-2a＞0恒成立,則x的取值范圍為( )。

A.(-∞,1)∪(3,+∞)

B.(-∞,1)∪(2,+∞)

C.(-∞,2)∪(3,+∞)

D.(1,3)

解析：令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,則不等式x2+(a-4)x+4-2a＞0恒成立轉(zhuǎn)化為f(a)＞0在a∈[-1,1]上恒成立。

所以實數(shù)x的取值范圍是(-∞,1)∪(3,+∞),選A。

點(diǎn)評：本題的參數(shù)a已知,要求自變量x的取值范圍,采用了改變主元的解題策略,把原不等式看成關(guān)于a的一元一次不等式,于是通過構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)來解決問題,這種解法也叫反客為主法。

【變式2】對于任意實數(shù)x,不等式(a-2)·x2-2(a-2)-4＜0 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

A.(-∞,2) B.(-∞,2]

C.(-2,2] D.(-2,2)

解析：當(dāng)a-2=0,即a=2時,原不等式變?yōu)?4＜0,顯然不等式恒成立,符合題意。

當(dāng)a-2≠0,即a≠2 時,因為對于任意的實數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4＜0恒成立,所以必須滿足：

綜上得,-2＜a≤2,故選C。

點(diǎn)評：不等式的恒成立問題,應(yīng)和函數(shù)的圖像聯(lián)系起來。二次項系數(shù)含字母,應(yīng)對二次項系數(shù)是否為0,分情況討論。當(dāng)二次項系數(shù)不為0時,結(jié)合二次函數(shù)圖像考慮,根據(jù)題意圖像應(yīng)恒在x軸的下方,故拋物線開口向下且和x軸沒交點(diǎn),即判別式小于0。綜合兩種情況可得所求范圍。

【變式3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對于滿足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,則實數(shù)a的取值范圍為( )。

解析：因為滿足1＜x＜4 的一切x值,都有f(x)=ax2-2x+2＞0恒成立,可知a≠0,所以,滿足1＜x＜4的一切x值恒成立。因為,所以,實數(shù)a的取值范圍是。

于是實數(shù)a的取值范圍為a＞,故選D。

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題,屬于難題。不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù),a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立(a≤f(x)min即可)；②數(shù)形結(jié)合,f(x)＞g(x)(y=f(x)圖像在y=g(x)的上方即可)；③討論最值f(x)min≥0 或f(x)max≤0恒成立；④討論參數(shù)。本題就是利用方法 ①求得a的取值范圍的。

【變式4】函數(shù)f(x)=的定義域為R,則常數(shù)k的取值范圍是____。

解析：因為函數(shù)的定義域為R,所以不等式kx2+kx+1＞0 恒成立。當(dāng)k=0 時,不等式變?yōu)?＞0,顯然恒成立,所以k=0符合題意；當(dāng)k≠0 時,解得0＜k＜4。所以k的取值范圍是[0,4)。

點(diǎn)評：求函數(shù)的定義域,應(yīng)使得函數(shù)解析式有意義。分母中根式的被開方式大于0,轉(zhuǎn)化成不等式恒成立,二次項系數(shù)為字母,討論是否為零,不為零時,結(jié)合二次函數(shù)圖像來解。

【友情提示】一元二次不等式恒成立問題的幾個注意點(diǎn)：

(1)一元二次不等式的恒成立問題,可通過二次函數(shù)求最值來處理,也可通過分離參數(shù),再求最值；

(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是變量,求誰的范圍,誰就是參數(shù)；

(3)對于二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方。