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        含參一元二次不等式恒成立問題變式探究

        2019-11-29 09:35:52河北省秦皇島市第一中學(xué)張守業(yè)
        關(guān)鍵詞:實(shí)數(shù)最值題意

        ■河北省秦皇島市第一中學(xué) 張守業(yè)

        含參一元二次不等式恒成立問題,歷來是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn),這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),一般難度中等或偏大。那么我們該如何解答這類問題呢?

        【引例】若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,則m的范圍是( )。

        A.[1,9)

        B.(1,9)

        C.(-∞,1]∪(9,+∞)

        D.(-∞,1)∪(9,+∞)

        解析:將原問題轉(zhuǎn)化為不等式(m-1)·x2+(m-1)x+2>0在R 上恒成立,解題時(shí)需注意對參數(shù)m取值的分類討論。

        由題意得不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0在R 上恒成立。

        ①當(dāng)m=1時(shí),不等式為2>0,不等式恒成立,符合題意。

        ②當(dāng)m≠1 時(shí),由不等式恒成立得解得1<m<9。

        綜上可知 ,1≤m<9,所以實(shí)數(shù)m的范圍是[1,9),故選A。

        點(diǎn)評:不等式ax2+bx+c>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是:(1)a=0 時(shí),b=0,c>0;(2)當(dāng)a≠0時(shí),

        【變式1】當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍為( )。

        A.(-∞,1)∪(3,+∞)

        B.(-∞,1)∪(2,+∞)

        C.(-∞,2)∪(3,+∞)

        D.(1,3)

        解析:令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,則不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立轉(zhuǎn)化為f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立。

        所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-∞,1)∪(3,+∞),選A。

        點(diǎn)評:本題的參數(shù)a已知,要求自變量x的取值范圍,采用了改變主元的解題策略,把原不等式看成關(guān)于a的一元一次不等式,于是通過構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)來解決問題,這種解法也叫反客為主法。

        【變式2】對于任意實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)·x2-2(a-2)-4<0 恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

        A.(-∞,2) B.(-∞,2]

        C.(-2,2] D.(-2,2)

        解析:當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),原不等式變?yōu)?4<0,顯然不等式恒成立,符合題意。

        當(dāng)a-2≠0,即a≠2 時(shí),因?yàn)閷τ谌我獾膶?shí)數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,所以必須滿足:

        綜上得,-2<a≤2,故選C。

        點(diǎn)評:不等式的恒成立問題,應(yīng)和函數(shù)的圖像聯(lián)系起來。二次項(xiàng)系數(shù)含字母,應(yīng)對二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,分情況討論。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),結(jié)合二次函數(shù)圖像考慮,根據(jù)題意圖像應(yīng)恒在x軸的下方,故拋物線開口向下且和x軸沒交點(diǎn),即判別式小于0。綜合兩種情況可得所求范圍。

        【變式3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

        解析:因?yàn)闈M足1<x<4 的一切x值,都有f(x)=ax2-2x+2>0恒成立,可知a≠0,所以,滿足1<x<4的一切x值恒成立。因?yàn)?所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

        于是實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>,故選D。

        點(diǎn)評:本題主要考查二次函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題,屬于難題。不等式恒成立問題常見方法:①分離參數(shù),a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立(a≤f(x)min即可);②數(shù)形結(jié)合,f(x)>g(x)(y=f(x)圖像在y=g(x)的上方即可);③討論最值f(x)min≥0 或f(x)max≤0恒成立;④討論參數(shù)。本題就是利用方法 ①求得a的取值范圍的。

        【變式4】函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,則常數(shù)k的取值范圍是____。

        解析:因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,所以不等式kx2+kx+1>0 恒成立。當(dāng)k=0 時(shí),不等式變?yōu)?>0,顯然恒成立,所以k=0符合題意;當(dāng)k≠0 時(shí),解得0<k<4。所以k的取值范圍是[0,4)。

        點(diǎn)評:求函數(shù)的定義域,應(yīng)使得函數(shù)解析式有意義。分母中根式的被開方式大于0,轉(zhuǎn)化成不等式恒成立,二次項(xiàng)系數(shù)為字母,討論是否為零,不為零時(shí),結(jié)合二次函數(shù)圖像來解。

        【友情提示】一元二次不等式恒成立問題的幾個(gè)注意點(diǎn):

        (1)一元二次不等式的恒成立問題,可通過二次函數(shù)求最值來處理,也可通過分離參數(shù),再求最值;

        (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是變量,求誰的范圍,誰就是參數(shù);

        (3)對于二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方。

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