■河南科技大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 張 輝

解析幾何是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容,而雙曲線又是解析幾何的重要組成部分,從近幾年高考命題來看,雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點(diǎn),離心率和漸近線問題是考查的重點(diǎn),題目難度屬于中低檔,多以選擇填空形式出現(xiàn),主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,涉及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。下面我們主要分析雙曲線章節(jié)的經(jīng)典題型和解題方法。

類型一 雙曲線的定義與應(yīng)用

例1(2018 年太原市模擬)已知雙曲線C=1(a＞0,b＞0)的左焦點(diǎn)為F1,離心率為,P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)Q(c,2a)(c為半焦距),且|PF1|+|PQ|的最小值為8,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____。

解題思路：由雙曲線定義結(jié)合|PF1|+|PQ|的最小值為8,可得到a的值,再根據(jù)離心率得到c的值,進(jìn)而根據(jù)c2=a2+b2,求得b的值,從而求出雙曲線的方程。

解析：設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F2,因?yàn)閑=,所以a=2b。將x=c代入雙曲線C的方程,得y=±,所以點(diǎn)Q在雙曲線右支的上方。

由雙曲線的定義,可得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|。

當(dāng)F2、P、Q三點(diǎn)共線時(shí),|PF2|+|PQ|取得最小值,此時(shí)|F2Q|=2a,所以|PF1|+|PQ|的最小值為4a。則4a=8,解得a=2。已知雙曲線C的離心率為,則c=,雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是-y2=1。

評(píng)注：解決雙曲線中有關(guān)最值問題,常見方法就是依據(jù)雙曲線的定義,再結(jié)合平面幾何知識(shí)求解,不僅直觀易懂,而且簡單易用。

類型二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(2017 年全國卷Ⅲ卷)已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓=1 有公共焦點(diǎn),則雙曲線C的方程為( )。

解題思路：根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到a,b關(guān)系,根據(jù)公共焦點(diǎn)求出c,利用c2=a2+b2,求出a2,b2。

解析：根據(jù)雙曲線C的一條漸近線方程為,可知。①

根據(jù)①②可知a2=4,b2=5,選B。

評(píng)注：求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是學(xué)習(xí)雙曲線的基礎(chǔ),以上是求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法,我們都是先確定焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上,如果焦點(diǎn)位置不確定,可進(jìn)行分情況探討。如果我們對(duì)橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)熟悉,也可用其他解法,簡化計(jì)算過程。

類型三 雙曲線的幾何特征——漸近線和離心率

1.直接法

例3(2018年全國Ⅱ卷) 雙曲線=1(a＞0,b＞0)的離心率為,則其漸近線方程為( )。

解題思路：知道離心率,可得到a,c的關(guān)系,利用c2=a2+b2,求出a2與b2的關(guān)系,從而求出漸近線方程。

解析：由題意知,e,則。該雙曲線的漸近線方程為y==±x,選A 。

評(píng)注：雙曲線的漸近線與離心率有著密切的聯(lián)系,二者之間可以相互轉(zhuǎn)化,并且都是刻畫雙曲線開口大小的重要特征。

2.利用幾何關(guān)系求離心率

例4(2019年全國Ⅱ卷)設(shè)F為雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)。若|PQ|=|OF|,則雙曲線C的離心率為( )。

解題思路：首先求出以O(shè)F為直徑的圓的方程,然后求得兩圓公共弦所在的直線方程,由勾股定理求得PQ,從而由|PQ|=|OF|得到關(guān)于a、b、c的齊次方程,進(jìn)而求得雙曲線的離心率。

評(píng)注：利用幾何關(guān)系建立有關(guān)a、b、c的齊次式,此類問題是高考考查的重點(diǎn),也是難點(diǎn),一般情況下都要利用數(shù)形結(jié)合、雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形、直角三角形等相關(guān)知識(shí)解題。

3.離心率取值范圍

例5(2019 年名校聯(lián)考原創(chuàng)預(yù)測卷)已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn),在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P,使|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等比數(shù)列,則該雙曲線離心率的取值范圍是( )。

解題思路：根據(jù)|PF2|,|PF1|,|F1F2|

成等比數(shù)列,得到 |PF1|2=|PF2|·|F1F2|。點(diǎn)P在雙曲線的右支上,依據(jù)雙曲線定義得到|PF1|-|PF2|=2a,因此可以用a,c表示|PF1|或|PF2|,最后根據(jù)雙曲線右支上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍,即|PF1|≥c+a或|PF2|≥c-a,得到關(guān)于e的不等式。

解析：令|PF1|=m,|PF2|=n,則由|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等比數(shù)列,得m2=n|F1F2|。又m-n=2a,|F1F2|=2c,所以m2=2(m-2a)c,即m2-2mc+4ac=0,則Δ=4c2-16ac,且m=c+。

根據(jù)Δ＞0,得e＞4。由m≥c+a,得≥a,c2-4ac≥a2,e2-4e-1≥0,e≥2+,故選A。

評(píng)注：雙曲線離心率取值范圍與雙曲線求值有很多相似的思路,但因?yàn)樯婕暗氖欠秶?我們需要注意以下幾個(gè)方面：(1)根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系,利用判別式；(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；(3)不要忘記雙曲線本身離心率的取值范圍。

類型四 直線與雙曲線位置關(guān)系

1.位置關(guān)系判斷

例6(1)(2017年廈門期末測試卷)過雙曲線=1的左焦點(diǎn)作傾斜角為直線l,則直線l與雙曲線的交點(diǎn)( )。

A.都在左支上

B.都在右支上

C.不確定

D.一個(gè)在左支,一個(gè)在右支

(2)求直線l：y=2x和雙曲線x2-y2=4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解題思路：思路一是代數(shù)法,將直線方程代入雙曲線方程,利用判別式；思路二是幾何法,將直線斜率與漸近線斜率進(jìn)行比較,利用數(shù)形結(jié)合求解。

解析：(1)(代數(shù)法)直線l的方程為y=,代入整理可得23x2-8x-160=0。

(2)(幾何法) 雙曲線的漸近線為：x2-y2=0,即y=±x。因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在x軸上,且l的斜率大于漸近線斜率,所以直線l與雙曲線相離,交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0。

評(píng)注：判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系,基本思路有兩個(gè)：(1)代數(shù)法,將直線方程與雙曲線方程進(jìn)行聯(lián)立消元,對(duì)所得方程進(jìn)行探討,特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零；(2)利用數(shù)形結(jié)合思想,借助圖形判斷直線與雙曲線位置關(guān)系,一般情況都要與漸近線進(jìn)行對(duì)比。

2.中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)

例7已知雙曲線方程2x2-y2=2。

(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程。

(2)求過點(diǎn)B(1,1)能否作直線,使與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn),且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)。如果存在,求出它的方程；如果不存在,說明理由。

解題思路：(1)設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn),代入雙曲線方程,作差即可求出弦所在直線的斜率,再利用點(diǎn)斜式求直線方程；(2)設(shè)出弦所在的直線方程,代入雙曲線方程,整理出關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)判別式判斷方程是否有根,直線是否存在。

解析：(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則兩式相減得到2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)。又因?yàn)閤1+x2=4,y1+y2=2,所以直線斜率,所求直線方程為4x-y-7=0。

(2)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線l存在,按照(1)的解法可得直線l的方程為y=2x-1。

消去y,得2x2-4x+3=0。方程的判別式Δ=-8＜0,所以方程無實(shí)根,直線l與雙曲線無交點(diǎn),滿足題設(shè)條件的直線l不存在。

評(píng)注：涉及中點(diǎn)弦的問題,一般用的方法是“韋達(dá)定理”和 “作差法”,作差法可以簡化計(jì)算,但是用作差法的前提是默認(rèn)以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的斜率存在,所以用此方法求解中點(diǎn)弦所在直線方程,必須要進(jìn)行檢驗(yàn),驗(yàn)證直線是否與雙曲線相交。