■河南科技大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 許 哲

圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題是高考解答題的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一。解決圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍,因此這類問(wèn)題的難點(diǎn)就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系。下面探究常見題型的破解策略。

一、利用基本不等式求最值與范圍

圖1

例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD。當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí),

(1)求橢圓的方程；

(2)求以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形的面積的取值范圍。

解析：(1)由題意知,則a=c,b=c。

當(dāng)直線AB的斜率為0 時(shí),|AB|+|CD|=2a+=,則c=1。

(2)①當(dāng)直線AB與CD中有一條直線的斜率為0時(shí),另一條直線的斜率不存在。

由題意知S四邊形ADBC=|AB|·|CD|=。

②當(dāng)兩條直線的斜率均存在且不為0時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=k(x-1),則直線CD的方程為y=-(x-1)。

將直線AB的方程代入橢圓方程,整理得：

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0。

感悟：這道題,應(yīng)用了兩個(gè)公式：

1.弦長(zhǎng)公式|PQ|==,a是x2的系數(shù)；

可先建立目標(biāo)函數(shù),再利用基本不等式求目標(biāo)函數(shù)的最值。

例2已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上,且滿足|AB|=2,點(diǎn)P在線段AB上,且(t是不為零的常數(shù))。設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為C。

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C；

(2)若t=2,點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N不在坐標(biāo)軸上),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,求△QMN的面積S的最大值。

解析：(1)設(shè)A(a,0),B(0,b),P(x,y)。

感悟：本題第二問(wèn),先構(gòu)建面積平方的等式,再由點(diǎn)在曲線上這個(gè)條件,利用基本不等式求出積的最大值,從而求出面積的最大值。

例3已知橢圓=1(a＞b＞0),設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,m)的動(dòng)直線l與橢圓E相交于P、Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程。

若2m2＜b2,則k2=＜0,S△OPQ取不到最大值,此時(shí)不能用基本不等式求最值,而通過(guò)用構(gòu)造函數(shù)法或放縮法可以證明,當(dāng)k=0時(shí),S△OPQ有最大值。

感悟：利用基本不等式求最值時(shí),一定要注意等號(hào)是否能夠取到,如果取不到,要及時(shí)轉(zhuǎn)換方法,也可利用函數(shù)法求最值。

二、利用換元法，構(gòu)建函數(shù)求最值與范圍

例4已知橢圓=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之和為10,一個(gè)焦點(diǎn)為(-,0),A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,x2＞0)為橢圓上的兩點(diǎn),P(0,1)。

(1)求|PA|的最大值；

(2)若直線PA,PB的斜率互為相反數(shù),求△PAB的面積最大時(shí)直線AB的方程。

解析：(1)由題意,得2a+2b=10,c=5。

(2)由題知當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),不滿足PA,PB的斜率互為相反數(shù),故直線AB的斜率存在。設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k≠0),聯(lián)立方程,得：

整理得2k(m2-4)-2km(m-1)=0。

因?yàn)閗≠0,所以m2-4-m(m-1)=0,解得m=4。

故直線AB的方程為y=kx+4,即AB過(guò)定點(diǎn)Q(0,4)。

感悟：解決這類題的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù),并適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換元,轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見的函數(shù),通過(guò)求該函數(shù)的值域來(lái)獲得問(wèn)題的解,利用換元法時(shí)要注意所換元的取值范圍；在求函數(shù)的值域時(shí),也可以利用基本不等式求解。