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        帶有漸近條件奇異微分方程的有界解

        2019-11-28 11:40:50進(jìn)
        關(guān)鍵詞:有界不動(dòng)點(diǎn)邊界條件

        趙 進(jìn)

        (河海大學(xué) 理學(xué)院,南京 210098;揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部,江蘇 揚(yáng)州 225100)

        0 引 言

        考慮如下二階奇異微分方程:

        x″=f(t,x)+e(t),t≥t0∈,

        (1)

        (2)

        在物理學(xué)上更有意義,其中φ0>0是正常數(shù).

        Constantin等[1]利用流函數(shù)的形式建立了海洋環(huán)流運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,并將其轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)半線性橢圓方程進(jìn)行了研究:

        (3)

        Chu[2-4]借助文獻(xiàn)[1]導(dǎo)出的模型,運(yùn)用鏡像對(duì)稱變換和指數(shù)變換,將方程(3)轉(zhuǎn)化為如下二階常微分方程:

        (4)

        以及漸近條件

        (5)

        并對(duì)渦度函數(shù)F在常數(shù)、Lipschitz連續(xù)、一般非線性連續(xù)的情形下進(jìn)行了系統(tǒng)研究.此外,關(guān)于奇異微分方程有界解的存在性研究也引起廣泛關(guān)注,其中包括奇異周期問(wèn)題[5-7]、奇異Dirichlet問(wèn)題[8-9]等.常用的方法包括上下解、度理論和不動(dòng)點(diǎn)定理.但目前已有的結(jié)果邊界條件大部分是周期邊界條件或其他分離邊界條件.本文主要考慮方程(4)的一般形式,并從物理學(xué)的角度增加相應(yīng)的漸近條件(2),根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明方程(1)-(2)有界解的存在性.

        1 預(yù)備知識(shí)

        為了能運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理,先把方程(1)-(2)轉(zhuǎn)化成其等價(jià)的積分方程.事實(shí)上,若x(t)是方程(1)-(2)的解,則可得

        (6)

        此外,

        其中需要假設(shè)條件

        (7)

        若滿足式(6)的第二個(gè)條件,則對(duì)于任意的t∈[t0,+∞),可得

        (8)

        本文用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理[10]證明積分方程(6)至少存在一個(gè)正的有界解.

        2 主要結(jié)果

        (9)

        其中對(duì)于所有的t∈[t0,+∞),均有a(t),b(t),c(t)>0,且α,β>0.對(duì)于每個(gè)φ0>0,均存在T0≥t0,使得積分方程(6)至少有一個(gè)正的有界連續(xù)解x: [T0,∞)→,且滿足

        證明:設(shè)所有有界函數(shù)x∈C([T0,∞),)組成的集合為Banach空間X,定義

        X1={x∈C([T0,∞),

        (10)

        這里

        Ω={x∈X1: 0

        其中r=φ0>0.

        根據(jù)

        可以證明算子T:Ω→X.此外,由

        (11)

        下面將應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明算子T在非空有界閉凸集Ω中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),證明過(guò)程分三步.

        1) 首先證明T(Ω)?Ω.對(duì)于每個(gè)x∈Ω和t≥T0,由于f和e都是非負(fù)的,可得(Tx)(t)≥φ0=r>0.根據(jù)不等式(11),有

        因此,對(duì)于所有的t≥T0,有r≤(Tx)(t)≤R,從而算子T:Ω→Ω是可以定義的.

        2) 證明T(Ω)在X中是相對(duì)緊的.根據(jù)Arzela-Ascoli定理,需證明T(Ω)是一致有界、等度連續(xù)和等度收斂的.令{xn}是Ω中一組任意的數(shù)列.

        ① 證明{Txn}在X中是一致有界的.顯然,對(duì)于所有的t≥T0,有

        ② 證明{Txn}在X中是等度連續(xù)的.將算子(10)兩邊對(duì)t同時(shí)求導(dǎo),可得

        (12)

        根據(jù)式(11),(12),對(duì)于所有的t≥T0,有

        因此,對(duì)于所有的x∈Ω,有

        |(Tx)′(t)|≤M,t≥T0,

        其中

        若{xn}是Ω中一組任意的數(shù)列,則

        |(Txn)′(t)|≤M,t≥T0,n≥1.

        應(yīng)用中值定理,有

        |(Txn)(t1)-(Txn)(t2)|≤M|t1-t2|,t1,t2≥T0,n≥1,

        從而{Txn}在X中是等度連續(xù)的.

        ③ 證明{Txn}在X中是等度收斂的.根據(jù)

        可得

        即對(duì)于每個(gè)ε>0,均存在Tε>T0,使得

        |(Txn)(t)-φ0|≤ε,t≥Tε,n≥1.

        從而{Txn}在X中是等度收斂的.

        3) 證明算子T:Ω→Ω是連續(xù)的.對(duì)一個(gè)給定的正常數(shù)ε,均存在T*≥T0,使得

        由于f: [t0,T*]×[r,R]→是一致連續(xù)的,故存在一個(gè)正常數(shù)δ,使得對(duì)任意的x,y∈[r,R],且滿足|x-y|<δ,均有

        因此,對(duì)所有的x1,x2∈Ω且‖x1-x2‖<δ,有

        由不等式

        可得‖Tx1(t)-Tx2(t)‖<ε.所以算子T:Ω→Ω是連續(xù)的.

        綜上,算子T:Ω→Ω滿足了Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的所有假設(shè)條件.這里存在x∈Ω,使得T(x)=x,從而證明了積分方程(6)至少有一個(gè)邊界解x: [t0,∞)→,且滿足

        由定理1可得:

        推論1若方程(1)的非線性項(xiàng)滿足

        例1考慮如下奇異微分方程:

        (13)

        證明:通過(guò)計(jì)算易得

        由于

        于是,有

        通過(guò)計(jì)算可得方程(13)解的形式,即

        顯然,對(duì)于t≥t0,均有x(t)>φ0.另一方面,由于

        (責(zé)任編輯:李 琦,趙立芹)

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