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        高階強偽單調(diào)映射變分不等式解的性質(zhì)

        2019-11-28 11:38:56韓文艷余國林
        吉林大學學報(理學版) 2019年6期
        關(guān)鍵詞:定義模型

        韓文艷,余國林

        (北方民族大學 應(yīng)用數(shù)學研究所,銀川 750021)

        0 引 言

        令X為一實Hilbert空間,用〈·,·〉表示X中的內(nèi)積,〈·,·〉誘導出的范數(shù)記為‖·‖.假設(shè)C?X為一非空閉凸子集,Φ:C→X為一映射,考慮如下變分不等式問題:

        變分不等式問題VI(C,Φ)在力學、控制論、經(jīng)濟數(shù)學、對策論、微分方程和最優(yōu)化理論中應(yīng)用廣泛,解的存在性是研究變分不等式問題VI(C,Φ)的熱點之一.在討論變分不等式解的性質(zhì)時,通常需要映射Φ滿足一定的連續(xù)性和單調(diào)性假設(shè)[1-6].Kien等[2]在映射Φ滿足弱連續(xù)和偽單調(diào)的條件下,得到了問題VI(C,Φ)解存在的等價條件,但僅給出了解的存在性,未討論解的唯一性問題.本文通過對映射Φ引進一類高階單調(diào)性的概念,在這類高階單調(diào)性假設(shè)下,考慮問題VI(C,Φ)解的唯一性.

        在構(gòu)造數(shù)學模型解決實際問題的過程中,由于用觀察、實驗和測量等方法所獲得的數(shù)據(jù)不可能完全準確,因此所得的數(shù)學模型和實際問題的真實模型一般存在一定的差異,后者通常稱為精確模型,前者稱為近似模型.近似模型可視為由精確模型中的數(shù)據(jù)做微小變動而得到.當將一個具有精確模型變分不等式的數(shù)據(jù)做微小變動后,所得到的近似模型變分不等式不僅要有解,而且解也只有微小變化,因為只有這樣才能用近似模型代替精確模型,此即為變分不等式解的穩(wěn)定性理論[7-8].本文在映射的高階單調(diào)性假設(shè)下,研究變分不等式問題VI(C,Φ)解的穩(wěn)定性.

        1 高階強偽單調(diào)性及解的存在定理

        定義1令D為Hilbert空間X中一非空子集.

        1) 如果存在常數(shù)α>0,使得

        〈F(x)-F(y),x-y〉≥α‖x-y‖2, ?x,y∈D,x≠y,

        則映射F:D→X在D上稱為強單調(diào)的;

        2) 如果存在常數(shù)α>0,使得

        ?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥α‖x-y‖2,

        則映射F在D上稱為強偽單調(diào)的;

        3) 如果存在常數(shù)α>0,使得

        ?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥0,

        則映射F在D上稱為偽單調(diào)的.

        定義2令D為Hilbert空間X中一非空子集.如果存在常數(shù)α>0,使得

        ?x,y∈D,x≠y, 〈F(x),y-x〉≥0 ? 〈F(y),y-x〉≥α‖x-y‖m,

        則映射F:D→X在D上稱為m-階強偽單調(diào)的.此時,也稱F在D上關(guān)于常數(shù)α是m-階強偽單調(diào)的.

        注1顯然,如果F:D→X在D上是m-階強偽單調(diào)的,則F在D上是偽單調(diào)的;在定義2中取m=2,則F是D上強偽單調(diào)映射的.

        下面舉例說明高階強偽單調(diào)映射的存在性.

        例1令X=,D=[0,+∞),函數(shù)F:D→,定義為F(x)=x3.下面驗證F在D上關(guān)于常數(shù)α=1是4-階強偽單調(diào)的.事實上,假設(shè)〈F(y),x-y〉=y3(x-y)≥0,則有

        下面考慮變分不等式問題VI(C,Φ),用Sol(C,Φ)表示問題VI(C,Φ)在C上解的集合.文獻[2]在映射Φ為弱連續(xù)和偽單調(diào)假設(shè)下,給出了問題VI(C,Φ)解的存在性定理:

        (1)

        為一有界集,則問題VI(C,Φ)有解.

        定理1令X為Hilbert空間,C?X為一閉凸集.假設(shè)Φ:C→X在C上弱連續(xù)并且m-階強偽單調(diào),則問題VI(C,Φ)存在唯一解.

        由Cauchy-Schwrz不等式,可得

        所以有

        (2)

        式(2)表明

        (3)

        (4)

        2 高階強偽單調(diào)變分不等式解的穩(wěn)定性

        引理2[11]令C?n為一閉凸集,Φ:C→n在C上連續(xù).假設(shè)存在向量使得式(1)為一個有界集.如果U?n為任意開集,且滿足Sol(C,Φ)?U,則變分不等式問題在U上有解,其中n為一連續(xù)映射,且存在δ>0,使得

        定理2令C?n為一閉凸集,Φ:C→n在C上弱連續(xù)并且m-階強偽單調(diào).令為問題VI(C,Φ)的唯一解.則對任意的ε>0,變分不等式問題在上有解,其中n為一連續(xù)映射,且存在δ>0,使得

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        由Cauchy-Schwarz不等式并結(jié)合條件(6),可得

        (10)

        (11)

        3 高階強偽單調(diào)變分不等式的全局誤差界

        引理3[12]令C是Hilbert空間X中的一非空閉凸子集.對任意的x∈X,存在唯一的PC(x)∈C(PC(x)稱為x到C的投影),使得

        ‖x-PC(x)‖≤‖x-y‖, ?y∈C,

        并且

        〈x-PC(x),y-PC(x)〉≤0.

        反之,如果x′∈C,并且

        〈x-x′,y-x′〉≤0, ?y∈C,

        則有PC(x)=x′.

        定義3[1-3]令D為Hilbert空間X中的一非空子集.如果存在常數(shù)L>0,使得

        ‖F(xiàn)(x)-F(y)‖≤L‖x-y‖, ?x,y∈D,

        則映射F:D→X在D上稱為L-Lipschitz連續(xù)的.

        定理4令C是Hilbert空間X中的一非空閉凸子集.假設(shè)映射Φ:C→X在C上是L-Lipschitz連續(xù),并且關(guān)于常數(shù)α>0是m-階強偽單調(diào)的,則有

        (12)

        (13)

        這等價于

        (14)

        再結(jié)合式(14),可得

        再利用Cauchy-Schwarz不等式,可得

        因此有

        最后,由三角不等式可得

        證畢.

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