閆婕 魏苗苗 邢燕霞

(北京理工大學(xué)物理學(xué)院,先進(jìn)光電量子結(jié)構(gòu)設(shè)計與測量教育部重點(diǎn)實驗室,納米光子學(xué)與超精密光電系統(tǒng)北京市重點(diǎn)實驗室,北京 100081)

HgTe/CdTe量子阱是一種特殊的二維拓?fù)洳牧?其中的量子自旋霍爾效應(yīng)在自旋電子器件應(yīng)用方面極有潛力.“工”字形四端口體系縱向非局域電阻阻值為0.25h/e2的特殊的量子化平臺是判別量子自旋霍爾效應(yīng)的有力證據(jù).本文基于二維HgTe/CdTe量子阱模型,利用非平衡格林函數(shù)理論及Landauer-Büttiker公式計算非局域電阻,進(jìn)而研究自旋拓?fù)鋺B(tài)在非靜態(tài)雜質(zhì)作用下的退相干效應(yīng).計算同時考慮磁交換場和磁場的影響.研究發(fā)現(xiàn),盡管磁交換場和外磁場會破壞時間反演對稱性,但它們都僅改變拓?fù)鋷兜膶挾群拖鄬ξ恢?并不影響螺旋邊緣態(tài)的拓?fù)湫?而退相干雜質(zhì)對自旋拓?fù)溥吘墤B(tài)的影響則完全不同于鐵磁和弱磁場.退相干效應(yīng)不會影響拓?fù)鋷兜奈恢煤蛯挾?但是會影響拓?fù)溥吘墤B(tài)的穩(wěn)定性.其中,自旋不守恒的退相干雜質(zhì)對螺旋邊緣態(tài)的影響更為明顯,輕微的退相干效應(yīng)便會引起自旋翻轉(zhuǎn),從而引起自旋相反的背散射,最終破壞自旋霍爾邊緣態(tài).

1 引 言

拓?fù)浣^緣體是近些年被科研領(lǐng)域大量研究的量子材料,具有許多獨(dú)特的物理特性[1-5]，最先被發(fā)現(xiàn)的二維拓?fù)浣^緣體材料是HgTe/CdTe量子阱[6,7].HgTe/CdTe量子阱的拓?fù)淠芟对从?Γ 點(diǎn)的能帶反轉(zhuǎn),通過調(diào)節(jié)量子阱的寬度或調(diào)節(jié)外偏壓[7,8]可以實現(xiàn)此能帶反轉(zhuǎn).由于具有時間反演對稱性,帶隙內(nèi)存在兩套能量完全簡并且自旋和手性都相反的邊緣態(tài),稱之為螺旋邊緣態(tài).之后,科研人員又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了其他的二維拓?fù)浣^緣體材料[9,10].與此同時,三維拓?fù)浣^緣體材料的研究也取得了巨大進(jìn)展,Hsieh等[11]實驗證實了Bi1-xSbx合金材料在合適的組分比例下是三維拓?fù)浣^緣體,Bi2Se3家族[12]也被證明是很好的三維拓?fù)浣^緣體.三維拓?fù)浣^緣體的表面態(tài)有獨(dú)特的量子漲落平臺[13],適當(dāng)?shù)拇判該诫s不僅在三維拓?fù)浣^緣體表面態(tài)打開帶隙,而且可以加強(qiáng)帶隙內(nèi)的拓?fù)溥吘墤B(tài)的穩(wěn)定性[14,15].隨著大量的拓?fù)浣^緣體材料被發(fā)現(xiàn),對二維拓?fù)浣^緣體的邊緣態(tài)的研究也越來越受到大家的關(guān)注,這些研究包括邊緣態(tài)的穿透深度[16],特殊的環(huán)狀邊緣態(tài)[17]強(qiáng)磁性摻雜引起的反?；魻栃?yīng)[10,18],Rashba自旋軌道相互作用[19,20]、p-n結(jié)[21]、長程庫侖相互作用[22,23]、熱耗散[24]、電磁噪聲[25]和有限尺寸效應(yīng)[26-28]對邊緣態(tài)的影響,等等.基于螺旋邊緣態(tài),還可以設(shè)計一些獨(dú)特的自旋器件[29,30].

按照陳數(shù)分類,拓?fù)溥吘墤B(tài)可以大致分為C=0的受時間反演對稱性保護(hù)的螺旋邊緣態(tài)和C=0的破壞時間反演對稱性的手性邊緣態(tài),分別對應(yīng)量子自旋霍爾效應(yīng)和量子(反常)霍爾效應(yīng)[31,32].通常由強(qiáng)磁場引起的多帶隙手性邊緣態(tài)和量子反常霍爾效應(yīng)的邊緣態(tài)都屬于C=0的手性邊緣態(tài),這類物質(zhì)體系統(tǒng)稱為磁拓?fù)浣^緣體.量子自旋霍爾效應(yīng)中的螺旋邊緣態(tài)不同于強(qiáng)磁場引起的多帶隙手性邊緣態(tài),也不同于量子反?；魻栃?yīng)中的單帶隙邊緣態(tài).后兩者由于帶隙結(jié)構(gòu)不同,邊緣態(tài)的兩參數(shù)流圖的形態(tài)也不盡相同[33],但是由于手性確定,它們的非局域量子化平臺卻完全相同.非局域電信號通常被當(dāng)作各種霍爾效應(yīng)的指征[34-38].在多端口體系中,電壓測量端的導(dǎo)線會接收到來自所有其他端口的載流子,因此它自身的費(fèi)米能也由所有其他端口共同決定.對于量子霍爾體系,邊緣態(tài)手性固定,所有電壓測量端的非平衡載流子都只有一個來源,即源自電流輸入端口或輸出端口.實驗上通常用六端口或“十”字形四端口體系的橫向非局域電阻的量子化平臺來標(biāo)記手性邊緣態(tài),并由電阻平臺的精細(xì)程度來判定邊緣態(tài)質(zhì)量的好壞.螺旋邊緣態(tài)相當(dāng)于兩套手性相反的手性邊緣態(tài)的疊加,不同的手性對應(yīng)不同的自旋,但在實驗上無法對自旋標(biāo)記的態(tài)進(jìn)行精準(zhǔn)測量,故無法用傳統(tǒng)的六端口或“十”字形四端口體系來測定不同自旋對應(yīng)的量子化平臺.對于量子自旋霍爾體系,電壓測量端能且只能接收到來自相鄰兩側(cè)端口的非平衡載流子,由于邊緣態(tài)總手性為零,故從電流端入口沿樣品邊緣到電流端出口,無論沿順時針還是逆時針方向,測量端電壓都將線性降落[39].為了能夠簡單有效地表征螺旋邊緣態(tài),盡量讓所有的電壓測量端都位于電流端的同一側(cè).通過相關(guān)實驗[40]和理論[19]證明,如圖1所示的“工”字型四端口體系最為簡單有效.在“工”字型四端口體系中,同側(cè)縱向非局域電阻將呈現(xiàn)電阻值為0.25h/e2的特殊量子化平臺[40].

本文將基于二維HgTe/CdTe量子阱的“工”字型四端口緊束縛模型,利用非平衡格林函數(shù)理論及Landauer-Büttiker公式計算同側(cè)縱向非局域電阻,研究磁場和磁交換作用下非靜態(tài)雜質(zhì)引起的退相干效應(yīng)對非局域電阻的影響.研究發(fā)現(xiàn),鐵磁和弱磁場直接影響能帶結(jié)構(gòu),改變帶邊位置,從而改變體能隙的寬度,但不影響帶隙內(nèi)手性相反的自旋霍爾邊緣態(tài)的拓?fù)湫?二者對帶隙內(nèi)螺旋拓?fù)溥吘墤B(tài)的影響沒有本質(zhì)的差別,僅在能隙范圍的變化規(guī)律上略有不同.而退相干雜質(zhì)對自旋拓?fù)溥吘墤B(tài)的影響則完全不同.考慮兩種退相干效應(yīng),一種是自旋守恒的退相干,另一種是自旋不守恒的退相干.退相干效應(yīng)不會影響拓?fù)鋷兜奈恢煤蛯挾?但是有可能影響拓?fù)溥吘墤B(tài)的穩(wěn)定性,取決于退相干的具體情況.假如退相干雜質(zhì)僅破壞電子軌道的量子相干性,而不破壞自旋的相干性,可稱之為普通退相干.常見的電子電子相互作用,電聲子相互作用都屬于普通退相干.通常自旋相干長度遠(yuǎn)大于軌道相干長度,因此這樣的退相干雜質(zhì)很常見.這類雜質(zhì)不破壞時間反演對稱性,故不影響螺旋邊緣態(tài)的整體穩(wěn)定性.換言之,量子自旋霍爾體系可抵御高強(qiáng)度的軌道退相干效應(yīng),這正是拓?fù)溥吘墤B(tài)的優(yōu)勢所在.如果退相干雜質(zhì)不僅破壞軌道相干還破壞自旋相干性,可稱之為自旋翻轉(zhuǎn)的自旋退相干,它會破壞時間反演對稱性,這類退相干通常源于非彈性磁雜質(zhì).自旋退相干作用下,螺旋邊緣態(tài)將產(chǎn)生大量自旋翻轉(zhuǎn)的背散射,因此,即便是微弱的退相干都將破壞體系的拓?fù)浞€(wěn)定性.除非在足夠強(qiáng)磁場作用下,螺旋邊緣態(tài)的帶隙隨磁場增強(qiáng)逐漸關(guān)閉,原先的體態(tài)進(jìn)化成高度簡并的朗道能級,體系演變成為磁性拓?fù)浣^緣體.此時,所有局域的邊緣態(tài)的縱向非局域電阻平臺值全都變?yōu)榱?對應(yīng)理想的手性邊緣態(tài),可以抵御各種類型的退相干效應(yīng).

圖1 (a) 四端口 HgTe/CdTe 量子阱模型,其中 1、4 端口為電流輸入端口,2、3端口為電壓測量端口.圖中藍(lán)色和綠色區(qū)域分別由兩個獨(dú)立的門電壓控制,通過調(diào)節(jié)門電壓,兩個區(qū)域可分別獨(dú)立地在圖(b)中所示的三個區(qū)間自由切換； (b) HgTe/CdTe 量子阱二維系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu),包含簡并的螺旋邊緣態(tài)和明顯不對稱的價帶和導(dǎo)帶.體帶隙分割出三個區(qū)域: 量子自旋霍爾區(qū)(QSH),n型自旋霍爾區(qū)(n-SH)和p型自旋霍爾區(qū)(n-SH)Fig.1.(a) Four-terminal device based on HgTe/CdTe quantum well with two current terminals 1,4 and two voltage terminals 2,3;the blue region and green region can be independently tuned into the three region shown in panel (b);(b) band structure of 2 D HgTe/CdTe quantum well.Bulk energy gap divides three region: QSH region,n-SH region and p-SH region.

本文安排如下: 第2節(jié)先從最簡單的二帶模型出發(fā)寫出實空間緊束縛模型哈密頓,再詳細(xì)闡述退相干原理及計算方法,最后再用非平衡格林函數(shù)方法推導(dǎo)退相干作用下的非局域電阻表達(dá)式.第3節(jié)是數(shù)值結(jié)果及對結(jié)果的分析和討論,第4節(jié)為總結(jié).

2 模型和理論

2.1 非平衡體系的緊束縛模型

針對二維HgTe/CdTe量子阱,只考慮最低的電子和空穴帶,忽略次低的電子和空穴帶[41],考慮自旋,采用最簡單的二帶模型,動量空間體系哈密頓表示為

考慮時間反演對稱性[42,43],其中

公式中 ? 是普朗克常數(shù),vF是狄拉克電子的費(fèi)米速度,σx,y,z和σ0是 泡利矩陣和 2 ×2 的單位矩陣,代表由s和p軌道貢獻(xiàn)的贗自旋.為了計算非局域電阻,考慮如圖1所示的“工”字型四端口模型,4個導(dǎo)線端口分別沿 ± x 方向無限延伸.在體系的不同區(qū)域(黃色和藍(lán)色)設(shè)置不同的在位能.為此必須把動量空間哈密頓轉(zhuǎn)換到實空間.采用有限差分近似,用 - i? 代替k,將動量空間的哈密頓轉(zhuǎn)化為實空間緊束縛哈密頓,并考慮磁場的軌道效應(yīng)和鐵磁項,將哈密頓寫作

其中 sz和σz分別代表真實的自旋和軌道空間的贗自旋.εi=E1(E2) 代表格點(diǎn)在位能,M 為鐵磁交換劈裂項[44].表示格點(diǎn)上不同軌道不同自旋的湮滅算符.i=(ix,iy) 表示格點(diǎn)的離散位置坐標(biāo),ax=(a,0),ay=(0,a) 代表格點(diǎn)的單位矢量,m代表反帶隙的有效質(zhì)量,C和D是材料參數(shù).所有參數(shù)設(shè)置如下[6]:?vF=364.5 meV·nm,C=—686 meV·nm2,D=—512 meV·nm2,m=—10 meV,a=5 nm.Hi,i+ax,Hi,i+ay代表緊束縛模型沿x和y方向的最近鄰耦合項.

考慮到導(dǎo)線沿 ± x 方向無限延伸,采用x方向周期平移不變的緊束縛哈密頓最為方便.選取洛倫茲規(guī)范,外磁場 B 的磁矢勢表示為 A=[-By,0,0],引起的磁通相位這里的φ0=?/e是磁通量子.這個磁通相位只出現(xiàn)在沿x方向相鄰周期的耦合項上.

2.2 退相干作用下的非局域電阻

本小節(jié)計算退相干作用下四端口模型的縱向非局域電阻.模型示意圖見圖1(a).圖中有顏色的部分定義為散射區(qū),通過4個導(dǎo)線端連接到外部的費(fèi)米海.四個端口中,1、4 端為電流輸入端口,有固定的電壓,設(shè) V1=V,V4=0;2、3 端為電壓測量端,側(cè)向電壓通過邊界條件 J2,3=0 求解.四個端口的導(dǎo)線寬度、中間的連接橋?qū)挾群烷L度以及“工”字型四個臂的長度都設(shè)置為 W1=W2=L1=L2=250 nm,散射區(qū)整體長寬分別為 L=750 nm和W=750 nm.應(yīng)用分離柵極門電壓調(diào)節(jié)可以分別控制局部區(qū)域的在位能,故分別設(shè)藍(lán)色和綠色區(qū)域在位能為 E1和E2,E1和E2獨(dú)立可調(diào),可使相關(guān)區(qū)域分別位于如圖1(b)所示的導(dǎo)帶、價帶或帶隙中.為了研究體系的退相干效應(yīng),我們在散射區(qū)(顏色區(qū))引入退相干虛導(dǎo)線[45-49].這里的虛導(dǎo)線區(qū)別于電流輸入端和電壓測量端的實導(dǎo)線,虛導(dǎo)線的唯一作用就是用來破壞相位,故可以設(shè)置最簡單的虛導(dǎo)線自能在虛導(dǎo)線所在位置引入局域帶展寬函數(shù) Γd,Γd的大小直接反映退相干的強(qiáng)弱.電子從實導(dǎo)線注入散射區(qū)經(jīng)虛導(dǎo)線丟失量子相位后再返回散射區(qū),整個過程不產(chǎn)生凈電流.對于通常的體態(tài),退相干可以發(fā)生在散射區(qū)的所有位置,但對于邊緣態(tài),只有發(fā)生在邊緣態(tài)途徑的邊界位置的退相干才影響邊緣態(tài)輸運(yùn).為簡化計算,只在如圖1所示的深灰色邊界的格點(diǎn)位置引入退相干虛導(dǎo)線,由于不產(chǎn)生凈電流,虛導(dǎo)線的邊條件亦可設(shè)為 Jv=0.

利用多端口Landauer-Büttiker公式[50]

可計算非局域縱向電阻.這里的 p ,q 代表所有端口(包括實導(dǎo)線 1,2,3,4 和虛導(dǎo)線 v).這是一個線性方程組,共 n+4 個方程,其中n是虛導(dǎo)線的個數(shù).但方程系數(shù) Tpq并不獨(dú)立,必須滿足限制條件相當(dāng)于有 n+3 個獨(dú)立方程.這正是流守恒的直接后果,直接導(dǎo)致電流端 J1=-J2.根據(jù)需要,現(xiàn)在只需求解 J1=-J2和V3,4,i=1,...n,共n+3 個 未知數(shù).一旦算出透射系數(shù) Tpq,根據(jù)邊界條件 V1=V,V2=0,J3,4,i=0,即可解出此n+3個未知數(shù).并據(jù)此計算縱向非局域電阻R23,14≡(V2-V3)/J1.

利用非平衡格林函數(shù)理論可以計算從q端口到p端口的透射系數(shù) Tpq.透射系數(shù)方程為

其中 Tr表示求跡,需同時對實空間及對態(tài)函數(shù)表示的軌道空間和自旋空間求跡.Gr是實空間的推遲格林函數(shù),Γq和Γp分別表示入射源和出射源.根據(jù)非平衡格林函數(shù)理論,推遲格林函數(shù)=其中,Hc是孤立的不連接導(dǎo)線的中心散射區(qū)的哈密頓量是非平衡推遲自能是相應(yīng)的帶展寬函數(shù).實導(dǎo)線和虛導(dǎo)線都有對應(yīng)的自能和帶展寬函數(shù).實導(dǎo)線自能描述開放體系半無窮導(dǎo)線對散射區(qū)的作用,表示為其中,Hcq表示散射區(qū)到導(dǎo)線區(qū)的最近鄰耦合是半無窮導(dǎo)線的表面格林函數(shù).虛導(dǎo)線的自能僅源于能級展寬,對應(yīng)的帶展寬函數(shù)為 Γd.

3 計算結(jié)果分析

首先研究入射端和測量端位于不同能帶位置的非局域電阻響應(yīng)情況.由于量子自旋霍爾體系的邊緣態(tài)通常都是一對互為時間反演對稱的手性邊緣態(tài),又稱螺旋邊緣態(tài),測量端的費(fèi)米能由兩個電流入射端(分別對應(yīng)高壓和低壓)共同決定.這完全不同于量子霍爾效應(yīng)中破壞時間反演對稱的手性邊緣態(tài).在量子霍爾效應(yīng)中,由于邊緣態(tài)手性固定,電壓探測端的費(fèi)米能由且僅由單個電流入射端決定.以典型的六端口體系為例,如圖2(a)所示,左右兩端為電流注入端,上下兩側(cè)共4個端口為電壓測量端,以量子霍爾效應(yīng)的順時針手性邊緣態(tài)為例,上側(cè)2、3兩個電壓測量端只能接收來自左側(cè)1端口的非平衡載流子,故2、3端口的有效費(fèi)米面完全由1端口決定.同理可知,5、6兩個端口的有效費(fèi)米面完全由4端口決定.可以推測,沿霍爾橋同一側(cè)的所有測量端共享同一個測量壓,沿霍爾橋兩側(cè)的測量端將有且僅有兩個測量壓,電壓值分別由電流輸入端和輸出端的電壓決定,這直接導(dǎo)致同側(cè)縱向電阻為零而異側(cè)橫向電阻取值量子化.而對于互為時間反演的螺旋邊緣態(tài)(如圖2(b)),每個電壓測量端都能且只能收到分別由來自于兩個不同的相鄰端口的相反手性的邊緣態(tài)貢獻(xiàn)的載流子,這些非平衡的載流子全部來自于兩個電流注入端,故離得越近的電流注入端對有效費(fèi)米面的形成貢獻(xiàn)越大.由于電壓測量和自旋無關(guān),總手性為零,故霍爾橋兩側(cè)的測量端電壓完全對等,均沿霍爾橋從1端口到4端口的路徑線性降落.可以據(jù)此推斷,量子自旋霍爾效應(yīng)體系只有縱向非局域電阻,橫向非局域電阻為零.

為便于測量,本文取最簡單的“工”字型四端口,如圖2(c)所示,1,4 端口為電流入射端,測量端2,3端口位于入射端的同一側(cè),單側(cè)縱向非局域電阻阻值為 0 . 25h/e2.實際計算中,入射端在位能設(shè)為 E1,測量端在位能 E2=0,位于能隙之中.圖3(a1)和圖3(b1)給出了縱向非局域電阻R23,14和透射系數(shù) T14和T4 1隨 E1的變化.左右兩欄分別對應(yīng)磁交換場 M=0 和 5 meV 的情形.為便于分析,圖3(a2)和圖3(b2)還給出了相應(yīng)的無窮長周期條帶的能帶圖,其中 藍(lán)色和紅色分別對應(yīng)自旋上和自旋下的電子能帶.可以看出,對于左欄 M=0 情形,由于時間反演對稱保持,自旋上下無差別,T14=T41.此時,體系的拓?fù)淠芟锻耆煞崔D(zhuǎn)能帶的有效質(zhì)量 m 決定.計算中已設(shè) m=-10meV,故體帶隙 Δ ∈[-10,10]meV,正好對應(yīng)圖3(a)中量子化平臺的區(qū)間,在此區(qū)間,由螺旋邊緣態(tài)貢獻(xiàn)的T14=T41=1.對于右欄 M =0 的情形,時間反演對稱破缺,自旋上下能級向相反的方向平移,能級不再簡并,T14=T41.由于自旋上的導(dǎo)帶底和自旋下的價帶頂均向狄拉克點(diǎn)平移M,故體帶隙整體變窄,量子化的平臺區(qū)間也相應(yīng)變窄.在能隙內(nèi)部,由于兩個螺旋邊緣態(tài)的手性依然保持,故T14=T41=1 依然成立.在帶隙之外的價帶區(qū),邊緣態(tài)和體態(tài)在動量空間彼此遠(yuǎn)離無混雜,故盡管沒有時間反演對稱但T14=T41依然保持,在價帶帶邊附近,邊緣態(tài)遠(yuǎn)離體態(tài),且子帶較為稀疏,甚至可以看到子帶的量子化臺階.在導(dǎo)帶帶邊附近,邊緣態(tài)和體態(tài)在動量空間彼此混雜,T14=T41,子帶的量子化臺階也被破壞.另外需要注意的是,在體帶隙區(qū)域,無論是 M=0 的時間反演對稱體系,還是M=0的時間反演對稱破缺體系,量子化臺階都有一個明顯的很尖銳的谷,這完全是由能帶交叉引起的計算發(fā)散帶來的計算問題,并不是體系本身的特性.

圖2 手性邊緣態(tài)和螺旋邊緣態(tài)在多端口體系中的電壓降示意圖Fig.2.Sketch map of voltage drop induced by chiral edge states and helical edge states in multi-terminal system.

圖3 縱向非局域電阻 R 23,14和 部分透射系數(shù) T1 4和T4 1 隨電流輸入?yún)^(qū)(圖1綠色區(qū))在位能 E1 的變化.左右兩欄分別對應(yīng)鐵磁交換場 M=0 和M=5meV 的 情況,探測區(qū)(圖1藍(lán)色區(qū))在位能 E2=0.為便于比較,頂欄給出了相應(yīng)能量區(qū)間的能帶圖.能帶圖中,藍(lán)色和紅色分別表示自旋上和自旋下的能帶Fig.3.Nonlocal resistors R 23,14 and transmission coefficient T1 4 and T4 1 vs energy E 1 with energy of detector region E2=0.left and right panels are for M=0 and M=5meV,respectively.Top panels are band structure of infinite ribbon,the blue lines and red lines correspond to spin up and spin down,respectively.

接下來研究退相干效應(yīng)對螺旋邊緣態(tài)的影響.退相干效應(yīng)是實驗測量中不可忽視的一個常見因素,實驗上通過各種特征長度和特征時間來估算退相干強(qiáng)度.理論上是通過引入虛導(dǎo)線唯象模擬退相干過程,這里的虛導(dǎo)線不產(chǎn)生凈電流,只起到破壞相位的作用.電子一旦流經(jīng)虛導(dǎo)線便會丟失相位,流經(jīng)虛導(dǎo)線的電子越多,退相干效應(yīng)就越強(qiáng).電子流入虛導(dǎo)線的概率取決于虛導(dǎo)線和散射區(qū)的耦合強(qiáng)度 Γd,故虛導(dǎo)線和體系的耦合強(qiáng)度直接決定了退相干的強(qiáng)度.下文用耦合強(qiáng)度 Γd來定義退相干的強(qiáng)度,但 Γd的絕對大小并無實際物理意義.實驗上退相干源于各種非彈性散射,材料不同散射類型不同,退相干的評估標(biāo)準(zhǔn)也大不相同.即便在真實測量中,也無法給定一個統(tǒng)一的定量測量標(biāo)準(zhǔn).為了對退相干的強(qiáng)度有一個直觀的了解,還需要針對固定的體系,定義一個臨界值 Γdc.考慮到總電流可以分為退相干部分和相干部分,退相干強(qiáng)度越大,相干部分越少,我們定義這樣一個臨界值 Γdc,它表示當(dāng)總電流有一半流經(jīng)虛導(dǎo)線時對應(yīng)的耦合強(qiáng)度Γd.以 Γdc為 單位,Γd相 對于 Γdc的相對大小便可以直觀地表征退相干的強(qiáng)度.對于不同的材料,Γdc差別很大,退相干標(biāo)尺將因材料而異,因雜質(zhì)類型而異.

考慮到電子有兩種屬性,軌道和自旋,相應(yīng)地,我們也考慮兩種退相干.一種是只破壞軌道位相但是保持自旋位相的退相干,稱之為普通退相干.通常情況,自旋退相干長度要遠(yuǎn)大于軌道退相干長度,所以自旋守恒的退相干效應(yīng)是完全可能存在的.另一種是自旋不守恒的退相干,它既破壞軌道位相也破壞自旋位相,稱之為自旋退相干.對于量子自旋霍爾體系,邊緣態(tài)起主要作用,這也是本文研究的重點(diǎn).為了降低計算量,只在散射區(qū)的邊界(圖1(a)的深灰色區(qū)域)考慮唯象的虛導(dǎo)線作用,這對只關(guān)心邊緣態(tài)的體系來說是完全可行的.圖4(a)給出了邊界退相干作用下普通退相干和自旋退相干的臨界強(qiáng)度 Γdc隨費(fèi)米能的變化關(guān)系.可以看出,第一,對于自旋守恒體系,相比于允許自旋翻轉(zhuǎn)的虛導(dǎo)線,固定自旋的虛導(dǎo)線對體系電子的進(jìn)出更為有利,退相干更劇烈.這直接導(dǎo)致普通退相干臨界強(qiáng)度 Γdc整體小于自旋退相干.第二,帶隙之內(nèi) Γdc遠(yuǎn)小于帶隙之外.這是因為體態(tài)輸運(yùn)的退相干過程發(fā)生在整個散射區(qū),相應(yīng)地,虛導(dǎo)線理應(yīng)加在整個散射區(qū),但我們只考慮了散射邊界的退相干作用,而忽略了體態(tài)輸運(yùn)在體內(nèi)的退相干效應(yīng),要想達(dá)到同樣的退相干程度,退相干的臨界強(qiáng)度勢必大大提高.第三,帶隙之內(nèi),沿價帶空穴端到導(dǎo)帶電子端 (費(fèi)米能從—10 到 10 meV),臨界值 Γdc逐漸升高,表明退相干對空穴端的影響更大.

圖4(b)和圖4(c)分別描述在普通退相干和自旋退相干作用下,縱向非局域電阻 R23,14隨費(fèi)米能的變化,不同曲線對應(yīng)不同的退相干強(qiáng)度 Γd.圖4(b)和圖4(c)中 Γd取值相同,三條曲線分別對應(yīng)Γd=0,0 .5 和 1 . 0meV.根據(jù)圖4(a),普通退相干和自旋退相干在帶隙內(nèi)的臨界強(qiáng)度分別約為 0 . 38 和0.66meV.故圖4(b)中三條曲線對應(yīng)的相對退相干強(qiáng)度分別為 Γd/Γdc=0,1 . 32 和 2 . 63,圖4(c) 中三條曲線對應(yīng)的 Γd/Γdc分 別為 0,0 . 76 和 1 . 41.同樣的 Γd,價帶和導(dǎo)帶區(qū)退相干相對強(qiáng)度比帶隙區(qū)要小很多,對價帶和導(dǎo)帶區(qū)的影響也極為有限,對比圖4(b)和圖4(c),兩種退相干對體態(tài)輸運(yùn)的影響也幾乎沒有差別.下面重點(diǎn)關(guān)注在E1∈[-10,10]meV的帶隙內(nèi)的邊緣態(tài)輸運(yùn).相比自旋退相干,盡管普通退相干相對強(qiáng)度整體偏高,但是由于自旋相干性得以保持,時間反演對稱仍然能夠保護(hù)螺旋邊緣態(tài)的拓?fù)浞€(wěn)定性,故縱向非局域電阻的量子平臺幾乎不受影響.與此相反,自旋退相干破壞自旋相干性,破壞時間反演對稱性,引起不同自旋的邊緣態(tài)之間的背散射,從而破壞量子自旋霍爾效應(yīng),使得量子平臺明顯偏離 0 . 25h/e2的標(biāo)準(zhǔn)值.退相干強(qiáng)度越大,偏離標(biāo)準(zhǔn)值越多,量子自旋霍爾效應(yīng)被破壞的程度越嚴(yán)重.此外,由于電子空穴不對稱,空穴區(qū)邊緣態(tài)遠(yuǎn)遠(yuǎn)游離于體態(tài)之外,理論上講,這種邊緣態(tài)的局域性更好,抵御退相干的能力也越強(qiáng),但圖4(c)的結(jié)果卻正好相反.圖4(c)結(jié)果顯示自旋退相干對空穴區(qū)高質(zhì)量的邊緣態(tài)的影響反而更大.下面將解釋這種反直覺的表象背后的真正物理.因為在計算過程中為了降低計算量只在散射區(qū)邊界考慮退相干效應(yīng),而邊緣態(tài)會有一定程度的展寬,并不局限于嚴(yán)格的邊界區(qū).因此邊緣態(tài)局域性越好,被退相干的概率反而越大,退相干的影響也就越大.圖4(c)的結(jié)果正好從另一個側(cè)面說明空穴區(qū)的邊緣態(tài)更加穩(wěn)定.

圖4 (a) 不同退相干條件下 Γd c 隨費(fèi)米能的變化;(b)和 (c): 在普通退相干 (圖 (b))和自旋退相干 (圖 (c))作用下,縱向非局域電阻 R 23,14 隨 入射端能量 E 1 的變化,不同曲線對應(yīng)不同的退相干強(qiáng)度.圖(b)和圖(c)共享圖例Fig.4.Panel (a) Γd c vs energy E 1.Panel (b) and (c): longitudinal non-local resistance R 23,14 vs energy E 1 with different Γd for normal dephasing [panel (b)]and spin dephasing [panel (c)].

圖5 磁場從弱到強(qiáng)作用下無窮長條帶在零磁交換場(上欄)和非零磁交換場(下欄)條件下的能帶演化Fig.5.Band structures of infinite ribbon with various magnetic field B for exchange field M=0 (top panels) and 5 meV (bottom panels).Red lines denotes the chiral edge states.The red lines and blue lines are correspond to the states of spin up and spin down.

接下來,考慮外磁場和磁交換作用對自旋邊緣態(tài)的影響.為了更直觀地理解外磁場和磁交換作用對體系輸運(yùn)性質(zhì)的影響,首先研究體系能帶隨磁場的演化過程.圖5給出了磁場從弱到強(qiáng)作用下無窮長條帶在零磁交換場(上欄)和非零磁交換場(下欄)條件下的能帶演化.可以看出,由于外磁場破壞時間反演對稱性,不管磁交換場是否為零,自旋向上和自旋向下的電子能級都不再簡并.眾所周知,強(qiáng)磁場引起體能級高度簡并,簡并的能級就是我們熟知的朗道能級,相鄰朗道能級之間的體帶隙中存在拓?fù)溥吘墤B(tài).這種邊緣態(tài)手性固定,手性正負(fù)完全取決于外磁場的方向和載流子的電屬性,和載流子的自旋無關(guān).而本文所考慮的量子自旋霍爾效應(yīng),如果確定自旋朝向,也存在體帶隙和手性確定的拓?fù)溥吘墤B(tài).和量子霍爾效應(yīng)不同的是,量子自旋霍爾效應(yīng)的邊緣態(tài)的手性取決于載流子的自旋屬性,和載流子的電屬性無關(guān).綜合考慮電屬性和自旋屬性,可以得到四種載流子,e↑,h↑,e↓,h↓,分別定義為自旋向上的電子和空穴以及自旋向下的電子和空穴.零磁場下,量子自旋霍爾體系拓?fù)湫栽从谀軒ЫY(jié)構(gòu),用“E”標(biāo)記,4種載流子陳數(shù)分別表示為Ce↑,E=Ch↑,E=1,Ce↓,E=Ch↓,E=—1.強(qiáng)磁場下,量子霍爾效應(yīng)拓?fù)湫栽从诖艌?用“B”標(biāo)記,4種載流子陳數(shù)分別表示為Ch↑,B=Ch↓,B=1,Ce↑,B=Ce↓,B=-1.可以發(fā)現(xiàn),Ch↑,E=Ch↑,B=1,Ce↓,E=Ce↓,B=-1.這意味著,在強(qiáng)磁場作用下,體系從螺旋邊緣態(tài)逐漸轉(zhuǎn)變到手性邊緣態(tài)的過程中,自旋向上的空穴和自旋向下的電子始終保持同一種手性.因此,這兩種載流子的帶邊直接決定了體系的帶隙大小.

首先考慮磁交換場為零的情況.如圖5(a)所示,隨著外磁場逐漸增大,自旋向上和自旋向下的載流子分別形成高度簡并的朗道能級,但是最接近狄拉克點(diǎn)的兩個朗道能級始終由自旋向下的電子和自旋向上的空穴貢獻(xiàn),由此形成的帶隙區(qū)別于其他所有帶隙,定義為第零帶隙.第零帶隙中的邊緣態(tài)自旋相反,手性也相反,屬于量子自旋霍爾效應(yīng)區(qū).磁場不斷增大,第零帶隙及相應(yīng)的量子自旋霍爾效應(yīng)區(qū)逐漸減小,直到最后消失.磁場繼續(xù)增大,體系拓?fù)潢悢?shù)發(fā)生突變,帶隙重新打開,形成絕緣帶隙(圖5(a5)),帶隙內(nèi)無邊緣態(tài),總電導(dǎo)為零.圖6頂欄給出帶隙減小、閉合、再打開的簡單示意圖.值得注意的是,由于自旋向下的邊緣態(tài)在動量空間遠(yuǎn)離體態(tài),因此,即便在強(qiáng)磁場作用下,與此邊緣態(tài)相聯(lián)系的體態(tài)帶邊在帶隙減小、閉合、再打開的整個過程中基本保持不變(圖5(a1)—圖5(a5)).

圖6 零磁交換場和非零磁交換場能帶隨外磁場的演化趨勢示意圖Fig.6.Schematic diagram of the developing tendency of band structure in the presence of magnetic field for the zero exchange field (top panels) and nonzero exchange field (bottom panels).

在此基礎(chǔ)上,接著考慮磁交換作用的影響(圖5(b)欄).不考慮Rashba自旋軌道耦合,自旋向上和自旋向下的載流子無耦合,磁交換的作用僅限于讓不同自旋的能帶向相反的方向平移.如圖5(b1)所示,在磁場較小的情況下,朗道能級簡并度和帶隙都比較低,可看作準(zhǔn)連續(xù)能帶.零交換場下,第零帶隙的帶邊由自旋向下的電子(紅色導(dǎo)帶)和自旋向上的空穴(藍(lán)色價帶)貢獻(xiàn),在磁交換場作用下,這兩個帶邊均向遠(yuǎn)離狄拉克點(diǎn)的方向平移.與此相反,零交換場下埋在體能帶內(nèi)的由自旋向下的空穴(紅色價帶)和自旋向上的電子(藍(lán)色導(dǎo)帶)的帶邊在磁交換場作用下向帶隙內(nèi)平移,形成新的拓?fù)鋷н?直接導(dǎo)致拓?fù)鋷蹲冋?和零交換場圖5(a1)比較).隨著磁場不斷增大,價帶和導(dǎo)帶的體態(tài)高度簡并,朗道帶隙增大,如圖5(b2)所示,一旦第一朗道帶隙超過磁交換場(Δ±1≥M ),拓?fù)鋷秾⒅匦掠勺孕蛳碌碾娮雍妥孕蛏系目昭?gòu)成的反帶帶邊界定.這兩個帶邊在磁交換作用下,均向遠(yuǎn)離帶隙的方向平移,導(dǎo)致拓?fù)鋷蹲兇?通過比較圖5(a3)和圖5(b3)可以清楚地看到這一點(diǎn).也正因為如此,在非零交換場作用下,帶隙閉合需要更大的外磁場.圖6底欄給出非零交換場作用下,帶隙隨磁場的演化情況,虛線表示圖5尚未畫出的更強(qiáng)的磁場作用的情況.同樣,由于自旋向下的邊緣態(tài)在動量空間遠(yuǎn)離體態(tài),與此邊緣態(tài)相聯(lián)系的體態(tài)帶邊在帶隙閉合再打開的整個過程中基本保持不變 (圖5(b1)—圖5(b5)).

圖7和圖8分別給出了普通退相干和自旋退相干作用下,縱向非局域電阻 R23,14隨入射端能量E1的變化.其中,左右兩欄分別表示零交換場和非零交換場的曲線,(a)欄和(b)欄分別對應(yīng)磁場B=0.64T 和B=3.2T 的情況,(a)欄中的灰色區(qū)域標(biāo)記零磁場下的拓?fù)鋷秾挾?對比灰色區(qū)域及(a),(b)兩欄可以看出,零交換場條件下,第零拓?fù)鋷峨S磁場增加不斷減小,直至完全關(guān)閉;而非零交換場情況下,第零帶隙先增大再減小直至完全關(guān)閉,這和圖5和圖6的能帶分析是一致的.事實上,通過比較圖7和圖8的左右兩欄可以發(fā)現(xiàn),交換場只能調(diào)節(jié)各個區(qū)間的相對分布,對邊緣態(tài)的性質(zhì)并無實質(zhì)影響.而磁場則會引起邊緣態(tài)的轉(zhuǎn)變,比如,從螺旋邊緣態(tài)轉(zhuǎn)變成手性邊緣態(tài),非局域電阻阻值的變化可以清楚地反應(yīng)這種轉(zhuǎn)變.如前所述,在強(qiáng)磁場作用下,第零帶隙關(guān)閉之前,帶隙內(nèi)只有螺旋邊緣態(tài),對應(yīng)非局域縱向電阻 R23,14=0.25 h/e2.導(dǎo)帶的第一帶隙內(nèi)只有手性邊緣態(tài),相應(yīng)的非局域縱向電阻 R23,14=0.價帶的朗道能級還未形成,非局域電阻 R23,14不固定,既非零也非量子化阻值.

圖7 普通退相干和磁場作用下,縱向非局域電阻 R 23,14 隨 入射端能量 E1 的變化.左欄: 零磁交換場;右欄: 非零磁交換場.上下兩欄共享圖例Fig.7.R 23,14 vs energy E 1 for different normal dephasing strength Γd with (right panels) or without (left panels) exchange field.The gray region signs the energy gap in zero magnetic field.

圖8 自旋退相干作用下的縱向非局域電阻,其余參數(shù)設(shè)置同圖7Fig.8.R 23,14 vs energy E1,the dephasing precesses are spin non-conserved.The other parameters are the same as Fig.7.

下面分析退相干對磁場和磁交換作用下的拓?fù)鋺B(tài)的影響.首先通過比較圖7和圖8觀察兩種退相干的區(qū)別.考慮三種情況三個區(qū)間: 第一,量子自旋霍爾區(qū)間;第二,量子霍爾區(qū)間;第三,非拓?fù)鋮^(qū)間.可以看出,對于量子霍爾區(qū)間(價帶和導(dǎo)帶的朗道能級帶隙區(qū)),在兩種不同退相干作用下,縱向非局域電阻 R23,14始終為零,幾乎不受退相干作用的影響.對于量子自旋霍爾區(qū)間和非拓?fù)鋮^(qū)間,兩種退相干作用則完全不同,相同退相干強(qiáng)度下,普通退相干作用對量子霍爾區(qū)間和非拓?fù)鋮^(qū)間的非局域電阻幾乎沒有影響,而自旋退相干卻對這兩個區(qū)間的非局域電阻造成極大影響.

重點(diǎn)分析量子自旋霍爾區(qū)間和非拓?fù)鋮^(qū)間.在量子自旋霍爾區(qū)間,自旋退相干破壞螺旋邊緣態(tài),導(dǎo)致量子化的非局域電阻平臺大大偏離正常值.如圖8(a1)和8(a2)所示,弱磁場下電子空穴極度不對稱,自旋退相干對空穴區(qū)影響更大(理由同圖4(c)).一旦磁場增強(qiáng)形成朗道簡并能級,退相干對電子區(qū)和空穴區(qū)的影響基本無差別(圖8(b1)和8(b2)).這個結(jié)論對零交換場和非零交換場均適用.在非拓?fù)鋮^(qū)間,非局域電阻阻值無法量子化,具體阻值和能帶結(jié)構(gòu)中體態(tài)的群速度有關(guān),不固定.通過比較圖7和圖8可以看出,弱磁場破壞時間反演對稱性,導(dǎo)致自旋相反的帶間散射越來越普遍,因此自旋退相干對體系輸運(yùn)性質(zhì)的影響更大.當(dāng)磁場足夠強(qiáng),價帶和導(dǎo)帶形成軌道高度簡并但是自旋非簡并的朗道能級.此時,除了第零帶隙的量子自旋霍爾區(qū),其他區(qū)域非局域電阻都變?yōu)榱?如圖7(b2)和圖8(b2)所示,所有的退相干作用對這些區(qū)域的輸運(yùn)性質(zhì)幾乎無影響.

4 結(jié) 論

本文主要采用“工”字型四端口模型,研究外磁場和鐵磁交換場作用下,螺旋邊緣態(tài)的退相干效應(yīng).研究發(fā)現(xiàn),如果退相干不破壞自旋相干性,螺旋邊緣態(tài)基本不受影響,0 . 25h/e2的量子平臺始終保持.但是一旦涉及自旋退相干過程,非局域電阻將迅速偏離量子平臺值,即便是微弱的退相干也將破壞螺旋邊緣態(tài),且由于電子空穴不對稱,接近價帶帶邊的邊緣態(tài)總體更加穩(wěn)定.這表明,自旋退相干極易破壞螺旋邊緣態(tài)的拓?fù)浞€(wěn)定性.進(jìn)一步考慮弱磁場和交換場發(fā)現(xiàn),它們僅能改變量子平臺寬度,平臺的高度及平整度并不受影響.說明弱磁場和磁交換場僅改變帶隙寬度,并不影響螺旋邊緣態(tài)的穩(wěn)定性.在較強(qiáng)磁場作用下,靠近導(dǎo)帶帶邊和價帶帶邊的體態(tài)相繼進(jìn)入量子霍爾區(qū).隨著磁場不斷增強(qiáng),容納螺旋邊緣態(tài)的體帶隙逐漸關(guān)閉,朗道能級逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位,所有朗道帶隙內(nèi)的縱向電阻全部趨于零.文中給出了系統(tǒng)能帶在鐵磁和外磁場作用下能帶帶隙再次打開進(jìn)入量子霍爾區(qū)的演化過程,可以直觀觀測邊緣態(tài)隨磁場的變化趨勢.