陶 志，王 丹

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak[1]提出的粗糙集理論，作為一種處理不確定性數(shù)據(jù)知識(shí)的新理論，已被廣泛應(yīng)用在知識(shí)發(fā)現(xiàn)、決策分析、數(shù)據(jù)挖掘、人工智能等領(lǐng)域[2]。在Pawlak工作的基礎(chǔ)上，Shi[3]給出了動(dòng)態(tài)粗集的描述，進(jìn)而提出了S-粗集（singular rough sets）。但S-粗集沒有充分利用知識(shí)分類過程中的統(tǒng)計(jì)信息，因而無法處理具有統(tǒng)計(jì)信息的不確定性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的知識(shí)分類問題。文獻(xiàn)[4]提出的S-概率粗集模型能夠處理動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)信息，但該模型建立在等價(jià)關(guān)系基礎(chǔ)上，其在含有偏序關(guān)系的動(dòng)態(tài)多屬性統(tǒng)計(jì)類決策問題中的應(yīng)用受到了限制。因此，在文獻(xiàn)[4]所提模型基礎(chǔ)上將等價(jià)關(guān)系改為優(yōu)勢(shì)關(guān)系[5]，提出一種新的雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集模型，新模型使得S-粗集模型在一些特殊的信息決策領(lǐng)域有更廣泛的應(yīng)用，既是對(duì)S-粗集理論的擴(kuò)充，同時(shí)也便于利用S-粗集理論在帶有偏好信息的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)系統(tǒng)中進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘，以便從相關(guān)決策系統(tǒng)中獲取更合理的規(guī)則。最后，給出一個(gè)新模型在風(fēng)險(xiǎn)投資識(shí)別問題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，說明新模型可有效應(yīng)用于含有偏序關(guān)系并具有動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)信息的不確定性決策領(lǐng)域。

1 基本知識(shí)

1.1 優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗糙集

首先，引入基于優(yōu)勢(shì)（偏序）關(guān)系的粗糙集理論中的幾個(gè)相關(guān)概念[6]。設(shè)有形式化的偏好決策系統(tǒng)為其中：U為非空有限論域；AT為非空有限屬性集，分為條件屬性集C和決策屬性集D，C∩D=；V為屬性值集，V=VC∪VD，VC為條件屬性值集，VD為決策屬性值集，且屬性具有偏好次序；f：U×AT→V是一個(gè)信息函數(shù)，表示對(duì)每一個(gè)x∈U，q∈AT有（fx，q）∈V。

在偏好決策系統(tǒng)S中，依據(jù)決策屬性集D可將U劃分為有限個(gè)決策類集合：cl={clt|t∈T}，T={1，2，…，n}，通常認(rèn)為決策屬性劃分的決策類集合是有序的，即?r，s∈T，若 r＞s則clr里的對(duì)象從決策角度考慮優(yōu)于cls里的對(duì)象。

定義1設(shè)S為偏好決策系統(tǒng)，clt為決策屬性集D下的一個(gè)決策類，clt的向上累積集（clt的優(yōu)勢(shì)類）為向上累積集是由優(yōu)于決策類clt的對(duì)象全體構(gòu)成的集合。

定義2設(shè)S為偏好決策系統(tǒng)，C為條件屬性集，若對(duì)于P?C和?q∈P，總有x≥qy，則稱x在條件屬性集P上優(yōu)于y，記為xDPy。對(duì)于給定的P?C和x∈U，稱集合為屬性集 P 關(guān)于 x的優(yōu)勢(shì)集。

定義3設(shè)S為偏好決策系統(tǒng)，屬性集P?C，則向上累積集clt≥的下、上近似集分別為

1.2 雙向S-優(yōu)粗集基本概念

文獻(xiàn)[7-10]對(duì)S-粗集給出詳細(xì)描述，基于上述文獻(xiàn)中關(guān)于S-粗集的描述，針對(duì)含有偏序關(guān)系的雙向動(dòng)態(tài)集合引進(jìn)動(dòng)態(tài)優(yōu)勢(shì)粗糙集的概念[11]如下：

在偏好決策系統(tǒng)S中，集合clt≥為決策類clt的向上累積集，F(xiàn)={f1，f2，…，fm}與是定義在 U 上的元素遷移族是元素遷移，代表 f（u）與集合clt≥之間滿足以下關(guān)系：元素，在f∈F的作用下變成f（u）=x∈clt≥；而元素x∈clt≥在的作用下變成。

定義 4設(shè) clt的向上累積集為，稱U是U上的一個(gè)雙向S-優(yōu)勢(shì)集合，如果。其中的虧集，且。

定義5設(shè)是U上的一個(gè)雙向S-優(yōu)勢(shì)集合，稱分別是雙向S-優(yōu)勢(shì)集合的下、上近似，如果滿足若，則稱集合對(duì)〉是的雙向S-優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗集（簡(jiǎn)稱雙向S-優(yōu)粗集）。

定義6稱為雙向S-優(yōu)勢(shì)集合的 DP近似精度，（|·|表示集合的基數(shù)）；稱為雙向S-優(yōu)勢(shì)集合的 DP粗糙度。

2 雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集

雙向S-優(yōu)粗集在分類過程中沒有考慮知識(shí)分類中對(duì)象優(yōu)勢(shì)集的統(tǒng)計(jì)信息，存在由其“剛性”特質(zhì)所決定的固有局限性，如對(duì)擾動(dòng)（噪聲）數(shù)據(jù)過于敏感等。為此，提出雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集模型，新模型具有某種“柔性”特征，因而增強(qiáng)了數(shù)據(jù)分析和處理的魯棒性。

定義7設(shè)是U上的雙向S-優(yōu)勢(shì)集合，Γ=F∪，P為定義在U上的子集類構(gòu)成的σ代數(shù)上的概率測(cè)度，則依參數(shù)α的下、上近似集分別為

定義8設(shè)是U上的雙向S-優(yōu)勢(shì)集合，則依參數(shù)α的雙向優(yōu)勢(shì)概率粗集的正域、負(fù)域、邊界域分別為

定義9稱為雙向S-優(yōu)勢(shì)集合的DP概率近似精度；稱為雙向S-優(yōu)勢(shì)集合的DP概率粗糙度。

3 雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集模型的性質(zhì)

利用概率相關(guān)性質(zhì)和定義7分析可知，雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集有如下性質(zhì)。

性質(zhì)1設(shè)0.5＜α≤1，則

性質(zhì)2

性質(zhì)3設(shè)存在元素遷移Γ使分別變?yōu)殡p向 S-優(yōu)勢(shì)集合，則對(duì)任意0.5＜α≤1，恒有：

證明設(shè)，由于，有α，故有，即x∈Pb（DP，Γ）o（）。故1）得證，同理可證2）亦成立。

性質(zhì)3 表明，對(duì)已確定優(yōu)勢(shì)關(guān)系的兩個(gè)決策類，其粗糙上、下近似集合在任意α概率水平上仍保持其優(yōu)勢(shì)關(guān)系不變。

證明由及性質(zhì) 3 易證 1）～4）成立，略。

性質(zhì) 5設(shè) 0.5＜ α1≤α2≤1，則有：

證明設(shè)，即，由于 α1≤α2，有成立，即，故1）得證。同理可證2）亦成立。

由上述性質(zhì)及相關(guān)定義可得到如下結(jié)論。

定理1當(dāng)α=1時(shí)，有：

定理1說明，當(dāng)α=1時(shí)，雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集退化為雙向S-優(yōu)粗集。

推論1若有限論域U上的任意兩元素關(guān)于屬性集AT由優(yōu)勢(shì)關(guān)系退化為等價(jià)關(guān)系時(shí)，則雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集即退化為雙向S-概率粗集。

推論2若有限論域U上的任意兩元素關(guān)于屬性集AT由優(yōu)勢(shì)關(guān)系退化為等價(jià)關(guān)系且Γ=時(shí)，則雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集即退化為Pawlak意義下的概率粗集。

推論3若有限論域U上的任意兩元素關(guān)于屬性集AT由優(yōu)勢(shì)關(guān)系退化為等價(jià)關(guān)系且Γ=，α=1時(shí)，則雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集即退化為Pawlak經(jīng)典粗集。

定理2設(shè)0.5＜α≤1，則：

1）Pd(DP，Γ)（，α）≥d(DP，Γ)（）

2）Pρ(DP，Γ)（，α）≤ρ(DP，Γ)（）

推論4設(shè)0.5＜α≤1，則

定理2和推論4說明，雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集比雙向S-優(yōu)粗集的近似精度增加了，而不確定性（粗糙）邊界減小了。進(jìn)一步分析可知，當(dāng)α趨于極限值0.5時(shí)，近似集合之間有如下關(guān)系。

定理3設(shè)0.5＜α≤1，則當(dāng)α→0.5時(shí)，有：

1）Pα→0.5（DQ，Γ）o（）=∪Pα（DQ，Γ）o（）；

2）Pα→0.5（DQ，Γ）o（）=∩Pα（DQ，Γ）o（）。

上述定理給出了動(dòng)態(tài)決策（優(yōu)勢(shì)）集在0.5概率水平上與更高精度概率水平上所得到的可區(qū)分域之間的關(guān)系。

4 應(yīng)用案例

由于在投資過程中存在許多不確定性的風(fēng)險(xiǎn)因素，因此，許多風(fēng)投公司為規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)都在競(jìng)相尋找優(yōu)質(zhì)的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目，以最大化確定性收益。隨著時(shí)間的推移，風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目庫(kù)在不斷更新，對(duì)于投資決策方來說這些風(fēng)投項(xiàng)目不是一成不變的，隨著外界市場(chǎng)等因素的變化，一些舊的項(xiàng)目可能會(huì)從風(fēng)投識(shí)別評(píng)估系統(tǒng)中刪除，一些新的投資項(xiàng)目可能會(huì)得到投資方的青睞而添加到風(fēng)投識(shí)別評(píng)估系統(tǒng)中。因此，決策方對(duì)預(yù)備項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)估，及時(shí)為風(fēng)險(xiǎn)投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、減少損失顯然非常重要。

利用雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集理論，在項(xiàng)目方案的各風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)已經(jīng)分析獲取的基礎(chǔ)上，對(duì)所知項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)程度進(jìn)行識(shí)別評(píng)估。首先，通過用已獲取的數(shù)據(jù)樣本對(duì)風(fēng)投識(shí)別評(píng)估系統(tǒng)進(jìn)行訓(xùn)練，然后，再對(duì)現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)的新項(xiàng)目進(jìn)行考察分類。

假設(shè)某風(fēng)投公司一段時(shí)間內(nèi)的系統(tǒng)項(xiàng)目訓(xùn)練樣本集構(gòu)成論域 U={x1，x2，…，x8}，此算例中考慮 5 個(gè)主要風(fēng)險(xiǎn)因素，分別是環(huán)境影響度（i），年化收益率（b），成長(zhǎng)性（g），固定投入成本（k）及風(fēng)險(xiǎn)程度（d），其中，i，k相對(duì)應(yīng)的屬性值越大代表風(fēng)險(xiǎn)越大，b，g相對(duì)應(yīng)屬性值越小則代表風(fēng)險(xiǎn)越大，取條件屬性集 Q={i，b，g，k}。由于項(xiàng)目類型不同，其環(huán)境影響度、年化收益率、成長(zhǎng)性、固定投入成本一般不同，投資方所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)程度也不同。令風(fēng)險(xiǎn)性程度d為該系統(tǒng)的決策屬性，風(fēng)險(xiǎn)程度由大到小依次為 6、5、4、3、2、1，如表 1 所示。

表1 風(fēng)投識(shí)別系統(tǒng)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本Tab.1 Training sample data of VC recognition system

在風(fēng)投項(xiàng)目評(píng)估過程中，將所考查項(xiàng)目按風(fēng)險(xiǎn)程度分為兩類，一類是具有高危破產(chǎn)性質(zhì)的項(xiàng)目，另一類是不具有高危破產(chǎn)性質(zhì)的項(xiàng)目。實(shí)際情況下，假定風(fēng)險(xiǎn)性程度不低于4的項(xiàng)目具有高危破產(chǎn)性，即在決策屬性 d 下的向上累積集合中的項(xiàng)目具有高危風(fēng)險(xiǎn)性，則各項(xiàng)目的優(yōu)勢(shì)集分別為。

由定義3可得，集合cl4≥的下近似集為={x3}，則可得的“至少”決策規(guī)則如下。

規(guī)則 1if i≥182∧b≤23∧g≤1∧k≥1 450，then→x∈cl4≥。

由于形勢(shì)發(fā)生了變化，涌現(xiàn)出不同于以往的新項(xiàng)目，如出現(xiàn)了新項(xiàng)目x′，x″，其條件屬性值分別是：i=179，b=19，g=2，k=1 440；i=122，b=28，g=3，k=900。將這些參數(shù)與規(guī)則1匹配后發(fā)現(xiàn)，不能判定新項(xiàng)目是否具有高危風(fēng)險(xiǎn)性。然而，隨著時(shí)間的推移，新項(xiàng)目x9受人青睞而遷入到訓(xùn)練樣本項(xiàng)目中，其條件屬性值為i=177，b=20，g=2，k=1 430，而原有舊項(xiàng)目 x1，x7由于長(zhǎng)期無人問津而從系統(tǒng)中被移出。于是，由更新后的樣本項(xiàng)目數(shù)據(jù)庫(kù)可得到雙向動(dòng)態(tài)優(yōu)勢(shì)集={x3，x6，x8，x9}，而新的動(dòng)態(tài)訓(xùn)練樣本項(xiàng)目的優(yōu)勢(shì)集分別為：。

規(guī)則 2If i≥177∧b≤20∧g≤2∧k≥1 430，then→x∈cl4≥*。

根據(jù)規(guī)則2可確定項(xiàng)目x′屬于高危風(fēng)險(xiǎn)性項(xiàng)目，但此時(shí)對(duì)新項(xiàng)目x″仍然無法判斷。在暫時(shí)無新增訓(xùn)練樣本項(xiàng)目的情況下，可根據(jù)定義7即雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集的定義（取α=0.8）計(jì)算得雙向動(dòng)態(tài)集合的下、上近似集分別為P0.8（DQ，Γ）o（）={x3，x6，x9}，P0.8（DQ，Γ）o（）={x2，x3，x6，x8，x9}，則再新添如下“至少”決策規(guī)則。

規(guī)則 3If i≥120∧b≤28∧g≤3∧k≥450，

由規(guī)則3可判定新項(xiàng)目x″亦具有高危風(fēng)險(xiǎn)性。綜上，建議投資方需謹(jǐn)慎考慮對(duì)新項(xiàng)目x′，x″的投資決策。更進(jìn)一步，由近似精度的定義可求得

此結(jié)果恰好驗(yàn)證了定理2的結(jié)論。

綜合上述分析可知，雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集模型比雙向S-優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗集模型分類更加精確細(xì)致，同時(shí)又可排除一些擾動(dòng)數(shù)據(jù)對(duì)決策的影響，使決策更加符合實(shí)際需要。

5 結(jié)語(yǔ)

基于Pawlak和Shi等人有關(guān)研究工作[12]，結(jié)合S-概率粗集模型的動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)特性及傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗集模型[12]的分類特點(diǎn)，提出了雙向S-優(yōu)勢(shì)概率粗集模型，該模型可針對(duì)含有偏序關(guān)系的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)挖掘。由于在知識(shí)分類中充分利用了對(duì)象優(yōu)勢(shì)集的統(tǒng)計(jì)信息，因此，新模型與S-優(yōu)粗集模型相比既增加了一定的容錯(cuò)和抗噪聲能力又提高了分類精度和分類的合理性。利用新模型可獲得具有較高準(zhǔn)確性和適用性的規(guī)則。下一步的工作即是在所提出的新模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不確定性度量問題及相應(yīng)的規(guī)則提取算法，為實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)開發(fā)奠定理論和算法基礎(chǔ)。