(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 遼寧沈陽(yáng) 110870)

齒輪齒面由于運(yùn)行過(guò)程中受到載荷和潤(rùn)滑狀態(tài)的影響，會(huì)出現(xiàn)磨損。對(duì)于新的齒輪裝置來(lái)說(shuō)，在最初的運(yùn)行期間由于齒面相互間的摩擦力而產(chǎn)生的磨損經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，會(huì)逐漸減少，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為跑合，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)是無(wú)害的。但隨著時(shí)間的增加，磨損會(huì)導(dǎo)致齒輪嚙合點(diǎn)的變形量發(fā)生變化，從而造成輪齒的剛度發(fā)生變化，進(jìn)而影響整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，機(jī)械設(shè)備故障的80%是由于齒輪系統(tǒng)失效引起的，其中磨損和點(diǎn)蝕占失效的41%。齒面磨損會(huì)降低齒輪傳動(dòng)的效率和精度，甚至引起嚴(yán)重的機(jī)械事故[1]。關(guān)于磨損，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究，主要有模型仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)2種研究手段。胡波和黃平[3]將齒輪嚙合區(qū)域的齒廓進(jìn)行離散化處理,建立了齒輪齒廓磨損計(jì)算模型。馮松等人[4]在齒輪共軛嚙合原理基礎(chǔ)上，針對(duì)運(yùn)行過(guò)程中的齒面磨損，提出輪齒等弧長(zhǎng)離散方法，為研究齒面磨損齒輪動(dòng)力學(xué)建模提供了一條技術(shù)路徑。陳海鋒等[5]通過(guò)激光共聚焦顯微鏡、白光干涉儀和硬度計(jì)分別對(duì)磨損嚴(yán)重的齒輪齒面微觀形貌和表面硬度進(jìn)行檢測(cè)。王曉筍等[6-7]采用變步長(zhǎng)Gill積分方法，利用Archard計(jì)算齒面動(dòng)態(tài)累積磨損量,分析動(dòng)載荷、動(dòng)態(tài)磨損系數(shù)和滑移速度對(duì)齒面磨損影響。石萬(wàn)凱等[8]用Archard磨損公式結(jié)合JKR理論建立微齒輪粗糙齒面仿真模型。張俊等人[9]建立了真實(shí)工作情況的直齒圓柱齒輪準(zhǔn)靜態(tài)磨損模型。

齒面磨損會(huì)影響齒輪的時(shí)變嚙合剛度等非線性因素，使得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)行中會(huì)呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特征。衛(wèi)一多等[10]建立包含時(shí)變剛度和齒側(cè)間隙的單對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)模型, 運(yùn)用四階龍格庫(kù)塔方法計(jì)算系統(tǒng)在無(wú)沖擊 、單邊沖擊和雙邊沖擊狀態(tài)下系統(tǒng)參數(shù)和載荷參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振幅及穩(wěn)定性影響。ZHOU等[11]考慮時(shí)變嚙合剛度、齒輪偏心、軸承等多種因素，研究不同嚙合頻率、不同載荷下齒側(cè)間隙對(duì)齒輪副振動(dòng)和沖擊狀態(tài)的影響。

以上的大多數(shù)研究都是針對(duì)齒面磨損對(duì)嚙合剛度、齒廓的影響，很少有學(xué)者研究齒面磨損對(duì)嚙合齒輪系統(tǒng)的影響。本文作者將磨損考慮進(jìn)齒輪的時(shí)變嚙合剛度中，采用集中參數(shù)法進(jìn)行模擬并通過(guò)改變轉(zhuǎn)速和運(yùn)行次數(shù)的大小來(lái)研究齒面磨損對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 含磨損的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

根據(jù)Archard理論[6]，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)行i次時(shí)，齒輪j(j=1,2)的齒面累積磨損量Hi，j表示如式(1)所示，其中k是磨損系數(shù)；p是最大接觸力；a是嚙合點(diǎn)處的Hertz接觸寬度；θj為齒輪的轉(zhuǎn)角位移；Tj為齒輪的轉(zhuǎn)矩；rj是分度圓半徑。

(1)

p=Tj/rj

(2)

根據(jù)Weber-Banaschek公式[12]，單個(gè)輪齒的中線和嚙合線交點(diǎn)在嚙合線方向的變形量δΣj為

δΣj=δZ,j+δR,j+δpw,j+Hi,j

(3)

式中：δZ, j是彎曲、剪力產(chǎn)生的變形量；δR, j是基礎(chǔ)部分變形量；δpw, j是載荷作用點(diǎn)到輪齒中線和嚙合線交點(diǎn)間由于接觸而產(chǎn)生的接近量。3種變形量的計(jì)算公式分別為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

αFj=arccos(rj/rcj)

(10)

式中：Ej是齒輪的彈性模量;Bj為齒寬;α是壓力角；hj是載荷作用點(diǎn)到輪齒中線和嚙合線交點(diǎn)的距離;rcj是齒輪的齒根圓半徑;ρj為接觸點(diǎn)的當(dāng)量曲率半徑。

則輪齒的時(shí)變嚙合剛度可表示為

km=p/(δΣ1+δΣ2)

(11)

1.2 摩擦力臂的計(jì)算

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：ω1是輸入角速度；ti是一個(gè)周期內(nèi)齒輪系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間。

齒面間的摩擦力為

Ff=λ(vs)μFm

(16)

式中：μ是摩擦因數(shù)；λ(vs)是摩擦力的方向系數(shù)，由相對(duì)滑動(dòng)速度vs決定：

(17)

Fm為齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力，表示沿齒面接觸線上分布的動(dòng)態(tài)嚙合力，作用在齒寬中央，根據(jù)黏彈性論，其表達(dá)式為

(18)

其中：cm為齒輪嚙合的嚙合阻尼；δ為嚙合線方向主動(dòng)輪與從動(dòng)輪之間的位移，可表示為

δ=rb1(ω1t+θ1)-rb2(ω2t+θ2)-e(t)

(19)

其中:ω2是輸出角速度；e(t)是齒輪的嚙合誤差，表示為

(20)

(21)

因此，摩擦轉(zhuǎn)矩可表示如下：

(22)

圖1 齒輪輪齒嚙合示意圖Fig 1 Gear teeth meshing

1.3 集中參數(shù)法建模

齒輪副系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。其中mj齒輪的質(zhì)量；Oj是齒輪的旋轉(zhuǎn)中心；ktj，ctj是軸的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼；xj、yj為齒輪沿x、y方向的位移；Jj為齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖2 齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析模型Fig 2 Analysis model of torsional vibration of gear pair

根據(jù)拉格朗日方程推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程：

(23)

2 數(shù)值仿真

以江蘇千鵬診斷工程有限公司生產(chǎn)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)及故障診斷模擬試驗(yàn)平臺(tái)為例，參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪參數(shù)

通過(guò)分析得到齒輪系統(tǒng)的時(shí)域、頻域、相圖、龐加萊和瀑布圖。當(dāng)不存在磨損、運(yùn)行次數(shù)i=104、轉(zhuǎn)速n1=1 000 r/min時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖3所示。由圖3(a)可以看出，系統(tǒng)的振幅變化呈現(xiàn)周期性波動(dòng)；在頻域圖3(b)中，嚙合頻率f(fm=n1z1/60)為主導(dǎo)響應(yīng)，2fm僅次于fm的第二大頻率，在其周?chē)猩倭枯^小雜頻存在；相位圖3(c)為規(guī)則的圓形軌跡；在龐加萊圖3(d)中，所有離散點(diǎn)聚集在一個(gè)區(qū)域。

圖3 無(wú)磨損時(shí)主動(dòng)齒輪的時(shí)域、頻域、相圖、龐加萊圖Fig 3 Time domain, frequency domain, phase diagram, Poincare diagram of the drive gear without wear

2.1 含齒面磨損的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

圖4所示為嚙合齒輪對(duì)運(yùn)行i=104后齒面的累積磨損量，圖5所示為嚙合齒輪對(duì)在運(yùn)行不同次數(shù)后主動(dòng)輪的齒面累積磨損量變化。

圖4 主、從動(dòng)齒輪的齒面累積磨損量Fig 4 Cumulative wear of the tooth surface of the main and driven gears

圖5 不同運(yùn)行次數(shù)下主動(dòng)輪齒面累積磨損量Fig 5 Cumulative wear of the tooth surface under different running times

可以得出，齒面磨損量隨著運(yùn)行次數(shù)增加而增加；在嚙合區(qū)域內(nèi)，齒根處的齒面磨損量呈減小趨勢(shì)，在節(jié)點(diǎn)處理論磨損量為0，齒頂處齒面磨損量呈增加趨勢(shì)；齒面磨損量減小趨勢(shì)大于增加趨勢(shì)，即齒根處磨損現(xiàn)象更嚴(yán)重。圖6示出了齒輪時(shí)變嚙合剛度，齒輪齒面磨損后其時(shí)變嚙合剛度幅值相比末磨損有所減??；在雙齒區(qū)剛度減小量幾乎為0；整個(gè)過(guò)程中齒輪的時(shí)變嚙合剛度是減小的。

圖6 時(shí)變嚙合剛度Fig 6 Time-varying mesh stiffness

2.2 轉(zhuǎn)速對(duì)含有齒面磨損齒輪系統(tǒng)的影響

圖7所示為含有齒面磨損、運(yùn)行次數(shù)i=104，主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)速分別為600、1 000、1 400 r/min時(shí)主動(dòng)輪的時(shí)域、頻譜、相位和龐加萊圖。圖7(b)與圖3所示規(guī)律基本一致，而圖7(b1)中的振幅小于圖3(b)。以往的經(jīng)驗(yàn)中，當(dāng)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)不含有齒面磨損時(shí)，轉(zhuǎn)速的增加會(huì)加劇齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的波動(dòng)。n1=600 r/min時(shí)主動(dòng)輪的振幅在單周期出現(xiàn)多個(gè)不等峰值如圖7(a1)所示；圖7(a2)中嚙合頻率fm(fm=n1z1/60)是主導(dǎo)頻率，并能看到2fm和其他的一些雜頻成分；圖7(a3)中相圖呈現(xiàn)出多個(gè)交叉的圓，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生了一定的波動(dòng)；圖7(a4)中所有的離散點(diǎn)聚集在一處。當(dāng)n1=1 000 r/min時(shí)系統(tǒng)振幅波動(dòng)減少,如圖7(b1)所示，類(lèi)似圖3(a)所示。而n1=1 400 r/min時(shí)又產(chǎn)生一定的波動(dòng)，但圖7(c3)中波動(dòng)幅度要小于圖7(a3)。隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)的龐加萊離散程度逐漸增大，振動(dòng)響應(yīng)逐漸增大。

圖8所示為轉(zhuǎn)速變化時(shí)含有齒面磨損的主動(dòng)齒輪的瀑布圖，主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)速在500～800 r/min的區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的頻域除了fm、2fm外，還有大量的雜頻;在800～1 000 r/min范圍內(nèi)，雜頻減少;當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到1 000 r/min后，雜頻又繼續(xù)增多。以上現(xiàn)象結(jié)合圖7可以得出，在500～800 r/min內(nèi)和達(dá)到1 000 r/min以后，磨損對(duì)系統(tǒng)的影響比較大，在800～1 000 r/min范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的影響比較小。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下含有齒面磨損的主動(dòng)齒輪的時(shí)域、頻域、相圖、龐加萊圖

Fig 7 Time domain, frequency domain, phase diagram, Poincare diagram of the drive gear with tooth wear under different rotation speed

圖8 含有齒面磨損的主動(dòng)齒輪的瀑布圖Fig 8 Waterfall figure of driving gear with tooth wear

2.3 運(yùn)行次數(shù)對(duì)含有齒面磨損齒輪系統(tǒng)的影響

在以往的研究中由于不考慮齒面磨損，運(yùn)行次數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)幾乎沒(méi)有什么影響。加入齒面磨損后，隨著運(yùn)行次數(shù)的增加，齒面累積磨損量逐漸增加，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，累積磨損量會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。圖9所示為轉(zhuǎn)速n1=1 000 r/min，運(yùn)行次數(shù)i=105、i=106時(shí)系統(tǒng)的時(shí)域、頻譜、相位和龐加萊圖。

圖9 不同運(yùn)行次數(shù)時(shí)含有齒面磨損的主動(dòng)齒輪的時(shí)域、頻域、相圖和龐加萊圖Fig 9 Time domain, frequency domain, phase diagram, Poincare diagram of the drive gear with tooth wear under different running times

與圖7(b)比較可以得出隨著運(yùn)行次數(shù)的增加，系統(tǒng)的振幅也隨之減小。i=105時(shí)圖9(a3)、9(a4)所示的軌跡和點(diǎn)的離散程度，相對(duì)于圖7(b3)、7(b4)沒(méi)有明顯變化,而i=106時(shí)圖9(b3)中的軌跡明顯變得更雜亂，圖9(b4)中點(diǎn)的離散程度明顯要大于圖7(b4)。因此隨著運(yùn)行次數(shù)增加，齒面磨損對(duì)齒輪系統(tǒng)影響也會(huì)明顯增加。

3 結(jié)論

(1)由于磨損的影響，含有齒面磨損的時(shí)變嚙合剛度幅值減小，且振幅的波動(dòng)性增大。

(2)在嚙合區(qū)內(nèi)，磨損的趨勢(shì)是在齒根處先減小，在節(jié)點(diǎn)處理論磨損量為0，然后在齒頂處逐漸增大，齒根處的磨損程度更嚴(yán)重。

(3)存在齒面磨損時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，齒輪系統(tǒng)響應(yīng)的振幅逐漸增大。在500～800 r/min范圍內(nèi)和1 000 r/min以上，由于磨損的影響，傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生一系列波動(dòng)，轉(zhuǎn)速在800～1 000 r/min范圍內(nèi)，不平穩(wěn)趨勢(shì)較小，選擇合理的轉(zhuǎn)速區(qū)間可以減少系統(tǒng)的波動(dòng)。

(4)當(dāng)磨損量較小時(shí)，i≤105時(shí)磨損對(duì)系統(tǒng)的影響較小，隨著磨損次數(shù)達(dá)到一定的程度，磨損對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響明顯增加。