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利用正余弦定理解三角形在高中的學(xué)習(xí)中并不是一個非常大的難點,只要可以正確使用正余弦公式,靈活轉(zhuǎn)化角與角的關(guān)系,邊與角的關(guān)系將公式熟練掌握,解這類問題就應(yīng)該不會有特別大的失誤。
例題設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且
(1)求A的大小。
(2)若a=1,求△ABC的周長L的范圍。
解:(1)運用正弦定理,將邊化為角。由已知,先將原式利用正弦定理a=2RsinA變?yōu)?RsinC=2RsinB,因為等式前后均有2R,所以可將2R約分,等式變?yōu)閟inAcosC+再由三角形內(nèi)角和公式與誘導(dǎo)公式可知sinB=sin(A+C),所以由sin(A+C)我們可以聯(lián)想到三角恒等變換,即sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC。所以原式變?yōu)閏osAsinC。
因為等式兩邊均有sinAcosC,所以將其消去得因為三角形中任何角的正弦值均不為0,所以sinC≠0,再將sinC約分得到因為三角形內(nèi)角和為π,所以角A的范圍為(0,π)。
又因為當(dāng)A為時所以