■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 孫 旭

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考，一般考查題型為討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，或者以函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值為載體，求參數(shù)的取值范圍，證明不等式等。

典例1 (2 0 1 8年全國(guó)Ι卷理2 1)已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明

解答提示：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的性質(zhì)。(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)參數(shù)的取值范圍分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)性。(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論確定參數(shù)的取值范圍，對(duì)要證的不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求解新函數(shù)的值域證明結(jié)論。利用對(duì)數(shù)均值不等式也可以對(duì)此不等式進(jìn)行證明。

解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，

①若a≤2，則f "(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)，f "(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減。

②若a＞2，令f "(x)=0，得x=當(dāng)x∈時(shí)，f "(x)＜ 0； 當(dāng)x∈時(shí)，f "(x)＞0。所 以f(x) 在上 單 調(diào) 遞 減， 在上單調(diào)遞增。

(2)方法1：由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)a＞2時(shí)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)。

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2—a x+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1。

設(shè)函數(shù)g(x)=—x+2 l nx，由(1)知，g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又g(1)=0，從而當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，g(x)＜0。

典例2 (2 0 1 8年全國(guó)Ⅱ卷理2 1)已知函數(shù)f(x)=ex—a x2。

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a。

解答提示：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用。(1)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系求解最值，以算代證。(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系求解，注意對(duì)a的分類討論。也可以用分離參數(shù)或數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決此問(wèn)題。

解析：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)e—x—1≤0。

設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e—x—1，則g "(x)=—(x2—2x+1)e—x=—(x—1)2e—x。

當(dāng)x≠1時(shí)，g "(x)＜0，所以g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減。

而g(0)=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1。

(2)方法1：設(shè)函數(shù)h(x)=1—a x2e—x。

f(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)。

(i)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)＞0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

(i i)當(dāng)a＞0時(shí)，h "(x)=a x(x—2)e—x。

當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，h "(x)＜0；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，h "(x)＞0。所以h(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增。

故h(2)=1—是h(x)在(0，+∞)上的最小值。

①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，+∞)上沒(méi)有零點(diǎn)；

②若h(2)=0，即a=，h(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)；

③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)=1，所以h(x)在(0，2)上有一個(gè)零點(diǎn)。

由(1)知，當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2，所以＞0，故h(x)在(2，4a)上有一個(gè)零點(diǎn)。

因此h(x)在(0，+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)。

綜上，若f(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，則

方法2：由題意知f(x)=ex—a x2。

f(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程ex—a x2=0在(0，+∞)上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即在(0，+∞)上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)y=a的圖像與函數(shù)的圖像在(0，+∞)上只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)m(x)=，則m "(x)=

所以當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，m "(x)＜0；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，m "(x)＞0。

因此m(x)在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，+∞)上單調(diào)遞增。

所以m(x)在x=2處取得最小值，所以

因此，若f(x)在(0，+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，則

典例3 (2 0 1 8年全國(guó)Ⅲ卷理2 1)已知函數(shù)f(x)=(2+x+a x2)l n(1+x)—2x。

(1)若a=0，證明：當(dāng)—1＜x＜0時(shí)，f(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0。

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a。

解答提示：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，得出最值，進(jìn)而使問(wèn)題得證。(2)對(duì)a分類討論，結(jié)合(1)中的結(jié)論，并根據(jù)極大值的定義進(jìn)行求解。也可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)和極大值的定義解決此問(wèn)題。

解析：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(2+x)·

設(shè)函數(shù)g(x)=f "(x)=l n(1+x)—，則g "(x)=

當(dāng)—1＜x＜0時(shí)，g "(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，g "(x)＞0。

故當(dāng)x＞—1時(shí)，g(x)≥g(0)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=0。

從而f "(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f "(x)=0。

所以f(x)在(—1，+∞)上單調(diào)遞增。又f(0)=0，故當(dāng)—1＜x＜0時(shí)，f(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0。

(2)方法1：①若a≥0，由(1)知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥(2+x)l n(1+x)—2x＞0=f(0)，這與x=0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾。

②若a＜0，設(shè)函數(shù)h(x)=

由于當(dāng)|x|＜m i n時(shí)，2+x+a x2＞0，故h(x)與f(x)符號(hào)相同。

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點(diǎn)。

對(duì)h(x)求導(dǎo)可得h "(x)=

如果6a+1＞0，則當(dāng)0＜x＜—且|x|＜m i n時(shí)，h "(x)＞0，故x=0不是h(x)的極大值點(diǎn)。

如果6a+1＜0，則a2x2+4a x+6a+1=0存在根x1＜0，故當(dāng)x∈(x1，0)，且|x|時(shí)，h "(x)＜0，所以x=0不是h(x)的極大值點(diǎn)。

如 果 6a+1=0，則h "(x)=，當(dāng)x∈(—1，0)時(shí)，h "(x)＞0；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h "(x)＜0。所以x=0是h(x)的極大值點(diǎn)。

所以x=0是f(x)的極大值點(diǎn)。

綜上，a=—

方法2：由題意知f(x)=(2+x+a x2)·l n(1+x)—2x，則f "(x)=(1+2a x)l n(1+—2，且f "(0)=0。

若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，則f "(x)在x=0附近單調(diào)遞減。

設(shè)h(x)=f "(x)，則h "(x)=2al n(x+，且h "(0)=0，

若f "(x)在x=0附近單調(diào)遞減，則h "(x)≤0在x=0附近成立，且h "(x)在x=0處取得極大值0。

設(shè)m(x)=h "(x)，則m "(x)=(2a x2+8a x—x+6a+1)。

所以m "(0)=6a+1=0，解得a=—

因此，若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，則

復(fù)習(xí)建議：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景，掌握函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念，這些都有助于我們靈活地解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的問(wèn)題。熟練記憶基本導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則是正確進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)中也要引起重視。對(duì)于解題過(guò)程中常用的方法和技巧，如分類討論、構(gòu)造新函數(shù)、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合等，需要我們?cè)诓粩嗟木毩?xí)和反思中熟練掌握。